Guía de actividades y rúbrica de evaluación - Unidad 3 - Tarea 4 - Espacios vectoriales.pdf

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Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Vicerrectoría Académica y de Investigación
Curso: Álgebra Lineal e-Learning
Código: 208046
Guía de actividades y rúbrica de evaluación – Tarea 4
Sistema de ecuaciones lineales, Rectas y planos.
1. Descripción de la actividad
Tipo de actividad: Independiente
Momento de la evaluación: Intermedio
Puntaje máximo de la actividad: 100 puntos
La actividad inicia el:
lunes, 1 de noviembre de 2021
La actividad finaliza el: domingo,
28 de noviembre de 2021
Con esta actividad se espera conseguir los siguientes resultados
de aprendizaje:
 Resultado de aprendizaje 6: Interpretar los diferentes axiomas,
operaciones y propiedades relacionadas con espacios vectoriales en
la realización de demostraciones matemáticas.
 Resultado de aprendizaje 7: Aplicar los axiomas, operaciones y
propiedades de espacios vectoriales en la resolución de ejercicios.
La actividad consiste en:
Consultar las referencias que se encuentran en el entorno de
Aprendizaje, en los recursos educativos requeridos de la Unidad
Unidad 3 – Espacios vectoriales:
Stanley, G. S., & Flores Godoy, J. J. (2012). Algebra lineal (8a. ed.).
McGrawHill. Espacios Vectoriales. Pp (285-305).
McGrawHill. Independencia lineal. Pp (321-374).

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McGrawHill. Subespacios. Pp (298-305).
McGrawHill. Rango de una matriz. Pp (298-305)
Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Espacios
vectoriales. Pp (241-245).
Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Dependencia
e Independencia lineal. Pp (256-259).
Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Subespacios.
Pp (269273).
Sáenz, W. (2017). Introducción a los espacios vectoriales. [Video].
Universidad Nacional Abierta y a Distancia.
Luego, deberá desarrollar 6 ejercicios, de estos, 5 son desarrollados
individualmente. El Ejercicio 6 es colaborativo.
En los ejercicios individuales encontrará 5 literales (A, B, C, D y E), antes
de desarrollar los ejercicios cada estudiante debe seleccionar un único
literal y manifestar en el Foro de Discusión su elección, teniendo en
cuenta la elección de sus compañeros de grupo para no tener
repeticiones.
El estudiante deberá desarrollar en todos los 5 ejercicios el literal
escogido. Cada uno de los resultados obtenidos en estos 5 ejercicios
debe ser comprobado y/o graficado, según corresponda, en GeoGebra u
otro programa similar, y deberá anexar el archivo que soporte dicha
comprobación
El ejercicio 6 consiste en seleccionar un literal desarrollado por uno de
sus compañeros con el objetivo de retroalimentarlo; manifieste su
selección en el foro, luego presente en este las sugerencias y/o ajustes
a hacer identificados en el desarrollo propuesto por su compañero; en el
evento que su compañero no haga el aporte de los ejercicios que usted
seleccionó para retroalimentar dentro del tiempo asignado para la

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tarea o realiza el aporte en último momento, usted debe aportar en el
documento finalel desarrollo de los ejercicios de referencia con el cual
iba a comparar los procedimientos y sus resultados con el de su
compañero.
Debe consolidar en un documento final, digitando mediante un Editor
de Ecuaciones, el desarrollo paso a paso y las imágenes obtenidas de
las comprobaciones y/o gráficas de los ejercicios individuales.
Adicionalmente, evidencie las retroalimentaciones realizadas en el foro
de Discusión relativas a el ejercicio 6.
Ejercicio 1: conceptualización de sistemas de ecuacioneslineales,
rectas y planos.
Después de haber realizado la lectura de los contenidos indicados,
presentar de forma individual en el foro un Mapa conceptual que ilustre
los siguientes conceptos:
A. Definición y propiedades de los espacios vectoriales.
B. Combinación lineal de vectores y espacio generado por un conjunto de
vectores.
C. Independencia lineal de vectores.
D. Base y dimensión de un espacio vectorial.
E. Rango, nulidad, espacio renglón y espacio columna de una matriz.
Utilice para su construcción Cmaptools, GoConqr, PowerPoint o cualquier
otra herramienta para el desarrollo de esquemas mentales; debe
compartirlo en el foro de discusión en formato de imagen (*.jpg, *.bmp,
etc).
Ejercicio 2. Axiomas y propiedades de espacios vectoriales.
Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem
seleccionado en el ejercicio 1.

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Cada
estudiante
selecciona
y
desarrolla
un (1)
sólo ítem
Ítem a
seleccionar
Ejercicio para desarrollar
a) Dados los vectores 𝒖 = (-1,-3, -4), 𝒗 =
(9, −3, 1) y 𝒘 = (7, -6, 2) verifique si se
cumple los axiomas:
I) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
II) 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 = 0
III) 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤
b) Dados los vectores 𝒖 = (−4, -1, 8) y 𝒗
= (−5, 10, 7) para 𝝀 = 3 y 𝛽= -2
verifique si secumple los axiomas:
I) 𝜆 (𝑢 + 𝑣) = 𝜆𝑣 + 𝜆𝑢
II) 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 = 0
III) 𝜆(𝛽𝑣) = (𝜆𝛽)𝑣
c) Dados los vectores 𝑢 = (−5, 12, 3) y
𝒗 = (13, −3, 8), y los escalares 𝜆 = −5 y
𝛽 = 4 verifique si se cumple los axiomas:
I) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
II) 𝜆 (𝑢 − 𝑣) = 𝜆𝑢 − 𝜆𝑣
III) (𝜆 + 𝛽) 𝑣 = 𝜆𝑣 + 𝛽𝑣
d) Dados los vectores 𝑢 = (5, 10, 7) y 𝑣 = (2, −3,
7), y los escalares 𝜆 = 3 y 𝛽 = −5 verifique si:
I) 𝜆 (𝑢 + 𝑣) = 𝜆𝑣 + 𝜆𝑢
II) 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 = 0
III) 𝜆(𝛽𝑣) = (𝜆𝛽)𝑣
e) Dados los vectores 𝑢 = (−8, 1, −8),
𝑣 = (1, 3, -5) y 𝑤 = (-6, 8, 4)
verifique si se cumple los axiomas:
I) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
II) 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 = 0
III) 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤

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Ejercicio 3: Conjuntos Generadores, dependencia lineal e
independencia lineal.
Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al
literal seleccionado previamente.
 Determine si el conjunto 𝑆 de vectores correspondiente es
linealmente independiente. Si, para alguno de ellos la respuesta
puede determinarse por inspección (esto es, sin cálculo), establezca
por qué. Para cualquier conjunto que sea linealmente dependiente,
encuentre una relación de dependencia entre los vectores.
 Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3
Literal a
Seleccionar Conjunto 𝑺 a evaluar:
a) 𝑆 = {(1, 1,1),(1,2,3), (1,−1,2)}
b) 𝑆 = {(1,1,2), (2,1,3), (2,0,1)}
c) 𝑆 = {(1, 0, 0), (0,1,1), (0,0,0), (1,1,1)}
d) 𝑆 = {(0, 1, 0), (0, 2,0), (0, -7,0)}
e) 𝑆 = {(1, 0,5), (0, 1, 2), (1,1,7)}

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Ejercicio 4: Determinantes, Rango de una matriz, e
Independencia lineal.
Cada
estudiante
selecciona
y
desarrolla
un (1)
sólo ítem
Ítem a
seleccionar
Tema a trabajar
a)
Dada la siguiente matriz:
𝐴 = (
1 0 1 0
−7 4 −1 −6
5 0 1 4
0 −3 0 8
)
1. Calcular el rango de la matriz 𝐴 por el
método de GaussJordán.
2. Calcular el rango de la matriz 𝐴
por el método dedeterminantes.
3. Determine si el conjunto
formado por las columnas de la
matriz 𝐴 es linealmente
independiente.
b)
𝐵 = (
1 0 1 0
0 4 −1 −2
5 1 1 −4
0 −1 1 1
)
1. Calcular el rango de la matriz 𝐵 por el
método de Gauss-
-Jordán
2. Calcular el rango de la matriz 𝐵
por el método dedeterminantes
3. Determine si el conjunto formado por las
columnas de la matriz 𝐵 es linealmente
independiente.

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c) Dada la siguiente matriz:
𝐶 = (
1 0 1
0 6 −1
1 1 1
0 −1 1
)
3. Calcular el rango de la matriz 𝐶 por el
método de Gauss-
-Jordán
4. Calcular el rango de la matriz 𝐶
por el método de determinantes.
columnas de la matriz 𝐶 es linealmente
independiente.
d)
𝐷 = (
1 0 0
−3 4 −6
5 0 4
0 −3 8
)
5. Calcular el rango de la matriz 𝐶 por el
método de Gauss-
-Jordán
6. Calcular el rango de la matriz 𝐵
columnas de la matriz 𝐷 es linealmente
independiente.
e)
𝐸 = (
1 1 1
0 1 1
0 0 0
)
1. Calcular el rango de la matriz 𝐸 por el
método de GaussJordán
2. Calcular el rango de la matriz 𝐸
columnas de la matriz 𝐸 es linealmente
independiente.

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Descripción del ejercicio 5
Cada estudiante debe desarrollar la demostración correspondiente al
ítem seleccionado previamente:
Cada
estudiante
selecciona
y
desarrolla
un (1)
sólo ítem
Ítem a
seleccionar
Tema para trabajar
a)
Sean 𝒖 y 𝒘 vectores en ℝ3. Demuestre que
𝟒(𝒖 . 𝒘) = ∥ 𝒖 + 𝒘 ∥𝟐
− ∥ 𝒖 − 𝒘 ∥𝟐
b)
Sean 𝒖, 𝒗 y 𝒘 vectores en ℝ3. Demuestre
que
𝒖 ∙ (𝒗 × 𝒘) = (𝒖 × 𝒗) ∙ 𝒘
c)
que
𝒖 × (𝒗 × 𝒘) = (𝒖 ∙ 𝒘) ∙ 𝒗 − (𝒖 ∙ 𝒗) ∙ 𝒘
d)
que
𝒖 × (𝒗 + 𝒘) = (𝒖 × 𝒗) + (𝒖 × 𝒘)
e)
Sean 𝒖 y 𝒘 vectores en ℝ3. Demuestre que
2(𝒖 . 𝒘) = ∥ 𝒖 + 𝒘 ∥𝟐
− ∥ 𝒖 ∥𝟐
−∥ 𝒘 ∥𝟐
Ejercicio 6: retroalimentación de los ejercicios de un compañero
de grupo.
Seleccione los ejercicios que correspondientes a un literal desarrollado
por uno de sus compañeros y manifiéstelo en el foro. Luego, realice la
respectiva retroalimentación de todos los ejercicios, dejando de forma

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explícita las sugerencias y/o ajustes que usted identifique que se deban
hacer para mejorar el desarrollo de los ejercicios.
Para el desarrollo de la actividad tenga en cuenta que:
En el entorno de Información inicial debe: Consultar y revisar la
Agenda del curso.
En el entorno de Aprendizaje debe:
 Consultar la referencia propuesta en los recursos educativos
requeridos de la Unidad 2 – Sistema de ecuaciones lineales,
rectas y planos
 Presentar en el Foro de Discusión sus elecciones de literal a
desarrollar y retroalimentar.
 Presentar en el Foro de Discusión los aportes y avances sobre el
desarrollo y solución de los 5 ejercicios individuales.
 Presentar en el Foro de Discusión la retroalimentación realizada.
En el entorno de Evaluación debe: Entregar el documento consolidado
de manera individual de acuerdo a las especificaciones y a la
programación de la Agenda del curso.
Evidencias individuales:
Las evidencias individuales para entregar son:
Documento conteniendo la siguiente información:
Portada:
 Título: Tarea 4 – Espacios Vectoriales
 Autor
 Tutor
 Curso
 Grupo
 Institución
 Escuela
 Programa
 Año
Ejercicio1: conceptualización de espacios vectoriales.
Ejercicio2: verificación de propiedades de espacios vectoriales.

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Ejercicio 3: conjuntos generadores y dependencia Lineal.
Ejercicio 4: cálculo de rango de una matriz.
Ejercicio 5: demostraciones matemáticas a través del uso de axiomas,
propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales.
Ejercicio 5: aplicación del concepto de plano en la resolución de ejercicios
básicos.
Ejercicio 6: retroalimentación de los ejercicios de un compañero de
grupo, incluyendo las evidencias del desarrollo del ejercicio 6 en el
documento.
Bibliografía (con norma APA).
El documento debe presentarlo en formato .pdf e identificarlo de la
siguiente forma:
Tarea4_grupo_Nombre_Apellido.
2. Lineamientos generales para la elaboración de las evidencias
a entregar.
Para evidencias elaboradas individualmente, tenga en cuenta las
siguientes orientaciones
1. Todos los integrantes del grupo deben participar con sus aportes
en el desarrollo de la actividad.
2. Cada estudiante debe entregar el producto solicitado en el
entorno que haya señalado el docente.
3. Antes de entregar el producto solicitado deben revisar que cumpla
con todos los requerimientos que se señalaron en esta guía de
actividades.
4. Cada estudiante debe hacer sus aportes y retroalimentación con
tiempo suficiente para que sus compañeros puedan consolidar el
ejercicio colaborativo sin contratiempos.
Tenga en cuenta que todos los productos escritos individuales o
grupales deben cumplir con las normas de ortografía y con las
condiciones de presentación que se hayan definido.

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En cuanto al uso de referencias considere que el producto de esta
actividad debe cumplir con las normas APA
En cualquier caso, cumpla con las normas de referenciación y evite el
plagio académico, para ello puede apoyarse revisando sus productos
escritos mediante la herramienta Turnitin que encuentra en el campus
virtual.
Considere que en el acuerdo 029 del 13 de diciembre de 2013, artículo
99, se considera como faltas que atentan contra el orden académico,
entre otras, las siguientes: literal e) “El plagiar, es decir, presentar como
de su propia autoría la totalidad o parte de una obra, trabajo,
documento o invención realizado por otra persona. Implica también el
uso de citas o referencias faltas, o proponer citad donde no haya
coincidencia entre ella y la referencia” y liberal f) “El reproducir, o copiar
con fines de lucro, materiales educativos o resultados de productos de
investigación, que cuentan con derechos intelectuales reservados para
la Universidad”
Las sanciones académicas a las que se enfrentará el estudiante son las
siguientes:
a) En los casos de fraude académico demostrado en el trabajo
académico o evaluación respectiva, la calificación que se impondrá será
de cero puntos sin perjuicio de la sanción disciplinaria correspondiente.
b) En los casos relacionados con plagio demostrado en el trabajo
académico cualquiera sea su naturaleza, la calificación que se impondrá
será de cero puntos, sin perjuicio de la sanción disciplinaria
correspondiente.
3. Formato de Rúbrica de evaluación
Tipo de actividad: Individual
Momento de la evaluación: Intermedia en la unidad 2
La máxima puntuación posible es de 100 puntos
Primer criterio de
evaluación:
Nivel alto: El estudiante tiene una participación constante en
el foro de trabajo de la unidad, en donde sus aportes demuestran
progreso en las temáticas tratadas.

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Participa en el foro
de discusión para
desarrollar y
presentar la tarea 4.
Este criterio
representa 20
puntos del total
de 100 puntos de
la actividad.
Si su trabajo se encuentra en este nivel puede obtener
entre 10 puntos y 20 puntos
Nivel Medio: El estudiante es intermitente en el foro y sus
participaciones no demuestran avance en el desarrollo de los
ejercicios.
Nivel bajo: El estudiante no tiene participación dentro del foro
de la actividad.
Segundo criterio
de evaluación:
Identifica los
conceptos de
espacios vectoriales
como se indica en el
ejercicio 1.
Este criterio
representa 12
puntos del total
de 100 puntos de
la actividad
Nivel alto: El estudiante verifica apropiadamente los axiomas de
espacios vectoriales indicados de acuerdo con el conjunto de
vectores dados en el ejercicio 2, desarrollándolos correctamente.
Nivel Medio: El estudiante verifica los axiomas de espacios
vectoriales indicados de acuerdo con el conjunto de vectores
dados en el ejercicio 2, pero presenta falencias en el
procedimiento, o no desarrolla el ítem seleccionado
correctamente.
Nivel bajo: El estudiante no realiza el ejercicio 1.
Tercer criterio de
evaluación:
Verifica
apropiadamente
algunas propiedades
de espacio vectorial
Nivel alto: El estudiante verifica apropiadamente los axiomas
de espacios vectoriales indicados de acuerdo con el conjunto de
vectores dados en el ejercicio 2, desarrollándolos
correctamente.
Nivel Medio: El estudiante verifica los axiomas de espacios
vectoriales indicados de acuerdo con el conjunto de vectores

13
ejercicio 2.
Este criterio
representa 12
puntos del total
de 100 puntos de
la actividad
dados en el ejercicio 2, pero presenta falencias en el
procedimiento, o no desarrolla el ítem seleccionado
correctamente.
Cuarto criterio de
evaluación:
Determina si un
conjunto de
vectores es
linealmente
independiente y
genera un espacio
vectorial como se
indica en el ejercicio
3.
Este criterio
representa 12
puntos del total
de 100 puntos de
la actividad
Nivel alto: El estudiante usa conceptos de combinación lineal y
espacios generadores al demostrar correctamente lo solicitado en
el ítem seleccionado del ejercicio 3
Nivel Medio: El estudiante usa conceptos de combinación lineal
y espacios generadores al demostrar el ejercicio 3, pero presenta
falencias en el procedimiento o no desarrolla el ítem seleccionado
correctamente.
Quinto criterio de
evaluación:
Determina el rango
de una matriz como
se indica en el
ejercicio 4.
Este criterio
representa 12
Nivel alto: El estudiante determina correctamente el rango de
una matriz en el ejercicio 4.
Nivel Medio: El estudiante determina el rango de una matrizen
el ejercicio 4, pero tiene fallas en el procedimiento realizado. Si
su trabajo se encuentra en este nivel puede obtener entre
2 puntos y 6 puntos

14
puntos del total
de 100 puntos de
la actividad
Si su trabajo se encuentra en este nivel puede obtener entre 0
puntos y 1 puntos.
Sexto criterio de
evaluación:
Realiza algunas
demostraciones de
propiedades
matemáticas
relacionadas con
espacios vectoriales
ejercicio 5
Este criterio
representa 12
puntos del total
de 100 puntos de
la actividad
Nivel alto: El estudiante realiza correctamente la demostración
de la propiedad relacionada en el ejercicio 5 sobre espacios
vectoriales.
Nivel Medio: El estudiante realiza la demostración de la
propiedad relacionada en el ejercicio 5 sobre espacios vectoriales,
teniendo algunas falencias en el procedimiento.
Séptimo criterio
de evaluación:
Asume con
responsabilidad la
retroalimentación a
su compañero.
Este criterio
representa 20
puntos del total
de 100 puntos de
la actividad
Nivel alto: El estudiante retroalimenta correctamente lo
solicitado en el ejercicio 6.
Nivel Medio: El estudiante presenta parcialmente la
retroalimentación solicitada en el ejercicio 6.
Nivel bajo: El estudiante no desarrolla el ejercicio 6.

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