1. Cambio de base
Capítulo 7

2. 7. Cambio de base
7.1 Vector de coordenadas
7.2 Cambio de base

3. Vector de coordenadas
Definición
Sea V un espacio vectorial de dimensiones finitas con base B = {v1, v2, ...,
vn}. para cada vector v ∈ V, existen escalares α1, α2 ,..., αn tales que
v = α1v1+ α2v2+.....+αnvn
El vector cuyos componentes son los coeficientes de v, denotado por [v]B ,
se llama vector de coordenadas (o vector coordenado) de v con respecto a
B.
α1 
α 
[ v ]B =  2
 
 
α n 

4. Observación
Si a = {a1, a2, ..., an} es un vector-n y B = {e1, e2, ..., en} es la base están-
dar de Rn. Entonces
 a1 
a 
[ a ]B =  2
 
 
 an 

5. Ejemplo
Se tiene la base B = {(1, 0, -1), (-1, 1, 0), (1, 1, 1)} de R3 y el vector
v = (2, -3, 4).
a) Determinar [v]B
b) Calcular el vector w si [w]B = (6, -3, 2)
a) Los componentes de [v]B son los escalares α1,α2,α3 tales
α α
que
(2, -3, 4) = α1(1, 0, -1) + α2(-1, 1, 0) + α3(1, 1, 1)
de donde [v]B = (-3, -4, 1)
b) Como los componentes de [w]B son (6, -3, 2), entonces
w = 6(1, 0, -1) - 3(-1, 1, 0) + 2(1, 1, 1) = (11, -1, -4)

6. Ejemplo
2 −3
Determinar el vector de coordenadas de A= 
1 4
en M22 con respecto a la base B = {v1, v2, v3, v4}, donde
v1 = -E21 , v2 = E22 , v3 = -E12 , v4 = E11
Los componentes de [A]B son los escalares α1,α2,α3,α4 tales que
2 −3
A=  = −α1E21 + α2E22 − α3E12 + α4E11
1 4 
[ A]B = (−1,4,3, 2)

7. Cambio de base
Definición
Sea v un vector en un espacio vectorial V de dimensiones finitas, y sean
B = {v1, v2, ..., vn} y B' = {v'1, v'2, ..., v'n} dos bases. La relación entre [v]B
y [v]B' está dada por
[v]B' = P[v]B

8. Matriz de transición
La matriz P es invertible y se denomina matriz de transición ( o matriz de
cambio de base) de B a B'.
Corolario
Si P es la matriz de transición de B a B', entonces P-1 es la matriz de
transición de B' a B

9. Ejemplo
Sea B la base estándar de R2 y B' la base B' = {(1, 1), (-1, 1)}.
a) Calcular la matriz de transición P de B a B'
b) Determinar la matriz de transición de B' a B
c) Comprobar la relación [v]B' = P[v]B para v = (4, -2)
Solución:
a) P es la matriz con columnas [e1]B' ,[e2]B' . Se buscan escalares
α1 y α2 tales que
α1(1, 1) + α2(-1, 1) = (1, 0), de donde e1 = (½ ,-½)
De igual forma para [e2]B'
α1(1, 1) + α2(-1, 1) = (0, 1), de donde e2 = (½ , ½)
1  1 1
P=
2  −1 1
 

10. Ejemplo (continuación)
-1 1 −1
b) La matriz de transición de B' a B es P : −1
P = 
1 1 
c) El vector [v]B' puede calcularse de dos formas
Usando P:
1  1 1  4   1 
P[ v]B =   −2 = −3
2 −1 1    
Directamente a partirde B'
α1(1, 1) + α2(-1, 1) = (4, -2), de donde [v]B' = (1 , -3)