O documento descreve o critério de estabilidade de Routh para analisar a estabilidade de sistemas de controle. Ele fornece os procedimentos para construir a matriz de Routh e determinar a estabilidade a partir dos sinais dos coeficientes da primeira coluna. Também discute a aplicação do critério para determinar valores de parâmetros que garantam a estabilidade de sistemas.

1. Estudos de Controle –
Análise de Resposta
Transitória e de
Regime Estacionário
1

2. Critério de Estabilidade de Routh
• Considerando a forma geral:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑏0 𝑠 𝑚 +𝑏1 𝑠 𝑚−1 +⋯𝑏 𝑚−1 𝑠+𝑏 𝑚
,
𝑎0 𝑠 𝑛 +𝑎1 𝑠 𝑛−1 +⋯𝑎 𝑛−1 𝑠+𝑎 𝑛
onde 𝑛 ≥ 𝑚.
• Uma forma simples de saber se o sistema é
estável é se e somente se todos os pólos da
malha fechada estiverem no semiplano esquerdo
do plano s.
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3. Critério de Estabilidade de Routh
• O critério de estabilidade de Routh determina o
número de pólos de malha fechada que se
situam no semiplano direito do plano s sem
fatorar o denominador.
• É aplicado apenas a polinômios com um número
finito de termos.
• As informações da estabilidade absoluta são
obtidas a partir dos coeficientes da equação
característica.
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4. Critério de Estabilidade de Routh
• Procedimento:
• Escrever o polinômio da seguinte maneira:
𝑎0 𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ 𝑎 𝑛−1 𝑠 + 𝑎 𝑛 = 0
• Verificar se algum dos coeficientes é zero ou negativo
na presença de pelo menos um coeficiente positivo:
• Nesse caso, existe uma ou várias raízes que tenham partes
reais positivas e o sistema é instável.
• Todos os coeficientes positivos é uma condição
necessária para a estabilidade, mas não suficiente:
• A condição é necessária, mas não suficiente, porque o
polinômio pode ser fatorado em (𝑠 + 𝑎) e (𝑠 2 + 𝑏𝑠 + 𝑐). As
raízes são negativas se a, b e c são positivos. A multiplicação
de qualquer número desses fatores dará um polinômio com
coeficientes positivos.
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5. Critério de Estabilidade de Routh
• Procedimento:
• Organizar os coeficientes do polinômio em
linhas e colunas da seguinte maneira:
𝑠𝑛
𝑠 𝑛−1
𝑠 𝑛−2
⋮
𝑠2
𝑠1
𝑠0
𝑎0
𝑎1
𝑏1
⋮
𝑐1
𝑑1
𝑓1
𝑎2
𝑎3
𝑏2
⋮
𝑐2
0
0
𝑎4
𝑎5
𝑏3
⋮
0
0
0
𝑎6
𝑎7
𝑏4
⋮
0
0
0
…
…
…
⋮
0
0
0
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6. Critério de Estabilidade de Routh
• Procedimento:
• Sendo que os coeficientes 𝑏, 𝑐, … são calculados
da seguinte maneira:
𝑎1 𝑎2 − 𝑎0 𝑎3
𝑎1 𝑎4 − 𝑎0 𝑎5
𝑎1 𝑎6 − 𝑎0 𝑎7
𝑏1 =
𝑏2 =
𝑏3 =
…
𝑎1
𝑎1
𝑎1
𝑏1 𝑎3 − 𝑎1 𝑏2
𝑏1 𝑎5 − 𝑎1 𝑏3
𝑏1 𝑎7 − 𝑎1 𝑏4
𝑐1 =
𝑐2 =
𝑐3 =
…
𝑏1
𝑏1
𝑏1
𝑐1 𝑏2 − 𝑏1 𝑐2
𝑐1 𝑏3 − 𝑏1 𝑐3
𝑐1 𝑏4 − 𝑏1 𝑐4
𝑑1 =
𝑑2 =
𝑑3 =
…
𝑐1
𝑐1
𝑐1
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7. Critério de Estabilidade de Routh
• Procedimento:
• A matriz completa é triangular. Calcular todos
os coeficientes até a nésima linha.
• O número de mudanças no sinal dos coeficientes
da primeira coluna da matriz é igual ao número
de raízes com partes reais positivas do
polinômio.
• Se todos os coeficientes da primeira coluna da
matriz forem positivos, então o sistema é estável
pois todos os pólos estarão no semiplano
esquerdo do plano s.
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8. Critério de Estabilidade de Routh
• Exemplo:
𝑠 4 + 2𝑠 3 + 3𝑠 2 + 4𝑠 + 5 = 0
• Matriz:
𝑠4 1 3 5
𝑠3 2 4 0
𝑠2 1 5 0
𝑠1 −6 0 0
𝑠0 5 0 0
• Portanto existem 2 raízes com partes reais
positivas.
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9. Critério de Estabilidade de Routh
• Aplicação à análise de sistemas de controle:
• Determinar valores de um ou mais parâmetros
a partir do critério de estabilidade de Routh.
• Exemplo de função de transferência:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾
𝑠 𝑠2 +𝑠+1 𝑠+2 +𝐾
• Equação característica:
𝑠 4 + 3𝑠 3 + 3𝑠 2 + 2𝑠 + 𝐾 = 0
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10. Critério de Estabilidade de Routh
• Aplicação à análise de sistemas de controle:
1
3 𝐾
3
2 0
𝑠4
7
𝑠3
𝐾 0
2
𝑠
3
9𝐾
𝑠1
0 0
0 2−
𝑠
7
𝐾
0 0
• Portanto, para garantir a estabilidade:
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> 𝐾>0
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11. Sistemas de Controle Proporcional
• Um dos problemas do controlador On-Off é que
apenas uma pequena variação da diferença do
valor de entrada e o valor de referência, o
controlador atua na resposta fortemente.
• Para resolver esse problema, criou-se o
controlador proporcional, cuja ação é
proporcional ao erro.
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12. Sistemas de Controle Proporcional
• Um problema do controlador apenas proporcional é que existe um
erro estacionário.
• Considerando um sistema com a seguinte planta:
1
𝐺𝑝 𝑠 =
𝑇𝑠 + 1
• Temos a equação de malha fechada:
𝐾
𝐺 𝑠 =
𝑇𝑠 + 1
• Como:
𝐸(𝑠)
𝑅 𝑠 − 𝐶(𝑠)
𝐶 𝑠
1
=
=1−
=
𝑅(𝑠)
𝑅(𝑠)
𝑅 𝑠
1 + 𝐺(𝑠)
• Então o erro é dado como:
1
1
𝐸 𝑠 =
𝑅(𝑠) =
𝑅(𝑠)
𝐾
1+ 𝐺 𝑠
1+
𝑇𝑠 + 1
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13. Sistemas de Controle Proporcional
• Para uma entrada em degrau unitário
𝑅 𝑠 =1 𝑠 :
𝑇𝑠 + 1 1
𝐸 𝑠 =
𝑇𝑠 + 1 + 𝐾 𝑠
• O erro estacionário será:
𝑒 𝑠𝑠
𝑇𝑠 + 1 𝑠
1
= lim 𝑒 𝑡 = lim 𝑠𝐸 𝑠 = lim
=
𝑡→∞
𝑠→0
𝑠→0 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾 𝑠
𝐾+1
• Ou seja, quanto maior o ganho proporcional,
menor o erro estacionário.
• Porém, o aumento do ganho proporcional
também provoca uma resposta mais oscilatória.
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14. Sistemas de Controle Proporcional
• Exemplo:
• Considere o sistema de primeira ordem:
𝐶(𝑠)
1
=
𝑅(𝑠) 5𝑠 + 1
• Aplicando-se um controle proporcional com
diferentes ganhos:
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15. Sistemas de Controle Proporcional
• Exemplo:
• Considere o sistema de segunda ordem:
𝐶(𝑠)
1
= 2
𝑅(𝑠)
𝑠 + 1,2𝑠 + 1
• Aplicando-se um controle proporcional com
diferentes ganhos:
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16. Sistemas de Controle Proporcional
• Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:
• Supondo que 𝑅 𝑠 = 0, a função de transferência
entre C(s) e D(s) é:
𝐶(𝑠)
1
= 2
𝐷(𝑠) 𝐽𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝐾 𝑝
• Então, o erro é definido como:
𝐸(𝑠)
𝐶 𝑠
1
=−
=− 2
𝐷(𝑠)
𝐷 𝑠
𝐽𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝐾 𝑝
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17. Sistemas de Controle Proporcional
• Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:
• O erro estacionário para um distúrbio em degrau,
igual a 𝑇 𝑑 é dado:
1
𝑠𝑇 𝑑
𝑇𝑑
𝑒 𝑠𝑠 = lim 𝑠𝐸 𝑠 = lim − 2
=−
𝑠→0
𝑠→0
𝐽𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝐾 𝑝 𝑠
𝐾𝑝
• Portanto, o erro será proporcional ao distúrbio e
inversamente proporcional ao ganho.
• Aumentando o ganho, diminui-se o erro
estacionário causado pelo ruído também.
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18. Sistemas de Controle Proporcional
• Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:
• Exemplo:
𝐶(𝑠)
1
=
𝑅(𝑠) 5𝑠 + 1
• Resposta para diferentes ganhos
proporcionais:
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Para 𝑇 𝑑 = 2.
Para 𝑇 𝑑 = 10.

19. Sistemas de Controle Proporcional
• Resposta ao sistema com carga inercial:
• A função de transferência da malha fechada é:
𝐾𝑝
𝐶(𝑠)
= 2
𝑅(𝑠) 𝐽𝑠 + 𝐾 𝑝
• Como as raízes da da equação característica são
imaginárias, para uma entrada degrau unitário o
sistema irá oscilar indefinidamente.
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20. Sistemas de Controle Proporcional
• Resposta ao sistema com carga inercial:
• Exemplo:
𝐶(𝑠)
1
= 2
𝑅(𝑠) 5𝑠 + 1
• Resposta para diferentes ganhos
proporcionais:
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21. Obrigada!
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