1. 6. Concurrencia de rectas.
Rectas concurrentes: es un número de rectas que tienen exactamente un
punto en común.
Teorema 1: los tres bisectores de los ángulos de un triángulo son concurrentes.
Los bisectores del ángulo BAC y el ángulo ABC se intersectan en el punto E. Debido a
que el bisector de ángulo del ángulo BAC es el lugar geométrico de los puntos que
equidistan de los lados del ángulo BAC, se sabe que EM es congruente con EN. De
manera similar, se sabe que EM es congruente con EB porque E está en el bisector de
ángulo del ángulo ABC.
Por la propiedad de congruencia transitiva se tiene que EP es congruente con EN. Debido
a que el bisector de ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los
lados del ángulo, se sabe que E también está en el bisector del tercer ángulo, el ángulo
ACB. Por lo tanto, los bisectores de ángulo son concurrentes.

2. Teorema 2:Los tres bisectores perpendiculares de los lados de un triángulo son
concurrentes.
Sean FS los bisectores perpendiculares
de los lados BC y AC, respectivamente.
Usando el segundo teorema de la
sección 5, el punto de concurrencia F es
equidistante de los puntos extremos de
BC; por tanto BF es congruente con FC.
De la misma manera, AF es congruente
con FC. Por la propiedad transitiva se
deduce que AF es congruente con BF, F
debe estar en el bisector perpendicular
de AB, porque este punto equidista de
los puntos extremos de AB. Por tanto, F
es el punto de concurrencia.
Circuncentro:El punto en que coinciden los bisectores perpendiculares de
los lados de un triángulo.
Circunscrito: Es el centro del círculo.
Teorema 3: La tres alturas de un triángulo son concurrentes.

3. En el ∆MNP, para comprobar que las alturas son concurrentes se requiere
1. Que se tracen líneas auxiliares a través de N paralela a MP, a través de M paralela
a NP y a través de P paralela a NM.
2. Que se demuestre que las alturas del ∆MNP son bisectores perpendiculares de los
lados del ∆RST recién formado; por lo tanto las alturas PX, MY y NZ son
concurrentes.
Teorema 4: las tres medidas de un triángulo son concurrentes en un punto que
está a dos tercios de la distancia desde cualquier vértice hasta el punto medio del
lado opuesto.
Centroide: es el punto de concurrencia de las tres medianas del triángulo.
Las medianas del ∆RST tienen las
longitudes RM = 12, SN = 15 y TP = 18. Si
el centroide del ∆RST es el punto C,
encuentre la longitud de:
a) RC = 2/3(RM), entonces RC =
2/3(12) = 8.
b) CM = RM – RC, entonces CM =
12 – 8 = 4.
c) SC = 2/3(SN), entonces SC =
2/3(15) = 10.