Este documento contiene soluciones a ejercicios de álgebra que involucran operaciones con potencias y raíces. Incluye cálculos para reducir expresiones a una sola potencia, expresar como potencia única, operar y calcular raíces. También presenta soluciones a ejercicios conceptuales sobre el movimiento de un brazo robótico y la posición de un batiscafo bajando desde una plataforma petrolera.

1. Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”1
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
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48 Reduce a una sola potencia.
a) (x2)5 b)(m4)3 c) [a10 : a6]2
d)(a · a3)3 e)(x5 : x2) · x4 f )(x6 · x4) : x7
a) (x2)5 = x10 b)(m4)3 = m12 c) [a10 : a6]2 = a8
d)(a · a3)3 = a12 e) (x5 : x2) · x4 = x7 f ) (x6 · x4) : x7 = x3
49 Expresa como una potencia única.
a) 52 · (–5)3 b)(–6)8 : (–6)5 c) [74 · (–7)4] : (–7)6
d)(24)3 : 29 e) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 f )(52)5 : [(–5)3]2
a) 52 · (–5)3 = –55 b)(–6)8 : (–6)5 = –63 c) [74 · (–7)4] : (–7)6 = 72
d)(24)3 : 29 = 23 e) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 = –33 f ) (52)5 : [(–5)3]2 = 54
50 Opera y calcula.
a) [29 : (23)2] · 53 b)102 : [(52)3 : 54]
c) 63 : [(27 : 26) · 3]2 d)[(62)2 · 44] : (23)4
a) [29 : (23)2] · 53 = [29 : 26] · 53 = 23 · 53 = 103 = 1000
b)102 : [(52)3 : 54] = 102 : [56 : 54] = 102 : 52 = (10 : 5)2 = 22 = 4
c) 63 : [(27 : 26) · 3]2 = 63 : [2 · 3]2 = 63 : 62 = 6
d)[(62)2 · 44] : (23)4 = [64 · 44] : (23)4 = [6 · 4]4 : (23)4 = [3 · 23]4 : (23)4 = 34 = 81
■ Raíces de números enteros
51 Calcula.
a) √49 b)√72 c) √–49
d)√152 e) √225 f )√–225
g)√2500 h)√502 i) √–2500
a) ±7 b)±7 c) No existe.
d)±15 e) ±15 f) No existe.
g) ±50 h)±50 i) No existe.
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2. Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”1
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
52 Calcula las raíces siguientes:
a) √x2 b)√(–x)2 c) √–x2
d)√a4 e) √(–a)4 f )√–a4
g)√m6 h)√(–m)6 i) √–m6
a) ±x b)±x c) No existe.
d)±a2 e) ±a2 f) No existe.
g) ±m3 h)±m3 i) No existe.
53 Calcula, si existen, estas raíces:
a) ³
√1 b)³
√–1 c) ³
√64
d)4
√625 e) 4
√–625 f )4
√10000
a) 1 b)–1 c) 4
d)±5 e) No existe. f) ±10
54 Calcula.
a) ³
√a3 b)4
√x4 c) 5
√m5
a) a b)±x c) m
55 Observa el ejemplo y razona, en cada caso, de manera similar.
• 4
√x12 = x3, puesto que (x3)4 = x3 · 4 = x12
a) ³
√a12 b)5
√m10 c) √x10
a) ³
√a12 = a4, ya que (a4)3 = a4 · 3 = a12
b)⁵
√m10 = m2, ya que (m2)5 = m2 · 5 = m10
c) √x10 = ±x5, ya que (x5)2 = x10 y (–x5)2 = x10
■ Interpreta, describe, exprésate
56 El brazo mecánico de un robot ha sido programado de la siguiente forma:
— Encendido: inicio del programa.
— Primer minuto: avanza 1 cm y retrocede 5 cm.
— Segundo minuto: avanza 2 cm y retrocede 5 cm.
— Tercer minuto: avanza 3 cm y retrocede 5 cm.
— …
Y así continúa, hasta que, al final de un determinado minuto, se encuentra en la
posición inicial. Entonces repite el proceso.
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3. Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”1
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
¿Cuántas veces repite el ciclo en hora y media? Justifica la respuesta.
MINUTO 1 2 3 4 5
AVANCE 1 2 3 4 5
RETROCESO 5 5 5 5 5
VARIACIÓN –4 –3 –2 –1
POSICIÓN –4 –7 …
Veamos cuánto dura un ciclo completo:
MINUTO 1 2 3 4 5 6 7 8 9
AVANCE 1 2 3 4 5 6 7 8 9
RETROCESO 5 5 5 5 5 5 5 5 5
VARIACIÓN –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
POSICIÓN –4 –7 –9 –10 –10 –9 –7 –4 0
Un ciclo completo dura 9 minutos.
Por tanto, en hora y media (90 min), repetirá el ciclo 90 : 9 = 10 veces.
57 Una plataforma petrolífera marina se sostiene sobre flotadores, a 55 metros
sobre la superficie del agua, anclada en una zona con una profundidad de 470 m.
Sobre ella, hay una grúa de 35 m de altura, de la que pende un cable y en su extre-
mo un batiscafo auxiliar para los trabajos de mantenimiento de la plataforma.
En este momento, la grúa ha largado 120 metros de cable y sigue bajando el batis-
cafo a razón de un tercio de metro por segundo.
a) ¿Cuál o cuáles de estas expresiones representan la distancia del batiscafo al fondo
en este momento?
470 + 55 + 35 – 120 470 – [120 – (55 + 35)] (470 + 55) – (120 – 35)
b)¿Cuánto tardará el batiscafo en llegar al fondo?
c) ¿Cuánto tardará la grúa en izar el batiscafo hasta la superficie de la plataforma, si
sube a la misma velocidad que baja?
a) Todas las expresiones son equivalentes y representan la posición del batiscafo, que está
a 440 m del fondo.
b)Tardará 440 · 3 = 1320 segundos. Esto es, 1320 : 60 = 22 minutos.
c) Desde el fondo hasta la plataforma, hay 470 + 55 = 525 m.
Tardará 525 · 3 = 1575 s = 26,25 min = 26 min 15 s
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