1. Автор работы:
Карнаухов Вадим
ученик 9 "А" класса
МОУ "Гимназия №2"
г.Балаково
Саратовской обл.
Научный руководитель:
Лысенко Надежда
Анатольевна,
учитель математики
высшей
квалификационной
категории
2010 г.

2. 1. Введение
2. Основная часть
2.1. Определение подобия
2.2. Подобие в окружающем мире
2.3. Фрактальная геометрия
2.4. Применение подобия для решения практических задач
3. Заключение
4. Список используемой литературы и ресурсов

3.  Узнать, где в жизни встречается
подобие.
 Узнать о способах применения
подобия для решения практических задач,
использовать их.

4. Узнал о том, где в природе можно
встретить подобие, что такое автоподобные
фигуры и фракталы, рассмотрел и применил
на практике несколько способов решения
практических задач с помощью подобия.

5. На уроках математики, в частности, геометрии, мы,
как правило, занимаемся вещами, которые сильно
оторваны от действительности, представляющими
нечто неосязаемое. На реальных жизненных ситуациях,
на практическом применении полученных знаний мы
почти не останавливаемся. В данной работе я лишь
коснулся математической теории, сделав основной
акцент на том, где можно встретить подобные фигуры в
окружающем мире, а также как можно применять
подобие для решения практических задач.

6. Подобными фигурами называют
такие фигуры F1 и F2, между точками
которых можно установить взаимно
однозначное соответствие, при
котором отношение расстояний между
любыми парами соответствующих
точек равно одной и той же
постоянной k, которая называется
коэффициентом подобия.

7. Животные и их детеныши
Цветы на клумбе

8. Репродукция картины А. А. Иванова
"Явление Христа народу"
(коэффициент подобия 0.02)

10. Идеи подобия малого в большом волновали людей во все времена.
Известный немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646 - 1716) рискнул предположить, что внутри капли воды могут
умещаться целые вселенные со своими планетами, на которых предаются
важным размышлениям философы, такие же, как и на нашей Земле.
Валерий Брюсов в стихотворении “Мир электрона” (1922г.) облёк эти
мысли в поэтическую форму:
Быть может, эти электроны –
Миры, где пять материков,
Искусства, знанья, войны, троны
И память сорока веков!
Ещё, быть может, каждый атом –
Вселенная, где сто планет;
Там всё, что здесь, в объёме сжатом,
Но также то, чего здесь нет.

11. Подобие как раздел геометрии сейчас довольно
динамично развивается. Возникло даже специальное
направление в науке – фрактальная геометрия. Фрактал
(лат. fractus — дробленый, сломанный, разбитый) —
термин, означающий сложную геометрическую фигуру,
обладающую свойством самоподобия, то есть
составленную из нескольких частей, каждая из которых
подобна всей фигуре целиком.

12. Фрактальность обнаруживают многие природные объекты,
стоит лишь присмотреться к ним повнимательнее: линии трещин
в земной коре, очертания гор, коралловых рифов. Кроме того,
фракталами можно назвать деревья, а также некоторые другие
растения
Фрактальная форма подвида
Фрактальное дерево
цветной капусты (Brassica cauliflora)

13. Множество Фрактал Множество Жюлиа
Мальденброта "Молодая звезда" и вариация на него
Дерево Пифагора

14. Прежде всего я решил измерить
высоту своей родной школы – гимназии
№2 г. Балаково. Для этого я
сконструировал несложный прибор. Он
представляет собой небольшой
картонный (можно взять деревянный)
прямоугольник ABCD с грузиком на
ниточке, прикрепленным в точке В.
Прямоугольник надо держать в руках
таким образом, чтобы, глядя вдоль края
АВ, видеть на одной линии с ним
вершину Е наблюдаемого объекта (в
данном случае школы). Затем я заметил
точку N, в которой нить пересекает
линию DC.

15. Треугольники BEF и BNC подобны, так как
оба прямоугольные и имеют равные углы BEF и
BNC (с соответственно параллельными
сторонами). Значит
Откуда
Свой прибор я сделал таким образом, что
ВС=10 см. На сторону CD я нанес сантиметровые
деления. Таким образом, отношение NC/BC или
NC/10 будет коэффициентом, указывающим,
какую часть расстояния от меня до школы
составляет EF.
Теперь вернемся к вычислению высоты
школы. Расстояние BF составило 23 шага или
20.7 м (я предварительно установил, что длина
моего шага равна 90 см). Затем 20.7 м
необходимо умножить на коэффициент, который
у меня оказался равен 0.4. Получилось 8.28 м,
т.е. около 8.3 м. Но эта цифра показывает
расстояние от уровня моего глаза до верхушки
школы. Значит к ней надо прибавить расстояние
от земли до моего глаза, т. е. 160 см. Итак, мы
получили высоту школы, равную
8.3 м + 1.6 м = 9.9 м

16. Затем я решил измерить высоту
дерева, растущего у школы. Для
этого я между страницами книги
вложил карандаш, который немного
выдвинул вверх. Затем я отошел от
измеряемого дерева на некоторое
расстояние, поднес прибор к глазу и
выдвинул карандаш настолько,
чтобы верхушка дерева Е
находилась на прямой АВ, где А –
край книги, В – кончик карандаша.

17. Расстояние AF оказалось
равным 15 шагам или 13.5 м,
расстояние, на которое
выдвинут карандаш ВС=
=6.2см, ширина книги АС=
=12.4 см. Тогда мы можем
вычислить EF=6.75 м.
Прибавим к этому расстояние
от земли до моего глаза, т. е.
1.6 м, и получим высоту
дерева, равную 8.35 м.

18. Измерения можно проводить вообще без
каких-либо специально сделанных приборов.
Например, для измерения высоты собственного
дома я приспособил столб для сушки белья,
расположенный неподалеку.
Я встал таким образом, чтобы столб
находился между мной и домом. При этом мое
положение было таково, что верхняя планка
столба, когда я глядел на нее, совпадала с
линией крыши дома. Тогда, принимая мой глаз
за точку А, верхушку столба – за В, точку на
столбе, находящуюся на одном с глазом
уровне, за С, точку на стене дома,
расположенную на той же высоте, что и С, за F,
точку на крыше прямо напротив меня за Е,
можно заключить, что

19. Т. к. по моим
измерениям AF=44
шага=39.6 м, ВС=45 см,
АС=70 см, то,
прибавив расстояние
от моего глаза до
земли – 1.6 м, я узнал,
что высота моего дома
равна 27.1 м.

20. Как вы заметили, в предыдущих случаях мне
необходимо было найти расстояние от меня до
измеряемого предмета. Но это, конечно, возможно
далеко не всегда. Деревья, плотная застройка,
припаркованные автомобили - таких препятствий
может быть множество.
Я решил узнать высоту антенны,
установленной на крыше ЦТП, к основанию
которой подойти невозможно.
Для этого случая я использовал нехитрый
прибор, который можно быстро и легко изготовить
самому. Он представляет собой дощечку с
четырьмя вбитыми в нее гвоздями, которые я
условно обозначил А’, В, С, и D. Эти гвозди
расположены так, что В, С, и D лежат на одной
прямой, А’В перпендикулярно СD, A’B=BC, A’B=2BD.
Держать его надо, направив CD вертикально, для
чего имеется грузик.

21. Точка А Точка А1
Затем я останавливался в 2 местах: сначала в точке А, где расположил прибор
концом С вверх, а затем в точке А1 подальше, где прибор держал вверх концом D1.
Точка А избирается так, чтобы, глядя из нее на конец С, видеть его на одной прямой с
верхушкой антенны Е. Точка же А1 отыскивается так, чтобы, глядя из нее на точку D1,
видеть ее совпадающей с верхушкой антенны.

22. В отыскании этих двух точек А и А1 заключается все измерение, потому что искомая часть
высоты антенны над землей равна расстоянию АА1. Равенство вытекает из того, что AIF=FE, а
AIIF=2EF; значит,
AIIF-AIF=EF, или AIAII=EF, или AA1=EF.
Т. к. расстояние между двумя выбранными точками А и А1 равно 15 шагам или 13.5 м, то,
прибавив к этому расстоянию высоту, на которой располагался прибор при измерениях, т. е.
1,6 м, мы можем заключить, что антенна возвышается над землей на 15.1 м.
Вы видите, что, пользуясь этим простым прибором, мы измеряем высоту предмета, не
подходя к нему на расстояние ближе его высоты. Само собою разумеется, что если подойти к
предмету возможно, то достаточно найти только одну из точек — А или А1 чтобы узнать его
высоту.

23. Еще один способ можно найти в знаменитом романе Жюля Верна «Таинственный остров. Приведу
отрывок из него:
«— Сегодня нам надо измерить высоту площадки Далекого Вида, — сказал инженер.
Взяв прямой шест, футов 12 длиною, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим
ростом, который был ему хорошо известен.
Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два
в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса.
Затем он отошел от шеста на такое расстояние, чтобы, лежа на песке, можно было на одной прямой
линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно пометил колышком.
— Сейчас я построю два подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом будет
отвесный шест, другим — расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же — мой луч зрения. У
другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от
колышка до основания этой стены; гипотенуза же — мой луч зрения, совпадающий с направлением
гипотенузы первого треугольника. Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию от колышка
до основания стены, как высота шеста к высоте стены. И, следовательно, если мы измерим два первых
расстояния, то, зная высоту шеста, сможем вычислить четвертый, неизвестный член пропорции, т. е. высоту
стены. Мы обойдемся, таким образом, без непосредственного измерения этой высоты. Оба горизонтальных
расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее - 500 футам.
По окончании измерений инженер составил следующую запись:
15 : 500=10 : х,
file:///C:/Documents and Settings/Вадим/Мои документы/По способ.files/pict1.jpg
500 10= 5000,
5000 : 15 = 333,3.
Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам
Данный способ представляется мне не очень удобным, так
как возникает необходимость ложиться на землю.
Кроме того, существуют способы вычисления высоты
предмета с помощью тени, но они также сложны в
практическом выполнении, так как тень не имеет четкой
границы. Потому первые четыре способа, осуществленные
мною, на мой взгляд, наиболее удобны.

24. Работая над этим проектом, я много узнал о том,
где в природе можно встретить подобие, что такое
автоподобные фигуры и фракталы, рассмотрел и
применил на практике несколько способов решения
практических задач с помощью подобия.

25. 1. Математический энциклопедический словарь. - М.,
Научное издательство «Большая Российская
энциклопедия», 1995.
2. Занимательная алгебра, занимательная геометрия/
Я.И. Перельман. – М.: АСТ, 2005.
3. Геометрия. Доп. Главы к учебнику 8 кл.: Учеб. пособие
для учащихся школ и классов с углубленным изучением
математики/Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев
и др. – 4 изд. – М.: Вита-Пресс, 2005.
4. Верн Ж. Таинственный остров: Роман/Пер. с фр. Н.
Немчиновой и А. Худадаевой. – М.: Изд-во Эксмо, 2004.
5. ru.wikipedia.org [изображения]