1. >ommaire
• Introduction
• Analyse expérimentale
• Analyse théorique
• Complexité asymptotique
© L. B. Romdhane, Ph.D. • Big-Oh
• Big oméga
,- D S I / F S M / UM/Tunisie
• Big thêta
• Méthodes récursives
• Discussion
O L. B. Rumdhtmc; FSM.TN
INTRODUCTION (1)
• Analyser la complexité d'un algorithme revient à • Espace mémoire, appelé aussi complexité spatiale,
étudier ses performances dépend de
• Pourquoi ? • la taille des données
• savoir les limitations d'un algorithme • e.g.; nombre d'éléments d'un tableau, la valeur d'un paramètre
• choisir les machines adéquates pour l'exécuter • choix d'une structure/type de données
convenablement • e.g.; entier, réel, etc.
• comparer deux algorithmes pour choisir le plus efficace • L'avancement technologique fait que l'espace mémoire
• Paramètres mesurables n'est plus un problème fondamental pour les machines
actuelles
• espace méraoire (RAM)
• Grosse capacité, vitesse d'accès rapide
« temps d'exécution
« 1,. B. Hunulhiuic; KSM.TN L. B. Rorailhuiiui FSM.TN
AS!)

2. INTRODUCTION (3) HTTRO D U CTi 0 N (4) "" '"
» Le facteur primordial est le temps d'exécution temps = /(paramètres du problème)
« Appelé aussi complexité temporelle
• Un fait réel : certains algorithmes sont encore très
lents à exécuter même sur les machines les plus temps
performantes Analyse
• Dépend des paramètres du problème à résoudre F
• nombre d'éléments d'un tableau à trier
• taille (valeur) d'un nombre qu'on veut déterminer être
paramètres (input) Expérimentale Théorique
premier ou non ?
« etc.
L. B. KomiiJuuic; l'SM.TN L. B. Romdhanej FSM.TN
Mesurer le temps d'exécution sur un ensemble de
données en faisant varier
Analyse Expérimentale • l'ensemble des données; et/ou
• la taille (le nombre) des données en entrée
Dégager Za corrélation entre temps et données ( F )
à l'aide d'une étude statistique
PROGRAMME
temps _débuî temps_fm
temps ~ temps_début - temp_tin
i ],. B. Rumdliane; FSM.TN L. B. Romdhanc; FSM.TN

3. EMARCHE (1) EMARCHE (2)
1. Fixer les tests à faire ? 3. Génération de l'ensemble des données en entrée
« variation en fonction de la taille • choisir les données les plus représentatives
* Tri d'un tableau: varier la dimension • connaître la distribution des données en entrée
• sensibilité par rapport à un paramètre constant 4. Codage & test de l'algorithme
• calculer le zéro d'une fonction : mesurer le temps et
la précision du résultat obtenu en fonction du critère • effectuer « assez » de tests !
d'arrêt (e = 10^ ; £ = icr* ; ,..) 5. Analyser les résultats obtenus
2. Mesurer le temps d'exécution • dégager le comportement de l'algorithme en fonction
• Très difficile à estimer correctement des données en entrée
• Varie en fonction de plusieurs paramètres • mettre ses résultats sous formulation mathématique
• taille mémoire; vitesse CPU; OS; langage utilisé; etc. (même empirique)
© L. B. RoiiHlIiunc; FSM.TN L'J ) L. ii. Ruuiilliuiiin l'SM.TN
TourdFJWno
Exécuté sur 128 R.4M; et CPU = 866 Mliz; Windows XP; langage C
« Les expérimentations sont possibles uniquement sur
2500 un ensemble limité des données
= 34: 2168 sec
2000 -
= 36,13 mn
• Les données doivent être bien choisies
i/r
* Temps d'exécution dépend de l'environnement
ï 1500 -
w
g
u
1000 d'exécution :
500 -
• hardware (CPU, Mémoire, etc.)
• software (OS, compilateur, langage, etc.)
•v— -j-—^r-— J---W | v—
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34
7 10
N (# disks)
ï L. B, KomdUane; ÏSM.TN O L. B. Romdlianr, FSM.TN

4. l" Une comparaison équitable de 2 algorithmes exige
• implémentation/exécution sur le même environnement
• développement par des compétences égales Analyse Théorique
• Le développement de l'algorithme est nécessaire
• perte temps
• gaspillage argent
• Démarche coûteuse et parfois non praticable pour
certains algorithmes
« Le temps d'exécution peut durer des années !
© L. B. Ronullianc; FSM.TN ) L. B. Romdiiaue; FSM.TN
-^vîODELE -IvTODELE-RAM (2)
* A ne pas confondre avec la Random Access Memory Une primitive dans le modèle RAM correspond à une
« On considère un ensemble de primitives utilisées en instruction dans un
algorithmique qui sont indépendantes du langage de La durée d'exécution d'une instruction dépend de
programmation : l'environnement utilisé
• affectation (<— ) Dans le modèle RAM, on suppose que le temps
d'exécution de toutes les primitives est le même;
• appel d'une méthode (fonction ou procédure)
c'est-à-dire « une unité de temps »
» comparaison (<, >=, < > , > , > -)
Calc'ulefla compïëxïlé~iemporelie d'un
» accès à une case d'un tableau (T[ i ] ) algorithme revient à comptabiliser le nombre de
» retourner (résulat) (d'une méthode ) primitives qu'il contient
« opérations mathématiques (+, * , - , / )
« etc.
L. U. Itoimlhane; FSM.TN
ASI) © L. B. Homdhant; FSM.TN M

5. I XEMPLE (1) -"EXEMPLE (2)
/ i u i r / i o f i arrayMax(A : Inst. #opérations Un algorithme peut s'exécuter plus rapidement sur un
Uil>lrau[N] d'entiers) : entier 1. 2 ensemble de données que sur un autre ^
VAR i, currentMax : entier 2. 1 affect; N compa. ; 1 • A= [5,2,1,0]; T= Tmi'n = 20 ops ff là
Début incré. et 1 affection (N-l) • A = [0,1,2,5]; T = Tmax = 26 ops /;'; ' jt^S
1. currenMax <— A[i] fois ; 1 + N + 2(N-1) • A = [5,4,6,0]; Tmin <= T <= Tmax _
2. Pour i de 2 à N faire 3. 1 comparaison, 1 accès :
On peut dégager trois mesures de complexité
3. Si ( currentMax < A[iJ ) N-l fois;2(N-l)
4. 1 alïectation, 1 accès : N-
« maximale ou au pire des cas ( worst case )
4. alors currentMax <—A[i]
1 fois; 2 (N-l) • minimale ou au meilleur des cas ( best case )
Fin Si
Fin Pour 5 1 • moyenne ( average case )
5. retourner (currentMax) Tmin 5N
FIN. Tmax 7N-2
i L. I). Komdlimii]; KSM.ÏN L. B. Ronuthane; FSM.TN
-TfPÉS DE CÔMPLËXÏÏF --COMP LEX lî
• Pour déterminer la complexité moyenne, il faut
maximal • mesurer la complexité de chaque cas possible (T,.)"-^ ' v
5ms • "i™ «
I
a
moyenne • déterminer la fréquence de chaque cas (/))
}
i^
i .
4 rns " U
-•~ .:'. i • La complexité moyenne est donnée par
"1
8 3ms - ]f minimal
E
B 2ms '
Cl
:'
1 ms " i
|
1 - J .1 E 7" • Nécessite une idée précise sur les données du problème
A B D Ë F
3
« Difficile à utiliser en pratique
• e.g.; problème du Tri
C ]., B, Knindhnne; KSM.TN G L. B. Roindhant; FSM.TN

6. COMPLEXITE MINIMALE COMPLEXITE MAXIMALE
N'a aucune utilité pratique • Assez informative
II se peut que cette a Constat - un algorithme
complexité ne soit atteinte qui a de bonnes
que pour un ensemble très performances dans le
réduit des données; donc pire des cas, aura
non représentatif du toujours de bonnes
problème ! performances quelque
soit les données en entrée
I L. B. Konidhane; KSM.TN © L. B. Romdhane; FSM.TN
^COMPLEXITE ASYMPTOTYQUE «Big-Oh » (1) - Définition
• L'analyse de la complexité selon le modèle RAM est • Exprime le fait qu'une fonction est « inférieur ou égal »
difficile à appliquer sur des algorithmes (projets à une autre au sens asymptotique
informatique) de grande taille • Définition
• Besoin d'une analyse f, g : N+ —> R ;f(n) est dite O(g(n)) ssi 3 c, une constante,
• plus simple à calculer et un entier constant n0 >= 11 f(n) <= c g(n); Vn >= n0
• aboutir à la même conclusion concernant le
comportement de l'algorithme
8 Les mesures les plus communes
« Big-Oh f(n)
« Big-Oméga
« Big-Théta
<0 L. B. Konulhane; KSM.TN ASD | L. B. Rumdhane; KSM.TN
ASD

7. « Big-Oh » (2)- Exemples « Big-Oh » (3) -Théorème
• yn - 2 est O(n) Soit d(n), e(n), f(n) et g(n) trois fonctions : N+ —>• R
• c = 7; n0 = i
1. d(n) est 0(f(n)) => a *d(n) est O(f(n)) Va > o
• n3+ zn- 5 est O( n 3 )
• c = 2; n0 = i 2. d(n) est O(f(n)); et e(n) est O(g(n)) :
• n + 3 log(n) est O( n ) a. d(n) + e(n) est 0(f(n) + g(n))
• c = 3; n0 = i b. d(n) x e(n) est O (f(n) x g(n))
• 3n + n3 + nlog(n) est 0(3" )
3. d(n) est O(f(n)) etf(n) est O(g(n)) =i> d(n) est
• c = i;n 0 = i
• Big Oh permet de se concentrer sur les facteurs 0(g(n))
dominants dans l'expression de la complexité 4. f(n) - ao + ... + aknk est O(nk)
ASD © L. B. Rumdlianc; FSM.TN i L. B. Romdhane; FSM.TN
« Big-Oh » (4) - Fonctions usuelles &Big-
logarithmique linéaire quadratique polynomiale exponentielle
Big Oméga (£1) Big Thêta (9)
O(log(n)) O(n) O(n i (nk) (k >=l O(a n )
• une fonction f(n) est fi(g(n)) « une fonction f(n) est 0(g(n))
exponentielle
ssi g(n) est O(f(n)); Le., 3c et ssi :
quadratique/polynomiale n0>= i /g(n) <= cf(n); Vn • fîn)estO(g(n)) «*
linéaire >= nn • f(n) esL Oi