Mat iii

SERGIO MUÑOZ VENEGAS
LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,
DOCTOR EN CIENCIAS EXACTAS, MENCIÓN MATEMÁTICA
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.
FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO
LICENCIADA EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA,
MAGISTER EN ESTADÍSTICA,
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.
Matemática
TEXTO DEL ESTUDIANTE
3º
Educación Media
INICIALES 3º MEDIO-C:Maquetación 1 4/11/10 17:09 Página 1

El Texto del Estudiante Matemática 3, para Tercer Año de Educación Media,
es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de Investigaciones
Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de:
MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA
COORDINACIÓN DE PROYECTO:
Eugenia Águila Garay
COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA:
Viviana López Fuster
EDICIÓN:
Isabel Montes Alcalde
AUTORES:
Sergio Muñoz Venegas
Florencia Darrigrandi Navarro
CORRECCIÓN DE ESPECIALISTA:
Rodrigo Abarzúa Ortiz
CORRECCIÓN DE ESTILO:
Isabel Spoerer Varela
Gabriela Precht Rojas
DOCUMENTACIÓN:
Paulina Novoa Venturino
La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de:
VERÓNICA ROJAS LUNA
COORDINACIÓN GRÁFICA:
Carlota Godoy Bustos
COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN:
Xenia Venegas Zevallos
JEFA DE DISEÑO ÁREA MATEMÁTICA:
Mariela Pineda Gálvez
DIAGRAMACIÓN:
Mariela Pineda Gálvez
ILUSTRACIONES:
Antonio Ahumada Mora
FOTOGRAFÍAS:
Archivo Santillana
CUBIERTA:
La Práctica S.P.A.
PRODUCCIÓN:
Germán Urrutia Garín
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del
"Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o
parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la
reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella
mediante alquiler o préstamo público.
© 2010, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones
Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)
PRINTED IN CHILE
Impreso en Chile por WorldColor Chile S.A.
ISBN: 978-956-15-1758-5
Inscripción N°: 198.041
Se terminó de imprimir esta 1a
edición de
229.200 ejemplares, en el mes de diciembre del año 2010.
www.santillana.cl
Referencias de los Textos Educación Matemática 2 y 3, Educación Media y del Texto Matemática 2, Educación Media, Mineduc,
de los autores: Ángela Baeza Peña, María José García Zattera, Marcia Villena Ramírez, Marcela Guerra Noguera,
Patricia Urzúa Figueroa, Rodrigo Hernández Reyes, Mario Zañartu Navarro, Florencia Darrigrandi Navarro,
Mauricio Ramos Rivera. Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2005 y 2010.

El Texto Matemática 3, para Tercer Año Medio, ha sido creado y diseñado
pensando en tus intereses y en que sea un apoyo efectivo en tu proceso
de aprendizaje.
Este año, en Álgebra, trabajarás con raíces cuadradas y cúbicas, las com-
pararás mediante diversos procedimientos y aprenderás a resolver problemas
que involucran operatoria con estas raíces. También podrás establecer rela-
ciones entre el área y la medida del lado de un cuadrado y entre el volumen
y la medida de la arista de un cubo; construirás geométricamente la lon-
gitud de las raíces cuadradas de algunos números utilizando el teorema de
Pitágoras; trabajarás en la representación y el análisis de los procesos de
resolución de inecuaciones lineales y de sistemas de inecuaciones lineales
con una incógnita, y podrás analizar sobre la existencia y pertinencia de
sus soluciones.
Trabajarás con las funciones cuadrática y raíz cuadrada; podrás analizar la
función cuadrática f (x) = ax2
+ bx + c, respecto de la orientación y aper-
tura de las ramas de la parábola, eje de simetría, vértice, intersección de la
parábola con ambos ejes del sistema de coordenadas. También resolve-
rás ecuaciones de segundo grado con una incógnita por completación
de cuadrados, por factorización o por inspección, analizando la
existencia y pertinencia de las soluciones obtenidas, y analiza-
rás situaciones o fenómenos que pueden ser modelados me-
diante funciones cuadráticas.
En Geometría, conocerás los Teoremas de Euclides, compararás
las diversas maneras de demostrar el Teorema de Pitágoras
y aplicarás estos teoremas en construcciones geométricas;
trabajarás con razones trigonométricas y con funciones seno,
coseno y tangente en el círculo unitario.
En Probabilidad, trabajarás con la variable aleatoria en forma
teórica y experimental; podrás relacionar la noción de probabi-
lidades con la frecuencia relativa y discriminarás entre sucesos
dependientes e independientes y resolverás problemas que in-
volucran probabilidad condicionada en situaciones sencillas.
Todo esto a través de interesantes actividades que te permitirán
razonar, reflexionar, analizar y compartir tus conocimientos con
tus compañeros y compañeras.
Presentación | 3
Presentación

Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar y queremos apoyarte en tu crecimiento y desarrollo con
este Texto, que te entregará herramientas para enfrentarte de mejor manera en el mundo que te rodea, y
te invita a comprender que la Matemática es parte de él.
A través de sus cinco Unidades te enfrentarás a diversas situaciones, en las que podrás explorar, aprender, cons-
truir y consolidar conceptos relacionados con números, álgebra, geometría, datos y azar. En ellas encontra-
rás las siguientes páginas y secciones:
Páginas de inicio
4 | Matemática 3º Medio
Estructura del Texto
• Mediante un esquema,
conocerás los contenidos
y su vinculación con los
principales aprendizajes
que se espera que logres
con el desarrollo de
la Unidad.
¿Cuánto sabes?
En esta sección te
invitamos a resolver
ejercicios y problemas
que te ayudarán a evaluar
tus conocimientos y a
recordar lo que aprendiste
en años anteriores, siendo
la base para el desarrollo
de la Unidad.
¿Qué debes
recordar?
Podrás activar tus
conocimientos previos a
través de un resumen que
incluye los principales
conceptos trabajados en
años anteriores y que te
servirá como apoyo para los
aprendizajes que se espera
que logres en la Unidad.
Conversemos de...
A través de una introduc-
ción al tema de la Unidad,
conectamos elementos e
imágenes de la vida diaria
con el contenido que
trabajarás.Además,
encontrarás preguntas
relacionadas con la imagen
y con los contenidos de la
Unidad que te permitirán
exponer tus ideas, dar
opiniones y argumentar
a partir de tus experiencias.

Páginas de desarrollo
Estructura del Texto | 5
Actividades
Resolverás variadas actividades
para ir construyendo los
conceptos y reforzando así
tu aprendizaje.
Analicemos...
Por medio de preguntas,
trabajarás el razonamiento,
explorarás el contenido
matemático que aprenderás,
pondrás en práctica lo que
ya sabes, compartirás tus
ideas y extraerás conclusiones.
En resumen
Encontrarás explicaciones,
formalizaciones o
definiciones que destacan
y precisan lo que vas
aprendiendo.
Recuerda que...
Te recordará un contenido o
procedimiento ya aprendido y
necesario para lograr tus
nuevos aprendizajes.

Organizando lo
aprendido
Podrás organizar y sintetizar
lo aprendido utilizando un
mapa conceptual.Además,
aclararás los conceptos
trabajados respondiendo
preguntas sobre ellos y
sus relaciones.
Mi progreso
Resolverás actividades que
te permitirán evaluar tu
progreso en el logro de
los aprendizajes.
Herramientas
tecnológicas
Aprenderás a utilizar planillas
de cálculo o programas
computacionales.
Glosario
Te presentará nuevos términos
matemáticos relacionados
con el contenido que se
está desarrollando.

Estructura del Texto | 7
Páginas de cierre
En terreno
A partir de una situación
desarrollada en un contexto
real o laboral, desarrollarás
(primero individualmente y
luego en equipo) actividades
que te permitirán aplicar lo
que aprendiste en la Unidad.
Cómo resolverlo
En estas dos páginas observarás
un problema resuelto paso a paso
a través de una determinada
estrategia y, luego, podrás
practicar la estrategia utilizada
o aplicar otras que te permitan
encontrar la solución. Eso sí, en
Matemática siempre hay más
de un camino para resolver un
problema.

SÍntesis de la Unidad
Este es un espacio para que construyas
tu mapa conceptual de todo lo
trabajado en la Unidad a partir de
algunos conceptos fundamentales.
También responderás preguntas
conceptuales para evaluar lo que
has aprendido en la Unidad.
Evaluación
En estas tres páginas podrás
autoevaluar los aprendizajes que
lograste en la Unidad. Incluye preguntas
de verdadero o falso y actividades de
desarrollo.Tomando en cuenta que una
de las alternativas al egresar de la
Educación Media es rendir la PSU,
incluimos algunas preguntas tipo
de esta prueba.

Índice | 9
¿Cuánto sabes? 14
Raíces cuadradas 16
Irracionalidad de algunas raíces
cuadradas 18
Ubicación de raíces cuadradas
en la recta numérica 20
Raíces cúbicas 22
Estimación y comparación de raíces 24
Producto y cociente de raíces 26
Organizando lo aprendido 28
Mi progreso 29
Ampliando el concepto de raíz 30
Cálculo y propiedades de raíces enésimas 32
Relación entre raíces y potencias 36
Expresiones con raíces en el denominador 38
Ecuaciones con radicales 42
Mi progreso 45
Cómo resolverlo 46
En terreno 48
Síntesis de la Unidad 50
Evaluación 51
¿Cuánto sabes? 56
Función cuadrática 58
Características de la gráfica de f(x) = x2
60
Forma canónica de funciones cuadráticas 62
Dilatación y contracción de la parábola 64
Desplazamientos de la parábola 66
Simetría y vértice de la parábola 70
La parábola como lugar geométrico 72
Mi progreso 75
Ecuación de segundo grado 76
Análisis de las raíces de una ecuación
cuadrática 80
Ecuaciones reductibles a ecuaciones
de segundo grado 82
Análisis general de una función
cuadrática 84
Máximos y mínimos 88
Función raíz cuadrada 90
Mi progreso 97
Cómo resolverlo 98
En terreno 100
Evaluación 103
Índice
Raíces 12
1
2Función cuadrática
y función raíz cuadrada 54

¿Cuánto sabes? 108
Teorema de Euclides 110
Demostraciones del teorema de Pitágoras 114
Tríos pitagóricos 118
Situaciones que involucran triángulos
rectángulos 121
Mi progreso 125
Razones trigonométricas en el triángulo
rectángulo 126
Razones trigonométricas de ángulos
especiales 130
Aplicaciones de la trigonometría 132
Propiedades de las razones trigonométricas 134
Identidades trigonométricas 136
Teorema del seno y del coseno 138
Sistemas de medición de ángulos 142
Funciones trigonométricas 144
Reducción al primer cuadrante 148
Funciones trigonométricas inversas 150
Ecuaciones trigonométricas 152
Mi progreso 155
Cómo resolverlo 156
En terreno 158
Evaluación 161
Desigualdades 168
Intervalos de números reales 170
Propiedades de las desigualdades 174
Conjeturas y demostraciones 176
Mi progreso 179
Inecuaciones con una incógnita 180
Sistemas de inecuaciones
con una incógnita 182
Inecuaciones lineales con dos incógnitas 184
Inecuaciones que involucran valor absoluto 188
Mi progreso 191
En terreno 194
Evaluación 197
El triángulo rectángulo y la trigonometría 106
3
Inecuaciones lineales 164
4

Índice | 11
Índice
Espacio y tamaño muestral 204
Sucesos o eventos 206
Principio multiplicativo 210
Permutaciones 212
Combinaciones 214
Mi progreso 217
Cálculo de probabilidades 218
Sucesos equiprobables 220
Probabilidad del suceso A艛B 222
Frecuencia relativa o probabilidad empírica 224
Ley de los grandes números 226
Probabilidad condicional 228
Probabilidad del suceso A艚B 230
Sucesos independientes 232
Variable aleatoria 234
Mi progreso 239
En terreno 242
Evaluación 245
5Probabilidades 200
Solucionario 256
Taller de evaluación 248
Índice temático 284
Bibliografía 287

A
APRENDERÁS
PRENDERÁS A
A:
:
Comprender y aplicar la relación
entre potencias y raíces.
Conocer y utilizar procedimientos
para el cálculo de raíces.
Estimar y comparar raíces.
Resolver problemas que
involucran raíces.
Racionalizar expresiones
fraccionarias.
Conocer y aplicar algunas
propiedades de las raíces.
Raíces
1
T
TRABAJANDO
RABAJANDO CON
CON:
:
Ecuaciones con radicales
Raíz enésima
Potencias
Raíz cúbica
Raíz cuadrada
12 | Unidad 1
TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A:
UNIDAD 1 (12-53)C :Maquetación 1 4/11/10 17:10 Página 12

Raíces | 13
Conversemos de...
El columpio es un juego que tiene un movimiento similar al de un péndulo. La principal caracterís-
tica del péndulo es que el lapso que le toma completar una ida y una vuelta (su período), si no es
un movimiento muy amplio, es proporcional a la raíz cuadrada del radio de giro del columpio.
Aproximadamente:
, donde L es el radio de giro del columpio y g es la aceleración de gravedad. Las raíces
cuadradas y otras raíces son parte de las herramientas matemáticas que nos ayudan a compren-
der el mundo que nos rodea.
• ¿Qué ocurrirá con el período del péndulo si se alargan las cuerdas o cadenas del columpio?,
¿por qué?
• Y si varía la masa o persona sobre el columpio, ¿qué pasa con el período? Averigua.
2
⋅ ⋅
π
L
g
Latinstock

14 | Unidad 1
¿Cuánto sabes?
1. Descompón los siguientes números como producto de factores primos:
a. 300 c. 1300 e. 6750
b. 1275 d. 3168 f. 7128
2. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas. Explica tu
decisión.
a. 62
+ 82
= 102
c. 4–2
· 24
= 20
e. 53
: 3–3
= 1
b. (33
)2
= 35
d. 33
· 52
= 155
f. 34
: 92
= 1
3. Resuelve cada una de las expresiones siguientes aplicando lo que sabes
sobre potencias.
a. h. c4a – 2
· c–2a + 5
· c5a + 4
d. 3–3
· 2–2
· 35
· 24
k.
f. (3)–2
: 92
m.
4. Resuelve los siguientes problemas.Explica,paso a paso,el procedimiento
que utilizaste.
a. Si multiplicamos por 3 el lado de un cuadrado, ¿en cuánto au-
menta el área del mismo?
b. Si disminuimos la arista de un cubo a la mitad, ¿en cuánto varía el
volumen de este?
b
b
x y
y x
3 4
3 4
2
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
4
5
2 3 3
x b
c
1
4
5
2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.
b. i. (x–3
: x5
) · x8
3
4
5
2
1 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
c. (–2)3
+ (–2)2
+(–2)0
+(–2)1
j. x x
4 3 2 3
2
⋅ −
( )
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
e. 52
: 5–2
l.
1 1 1
2 4 3
a a a
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
− −
:
g. xa + 1
· x–a + 2
· x3a + 4
n.
a b
c
c a
b
2 3
4
2 3
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
−

5. Desarrolla los siguientes productos:
a. (x – 3y)2
c. (a – 3b)(a2
+ 3ab + 9b2
)
b. (x + 3)(x – 2) d.
6. Factoriza las siguientes expresiones aplicando productos notables.
a. c. 27x3
+ 8
b. x6
– 4x3
+ 4 d. 8x3
– 36x2
y + 54xy2
– 27y3
Verifica en el solucionario si tus respuestas son correctas. ¿Tuviste
algún error? Si los tuviste, corrígelos antes de continuar con la Unidad.
4 9
2 2
a b
−
1
3
5
2
5
2
1
3
x y y x
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Raíces | 15
Unidad
1
¿Qué debes recordar?
• Algunas propiedades de las potencias son:
Multiplicación de potencias División de potencias
an
· am
= an + m
an
: am
= an – m
an
· bn
= (a · b)n
an
: bn
= (a : b)n
• Algunas factorizaciones y productos notables son:
(a ± b)2
= a2
± 2ab + b2
(cuadrado de binomio).
(a + b)(a – b) = a2
– b2
(suma por diferencia).
(x + a)(x + b) = x2
+ (a + b) · x + ab (producto de dos binomios con un término común).
(a ± b)3
= a3
± 3a2
b + 3ab2
± b3
(cubo de binomio).
(suma y diferencia de cubos).
• Si a y b son números reales positivos, y a < b, se cumple que an
< bn
para todo n ⺞.
• Para todo x IR, x2
0, es decir, el cuadrado de un número real es siempre positivo o cero.
• El valor absoluto de todo número real distinto de cero es siempre positivo, es decir, si x
pertenece al conjunto de los números reales y x 0, entonces |x| 0.
• El valor absoluto de cero es cero, o sea |0| = 0.
a b a b a ab b
3 3 2 2
± = ±
( ) ⋅ +
( )

∓

16 | Unidad 1
Raíces cuadradas
Analicemos...
Para evaluar el total de baldosas del pasillo de la casa de su abuelo,
Ernesto calculó que como tenían 10 cm de lado, en un metro de
largo del pasillo tendría 10 baldosas; por lo tanto, en total había
50 · 32 baldosas, es decir, 1600. Para que Ernesto notara que la can-
tidad de baldosas de su abuelo era exactamente las que nece-
sitaba para la pieza grande, que era cuadrada, debió darse
cuenta al medir la longitud de su pieza y obtener 4 metros de
largo por 4 metros de ancho, por lo que cabían exactamente 40 · 40
baldosas; o sea, las 1600 del pasillo de la casa de su abuelo.
En la situación anterior necesitábamos encontrar un número que
al multiplicarlo por sí mismo nos diera 1600, ya que sabíamos que
la pieza era cuadrada. Con lo que se obtiene 40.
Lo que acabamos de hacer es encontrar la raíz cuadrada de 1600.
• ¿Cuál es la cantidad de baldosas que tenía el pasillo del abuelo?,
¿cómo lo resolviste?
• ¿Cuánto medía la pieza grande de la casa de Ernesto?, ¿cómo
lo supiste?
• ¿Era verdad que no faltaría ni sobraría ninguna baldosa para la
pieza?, ¿por qué?
El pasillo de la casa de los abuelos de Ernesto está embaldosado.
Sin embargo, Ernesto lo cambiará y pondrá piso de madera porque
aísla mejor el frío. En agradecimiento de su trabajo, su abuelo le
regalará las baldosas, que son cuadradas de 10 cm por lado, para
que las ponga en la pieza grande de su casa, pero le dijo que antes
de trasladarlas debe estar seguro de que le alcancen, o ver si le so-
bran, para que solo se lleve las necesarias.
Ernesto mide la pieza grande, que es perfectamente cuadrada, y se
da cuenta de que las baldosas son justamente las que necesita para
la pieza.
¿Cuántas baldosas
tiene tu piso? No lo sé, pero el pasillo
tiene 5 m de largo
y 3,2 m de ancho.

Raíces | 17
Unidad
1
En resumen
• Si a es un número positivo o cero (a ≥ 0), la expresión denota al único número (mayor o
igual a cero) cuyo cuadrado es a.
se lee “raíz cuadrada de a”.
• Si a ≥ 0: x = , si a = x2
a a
2
=
a
a
a
1. Encuentra la longitud del lado de un cuadrado, si sabemos que su área es:
a. 36 cm2
d. 625 m2
g. 1225 cm2
b. 81 cm2
e. 900 m2
h. 1681 cm2
c. 400 m2
f. 1024 cm2
i. 3600 cm2
2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Explica cómo lo hiciste.
a. d. g.
b. e. h.
c. f. i.
3. Determina si las siguientes afirmaciones son verdadera o falsas. Justifica en cada caso tu decisión.
a. Si x 0, entonces . d. Si x 0, entonces IR.
b. Si x 0, entonces . e. Si a 0 y b 0, entonces IR.
c. Si x 0, entonces . f. Si a 0 y b 0, entonces IR.
4. Piensa, comenta y responde. Justifica tus respuestas.
a. ¿Qué ocurre si queremos calcular , si a 0?
b. ¿Se cumple que , para todo a, b IR?
ab
ab
–x
1000 000

10 000
−
( )
3
2
3 5
2 2
·
144
3
2
4 9
·
4 16
+
0
a b a b
+ = +
a
– –
x x
2
=
x x
2
=
x x
2
=
Actividades
Observa que la ecuación x2
= a tiene dos soluciones: y , ya que y ,
pero para las raíces solo consideramos el valor positivo, , no –a.
a a
2
=
−
( ) =
a a
2
a a
2
=
− a
a

18 | Unidad 1
Irracionalidad de algunas raíces cuadradas
Observa cómo se determina geométricamente la longitud de la
diagonal de un cuadrado.
Para encontrar la medida de la diagonal D debemos usar el teorema
de Pitágoras; de esta forma, se tiene que D2
= 12
+ 12
= 1 + 1 = 2.
Entonces, D es lo que ahora conocemos como .
Los números, como , fueron descubiertos por los antiguos grie-
gos. Una vez que se había demostrado el teorema de Pitágoras, se
dieron cuenta de que ese valor, que existía en muchos cuadrados,
no era un número racional.
Al utilizar una calculadora, es resultado será algo como:
= 1,4142135. Esto no significa que: .
Al observar el resultado en la calculadora se podría pensar que
es un decimal finito pero con muchos decimales; o bien infinito, cuyo
período es más largo que la precisión de la calculadora; o infinito,
pero no tiene período. Como ya aprendiste en cursos anteriores, estos
números forman un conjunto que se llama números irracionales.
El número irracional más conocido es π = 3,1415…. Muchas han
sido las aproximaciones de π en el transcurso de los años; por ejem-
plo, en 1987 se calculó con una precisión de más de cien millones
de cifras decimales, sin encontrarse período alguno.
La suma de un número racional con un irracional es también un
número irracional, por ejemplo, al sumar –5 y (5 + ) obtenemos
–5 + 5 + = ; que es un número irracional.
Notemos que la suma y el producto de dos números irracionales no
siempre es un irracional; por ejemplo, (5 + ) + (3 – ) = 8, cuyo
También son irracionales todas las raíces cuadradas de números
naturales que no son exactas, es decir, que su resultado no es un
número natural.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
14 142 135
10 000 000
=

2
Analicemos...
• Según los datos de la figura, ¿cuánto mide la diagonal del
cuadrado D?, ¿cómo lo supiste?
• ¿D es un número racional?, ¿se puede representar como fracción?
Teorema de Pitágoras:
Si a y b son los catetos y c la
hipotenusa de un triángulo
rectángulo, entonces:
a2
+ b2
= c2
Recuerda que...
a
c
b
0 D
D
1 2
1
Glosario
número irracional: es cualquier
número real que no es racional,
es decir, no puede ser expresado
como una fracción o razón de
dos números enteros.
resultado es un número racional, al igual que el producto · = 2.
2
2

Raíces | 19
Unidad
1
En resumen
• Un número irracional es el que no puede representarse como fracción. Es un número decimal
infinito que no tiene período.
Para demostrar que era un número irracional, los griegos razo-
naron dando una demostración por reducción al absurdo. Observa.
Si existiera un racional igual a , se escribiría como una fracción ,
con x e y números enteros positivos.
Supongamos que simplificamos todos los factores comunes entre
x e y, de modo que obtenemos la fracción , que es irreducible.
vando al cuadrado, que 2b2
= a2
. Entonces, 2 divide al número en-
tero a2
, y como 2 es número primo, 2 divide a a, por lo que a2
es
múltiplo de 4, es decir, a2
= 4k, con k algún número entero.
Luego, para b se cumple 2b2
= 4k, de donde b2
= 2k, o sea, b2
es
múltiplo de 2, el que es primo, por lo que 2 divide a b, pero en-
tonces 2 divide a a y a b, aun si no tenían factores comunes, lo cual
es una contradicción. Entonces, la suposición de que es un
número racional es incorrecta.
Por lo tanto, es un número irracional.
2
2
2
2
a
b
x
y
1. Clasifica las siguientes raíces en irracionales o racionales:
a. e. i.
b. f. j.
c. g. k.
d. h. l.
2. De manera similar a la demostración anterior, demuestra que y son números irracionales.
2 5

+
400
169
8 7 10
–
360
72
3 5
300
36
1 3

+
200
16
5
3
Actividades
Pero de = se obtiene · b = a, de donde se deduce, ele-
2
a
b
2
Glosario
reducción al absurdo: argumento de
demostración,que consiste en supo-
ner que la propiedad que se quiere
demostrar no es cierta y deducir a
partir de esto una contradicción. En-
tonces, como tal contradicción se
debe a que la suposición era inco-
rrecta,la propiedad debe ser cierta.

20 | Unidad 1
Ubicación de raíces cuadradas en la recta numérica
Recuerda que los números racionales son un conjunto que no com-
pleta la recta real, ya que quedan “huecos” en la recta que no son
ocupados por números racionales, por ejemplo, está en la recta
numérica, sin embargo, no es un número racional.
2
Para ubicar en la recta numérica las raíces no exactas como , se
puede, utilizando regla y compás, dibujar sobre una recta un trián-
gulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1 unidad, ya que por
el teorema de Pitágoras, al trazar un arco de circunferencia con
abertura igual a la hipotenusa del triángulo y centrada en el punto
0 de la recta numérica, se obtiene la ubicación de .
En general, para localizar de manera geométrica , siendo n
cualquier número natural, se puede aplicar el teorema de Pitágo-
ras a un triángulo rectángulo de catetos 1 y la raíz cuadrada del
número natural anterior, es decir, .
Por ejemplo, con el segmento de longitud y un segmento de
longitud 1 se construye un nuevo triángulo rectángulo. Se traza
un arco de circunferencia centrada en el punto 0, de radio igual a
la hipotenusa de este nuevo triángulo. La intersección de este arco
con la recta numérica es el punto .
Al observar en la recta numérica la ubicación de y , se puede
ver que , ya que las raíces cuadradas mantienen el orden,
Demostración por reducción al absurdo:
Dados a y b números reales positivos con a b, supongamos que
no es cierto que .
Luego, debe ser cierto que ,entonces será un
número positivo o cero, y como el valor de una raíz cuadrada es
siempre un número positivo o cero, también lo será.
3
2
a b

+
a b
−
a b
≥
a b

2
2
2 3
3
2
n −1
n
Analicemos...
• ¿Es posible representar todos los números correspondientes a
raíces cuadradas no exactas, como ?, ¿cómo?
2
0
0 1 2
1
1
2
2 3
es decir que, si a y b son positivos o cero, y a b, entonces .
a b


Unidad
1
En resumen
• Algunos números irracionales pueden representarse en la recta numérica; por ejemplo, las
raíces cuadradas inexactas de un número natural y expresiones que las contengan.
• Si a y b son positivos o cero, y si a b, se cumple que .
a b

1. Ubica en una recta numérica las raíces , , y . Explica cómo lo hiciste.
2. Ordena de menor a mayor los siguientes números.
a. ; 2; ; 5 b. ; 12; ; ; 15
8
12
100
7
10
18
12
8
5
Actividades
Raíces | 21
Recordando que el producto de dos números positivos es siempre
positivo, tendremos que será positivo o cero,
por diferencia obtenemos , o sea, , de
donde se obtiene que b a. Lo cual es una contradicción.
Por lo tanto, la suposición era incorrecta, es decir, .
a b

0 –
≤ a b
0
2 2
–
≤ ( ) ( )
a b
–
+
( )( )
a b a b
Herramientas tecnológicas
En esta actividad aprenderás a ubicar números en la recta numérica usando el programa Regla y
Compás, que se encuentra disponible en el sitio web: www.educacionmedia.cl/links/10M2029.html
• Una vez instalado el programa, selecciona Mostrar rejilla en el menú Mostrar.
• En el menú Aspecto de puntos marca el botón Mostrar valores de objetos, para que indique
la posición exacta de cada punto.
• Con el botón Círculo marca en el plano cartesiano, primero, el punto (0, 0) y, luego, el
punto (1, 1). De esta manera se dibujará el círculo de centro (0, 0) y radio .
• Ahora, con el botón Punto marca el punto de intersección entre la circunferencia dibujada y
el eje horizontal de la rejilla. Para que efectivamente sea el punto de intersección, ambos deben
volverse amarillos.
1. Observa las coordenadas de ese punto, ¿corresponden a ?, ¿cómo lo supiste?
2. Siguiendo el mismo procedimiento, ubica en la recta otras raíces no exactas.
2
2
es decir, , recordando la identidad de suma
0 –
≤ +
( )( )
a b a b

Raíces cúbicas
Paula dispone de un pliego de papel de regalo para envolver un
joyero para su mamá, que está de cumpleaños; el joyero tiene forma
de cubo y su volumen es de 3375 cm3
.
En la situación anterior queremos calcular la medida de la altura
del joyero; para esto debemos determinar qué número al cubo es
igual a 3375, que es igual a 15, ya que 153
= 15 · 15 · 15 = 3375.
Entonces, si Paula dispone de un pliego de 7000 cm2
, el papel de
regalo le alcanza para cubrir el joyero, ya que la superficie total de
este es de 1350 cm2
(15 · 15 · 6 = 1350).
El cálculo realizado para encontrar la medida de la arista del cubo
corresponde a calcular la raíz cúbica de 3375, y en este caso se es-
cribe con el símbolo .
Todo número real tiene raíz cúbica, sin la restricción de los signos
que tenía la raíz cuadrada, ya que al elevar un número al cubo,
este mantiene el signo del número.
Por ejemplo:
, ya que (–2)3
= –8
− = −
8 2
3
3375
3
22 | Unidad 1
En resumen
• Si a es un número real cualquiera, la expresión denota aquel único número cuyo cubo es
a, su signo es el mismo que el de a, y se llamará raíz cúbica de a.
x = si a3
= x
Por lo tanto, .
• En general, .
a a a a y
3
3
3
3
3
0 0
,
( ) = −
( ) = − =
a b a b
3 3 3
+ ≠ +
a
3
a
3
Analicemos...
• ¿Cuánto mide la altura del joyero que quiere envolver Paula?,
¿cómo lo supiste?
• ¿Es suficiente el papel que tiene para envolver el regalo de su
mamá?, ¿por qué?
70
cm 100 cm

Raíces | 23
Unidad
1
1. Calcula el valor de las siguientes expresiones:
a. d. g.
b. e. h.
c. f. i.
2. Determina cuál es la medida de la arista de un cubo, cuyo volumen es de:
a. 8 m3
c. m3
e. 1,331 m3
b. 64 m3
d. 0,125 m3
f. 0,729 m3
3. Resuelve y explica, paso a paso, el procedimiento que utilizaste.
a. Determina el área de una cara de un cubo si su volumen es de
64 cm3
.
b. El volumen de un cubo es 125 m3
. Se quiere obtener el área de una
de sus caras, por lo que se plantea que este cálculo es equivalente a
calcular . ¿Es correcta la afirmación anterior?, ¿por qué?
c. Si la medida de la arista de un cubo se expresa por , ¿cómo se expresa el área de una de
sus caras?
4. Dadas las siguientes expresiones, decide si son verdaderas o falsas. Justifica tu decisión en cada caso.
a. d.
b. e.
c. f. 512 8 512 8
3 3 3
– –
+ =
1
25
1
5
3 =
27 64 27 64
3 3 3
+ = +
− = −
1
8
1
8
3 3
–

–
1
343
1
343
3
3
=
4 4
2
3 3
2
= ( )
1
27
125
27
1000
3 3
–
1331 1331
3 3
–
+
0 125
3 ,
64
125
1
3 3
−
27 27
3 3
− −
1331
3
− +
1
8
1
4
3
1 1 1
3 3
− − +
−27
3
V
3
125
3
2
( )
Actividades

24 | Unidad 1
Estimación y comparación de raíces
Una embotelladora de bebidas lanzará al mercado un nuevo pro-
ducto, un envase cilíndrico con una capacidad de 1000 cm3
, para el
cual hay dos propuestas.
Un envase, como el de la figura, y el segundo con una altura igual
al doble de su radio.
Si llamamos r1
al radio del primer envase, entonces tendremos que:
π · r1
2
· 10 = 1000
, consideremos π 3,14
r1
2
31,85.
Solo falta saber el valor de r1
, un número que al cuadrado sea 31,85.
Este número será la raíz cuadrada de 31,85.
Recordando que el orden de dos o más raíces cuadradas mantiene
el de los números, podemos concluir que , porque
, remplazando y , obtenemos
.
Esto origina un método para aproximar raíces. Acercándose más:
(5,1)2
= 26,01 y (5,9)2
= 34,81.
Por lo tanto, .
Tratemos de encontrar un intervalo aún mejor,
(5,6)2
= 31,36 y (5,7)2
= 32,49.
Luego, .
Observa cómo aproximar el valor de a dos decimales.
(5,64)2
= 31,8096 y (5,65)2
= 31,9225.
Luego, .
De continuar así, llegaríamos a tantos decimales correctos para
aproximar como necesitemos.
31 85
,
5 64 31 85 5 65
, , ,

31 85
,
5 6 31 85 5 7
, , ,

5 1 31 85 5 9
, , ,

25 31 85 36

,
5 31 85 6

,
Analicemos...
• ¿Cómo se expresa el volumen de un cilindro?
• ¿Cómo puedo obtener una aproximación de las dimensiones de
los envases?, ¿cuál de los envases tiene menor radio?
r1
2 1000
10
100
=
⋅
=
π π
25 5
= 36 6
=
5 31 85 6

,
El volumen de un cilindro está dado
por: V = πr2
h, donde h es la altura
y r el radio.
Recuerda que...
10 cm

Raíces | 25
Unidad
1
1. Aproxima con dos decimales el valor de las siguientes raíces:
a. c. e.
b. d. f.
2. Ordena de menor a mayor las siguientes raíces:
a. b.
350
1000
100
3
0 243
3 ,
1000 1000 800
3
; ;
5 21 40 40
3 3
; ; ;
110
17
Actividades
Entonces, una aproximación de será 5,64, ya que
es un valor más cercano a la raíz buscada.
Si llamamos r2
al radio del segundo envase, tendremos que h = 2r2
,
luego, su volumen estará dado por: π · r2
2
· 2r2
= 1000.
r2
3
159,24, luego r2

De forma similar a las raíces cuadradas, se puede justificar si a y b son
números reales y a b, se cumple que .
Usemos este hecho para aproximar . Observa.
(5,5)3
= 166,375 y (5,4)3
= 157,464
Podemos notar que r2
se encuentra entre 5,4 y 5,5; sin embargo,
r2
es más cercano a 5,4 que a 5,5. Probemos con 5,42.
(5,42)3
= 159,220088. Esta estimación es más cercana aún. Entonces,
la longitud del radio del cilindro es aproximadamente 5,42 cm,
mientras que la altura será aproximadamente 10,84 cm.
La aproximación encontrada nos permite comparar raíces cuadradas
con raíces cúbicas, en este caso , ya que 5,64 5,42.
Por lo tanto, el segundo envase tiene menor radio.
159 24
3 ,
159 24
3 ,
31 85
,
31 8096
,
31 85
,
159 24
3 ,
a b
3 3

2
1000
318 47
2
3
r ,
= ≈
π
En resumen
• Este método nos permite aproximar el valor de una raíz y comparar dos o más de ellas a
pesar de tener diferentes índices.

26 | Unidad 1
Producto y cociente de raíces
Cristián y Macarena quieren calcular, aproximadamente, cuánto es
y , respectivamente.
Observa cómo lo resuelve cada uno.
Cristián: ,
entonces, .
Macarena: ,
o sea, .
96
6
3
3
12
Para verificar si el procedimiento de Cristián es correcto podemos
recordar que “el cuadrado del producto de dos números es igual
al producto de los cuadrados de dichos números”. Descomponiendo
12 en dos factores: , y aplicando esto podemos afirmar
que , es decir, obtenemos
, ya que ambas raíces son positivas.
Luego, , ya que .
Por lo tanto, .
De modo similar, y recordando que “el cociente del cubo de dos
números es igual al cubo del cociente de dichos números”,
podemos verificar el procedimiento de Macarena.
En general, para números no negativos, la raíz de un producto es
el producto de las raíces y la raíz de un cociente es el cociente de
las raíces.
12 3 46
,
≈
3 173
,
≈
4 3 2 3 2 173 3 46
· · , ,
= ≈ =
4 3 4 3
· ·
=
12 4 3
·
=
4 3 4 3 4 3
2 2 2
· · ·
( ) = ( ) ( ) =
Analicemos...
• ¿Son correctos los procedimientos de Cristián y Macarena?,
¿por qué?
• ¿Qué propiedad de las raíces se utiliza en el desarrollo del ejercicio?
12 4 3 4 3 2 3
= ⋅ = ⋅ =
12 3 46
≈ ,
96
6
96
6
16 8 2 8 2 2 2
3
3
3 3 3 3 3 3
= = = ⋅ = ⋅ =
96
6
2 52
3
3
≈ ,
(a · b)n
= an
· bn
Recuerda que...
y 2 1 26
3
≈ ,
3 1 73
≈ ,
a
b
a
b
n n
n
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =

Unidad
1
Raíces | 27
1. Reduce las siguientes raíces (con a, b, x e y números positivos):
a. c. e. g.
b. d. f. h.
2. Considera las aproximaciones , , y calcula:
a. b. c. d.
3. Simplifica las siguientes expresiones (con a, b, c y x números positivos) explicando, paso a paso,
cómo lo hiciste.
a. b. c.
4. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
a. b. Si x 0, entonces x x x
6 2 2
3
·
=
1331
121
123
123
3 3
3

–
=
300 6000 0 5
,
64
4
125
25
49 2
a b
4 12 3
b b
⋅
2 8 18
⋅ ⋅
8 6
4 4
a
a b
x y
x y
2
·
a c b c
a b c ab c
2 2 4 3
3
3 5 3 2
− −
−
⋅
( )
·
240
6 4
5 2
3 7
a a
a a
⋅
⋅
−
128
32
3
x
x
20
5 2 24
≈ ,
3 1 73
≈ ,
2 1 41
≈ ,
108
Actividades
En resumen
• Si a y b son números reales positivos o cero (a ≥ 0, b ≥ 0), se cumplen las siguientes propiedades:
• La raíz cuadrada de un producto es igual al producto de las
raíces cuadradas de sus factores.
• La raíz cuadrada de un cociente es igual al cociente de las raíces
cuadradas de sus términos.
• Si a y b son números reales cualesquiera, se cumplen las siguientes
propiedades:
• La raíz cúbica de un producto es igual al producto de las raíces
cúbicas de sus factores.
• La raíz cúbica de un cociente es igual al cociente de las raíces
cúbicas de sus términos.
a
b
a
b
3
3
3
=
a
b
a
b
= , con b 0
, con b 0
a b a b
⋅ = ⋅
3 3 3
a b a b
⋅ = ⋅

28 | Unidad 1
• En el siguiente mapa conceptual, se muestran algunos de los conceptos presentados hasta
ahora en la Unidad.
• Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior,
responde en tu cuaderno.
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿A qué tipo de números no se les puede calcular su raíz cuadrada?
3. ¿La raíz cuadrada de 4 es ± 2?, ¿por qué?
4. ¿La raíz cúbica de un producto es el producto de las raíces de sus factores?, ¿por qué?
5. ¿La raíz cuadrada de una suma es la suma de las raíces de sus sumandos?, ¿por qué?
6. ¿La raíz cúbica de una suma es la suma de las raíces de sus sumandos?, ¿por qué?
7. ¿Toda raíz cuadrada de un número entero positivo es un número entero?
8. ¿La raíz cúbica de 250 es un número entre 5 y 6?, ¿por qué?
9. ¿Qué relación hay entre y x2
– a = 0? Explica.
10. ¿Qué relación hay entre lado y área de un cuadrado de lado a?
11. ¿Qué relación hay entre lado y volumen de un cubo de arista a?
12. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?,
¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
a
se aplican a
mantienen mantienen
RAÍCES CUADRADAS
NÚMEROS REALES
POSITIVOS O CERO
RAÍCES CÚBICAS
Organizando lo aprendido
se distinguen
RAÍCES
ORDEN
se aplican a
TODOS LOS NÚMEROS
REALES

Raíces | 29
Unidad
1
1. Determina cuáles de las siguientes desigualdades son verdaderas y cuáles son falsas. Explica en cada
caso tu decisión.
a. b. c. d.
2. Simplifica las siguientes expresiones:
a. c. e.
3. ¿Cuál es el valor de ?
4. Resuelve los siguientes problemas explicando, paso a paso, tu desarrollo.
a. Dos triángulos rectángulos comparten la misma hipotenusa. Si las medidas de los catetos de uno
de los triángulos son iguales a 11 cm y 3 cm, y la medida de uno de los catetos del segundo
triángulo es de 7 cm, halla la medida del cateto restante.
b. Encuentra el volumen de un cubo, si el área de una de sus caras es 27 cm2
.
5. Calcula el área pintada de cada figura, sabiendo que cada una no pintada es un cuadrado.
a. b. c.
27
3
15
5

144 5 10
3

28 21
7
5
8
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5
2
( )
3 3 3 3
3
+ + +
125
8
1
3

2 30 4 2
3

• Verifica en el solucionario si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en
la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.
¿Cómo voy?
Mi progreso
A. B. C. D. 2 E. 4
4
3
3
3
4
3
b. d. f.
4 3
24
3
3
5 7 15 7
⋅
5
5
( )
CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA
Calcular, estimar y comparar raíces. 1 16 a 25
Simplificar expresiones que involucran raíces. 2 y 3 26 y 27
Resolver problemas que involucran raíces. 4 y 5 16 y 17; 22 y 23
3 m2
3 m2
7 m2
x m2
x m2
y m2
4 2
–
4 2
–
4 2
+
m2
m2
m2

30 | Unidad 1
Ampliando el concepto de raíz
En cursos anteriores aprendiste a calcular el promedio o media arit-
mética; ahora veremos cómo se puede obtener la media geométrica.
Para obtener la media geométrica entre 2 y 18, se calcula:
.
Geométricamente, este resultado se puede interpretar como la
medida del lado del cuadrado que tiene igual área que un rectán-
gulo de lados 2 y 18 cm.
Para obtener la media geométrica de 6, 16 y 18, se calcula:
, es decir, 123
es igual al producto de
6, 16 y 18.
Geométricamente, este resultado se puede interpretar como la
medida de la arista de un cubo como el de la figura que tiene igual
volumen que un prisma de dimensiones 6, 16 y 18 cm.
6 16 18 1728 12
3 3
⋅ ⋅ = =
2 18 36 6
⋅ = =
La media geométrica depende de la cantidad de números involu-
crados. Luego, no siempre se usa la raíz cuadrada o cúbica.
La media geométrica de 2, 4, 9 y 18 corresponde a la solución posi-
tiva de x4
= 2 · 4 · 9 · 18 = 1296, que corresponde a , lo
que se lee como “raíz cuarta de 1296”.
De la misma forma, la solución de x5
= a corresponde a y
se lee “raíz quinta de a”, y así sucesivamente.
En general, la raíz enésima de un número a, que denotamos por
, es el número que resuelve la ecuación xn
= a. Es decir, se busca
el número cuya potencia enésima sea a. Al número n se le llama
índice y al número a se le denomina cantidad subradical.
a
n
x a
= 5
x = 1296
4
Analicemos...
• Si se necesita obtener la media geométrica de 2, 4, 9 y 18, ¿cómo
se puede calcular?, ¿corresponde a ?, ¿por qué?
• ¿Cómo se relaciona el producto de los cuatro números con su
media geométrica?
• En el caso de calcular la media geométrica de cinco números,
¿cómo se podría expresar ese número?
2 4 9 18
⋅ ⋅ ⋅
18 cm
2 cm
6 cm
12 cm
16 cm
18 cm
6 cm
Glosario
media geométrica: de n términos
x1
, x2
... xn
es la raíz enésima del
producto de los n términos.
G x x xn
n · · ... ·
= 1 2

Raíces | 31
Unidad
1
Por ejemplo, para calcular se puede hacer por tanteo:
primero, 34
= 3 · 3 · 3 · 3 = 81; luego, revisar 44
= 4 · 4 · 4 · 4 = 256,
y también, 54
= 5 · 5 · 5 · 5 = 625. Entonces, por lo anterior, .
Al igual que en el caso de las raíces cuadradas y cúbicas, no todas
las raíces enésimas son exactas, ni todas son números reales. Por
ejemplo, la raíz cuarta de un número negativo no es un número
real, porque ningún número real elevado a su cuarta potencia es
un número negativo.
625 5
4
=
625
4
1. Calcula el valor de las siguientes expresiones:
a. c. e.
b. d. f.
2. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.
a. para cualquier valor de n. d. El número IR.
b. , n impar. e. El número IR.
c. f.
3. Determina la media geométrica de los siguientes conjuntos de números:
a. {4, 6, 9} b. {2, 6, 9, 12} c. {1, 2, 4, 8, 16} d. {2, 4, 6, 9, 18}
− = −
128 128
7 7
−5
7
−17
6
64 8 2
6 3
= =
−
( ) = − ↔ − = −
b a a b
n n
0 0
n
=
64 81
6 4
+
81 81
4
+
625 32
4 5
+
−243
5
1
7
−1
7
Actividades
En resumen
• Si a es un número real y n un número natural mayor que uno, entonces la expresión
denota al número cuya potencia enésima es a.
• Si a 0 y n un número natural par, existe y es siempre un número positivo.
• Si a 0 y n un número natural par, no es un número real.
• Cuando n es un número impar, siempre existe y conserva el signo de a.
• Al número n se le llama índice, y al número a se le denomina cantidad subradical.
a
n
a
n
a
n
a
n
a b b a
n n
= ↔ =

Dadas dos afirmaciones A y B,
A B se usa para indicar que son
equivalentes, es decir, son ambas
verdaderas o ambas falsas.
A B se lee: A si y solo si B.
↔
↔
Pon atención

32 | Unidad 1
Cálculo y propiedades de raíces enésimas
Felipe está buscando una estrategia para calcular raíces usando las
que ya conoce. Observa.
Para comprobar si los cálculos de Felipe están correctos, debemos
calcular las potencias que corresponden. En ambos casos vemos que:
.
54
= 5 · 5 · 5 · 5 = 625.
Luego, ambos resultados son correctos.
Pese a lo expuesto, los cálculos anteriores no justifican la estrategia
usada por Felipe de separar las raíces de índice mayor, de modo que
para comprobar usaremos algunas propiedades de las potencias.
Observando los resultados obtenidos, vemos que podemos escribir-
los como:
.
.
Por lo tanto, al igual que con raíces cuadradas y cúbicas, las pro-
piedades de potencias justifican propiedades de raíces enésimas.
Analicemos...
• ¿Están correctos los cálculos de Felipe? Comprueba calculando
la potencia correspondiente del resultado, en cada caso.
• ¿Esta estrategia se puede usar siempre?, ¿sirve para calcular una
raíz quinta?, ¿y una raíz octava?, ¿por qué?
• Las propiedades de las operaciones de producto y cociente de
raíces cuadradas y cúbicas, ¿se extienden a las raíces enésimas?,
¿qué puedes concluir?
1
64
1
64
1
8
1
2
6 3 3
= = =
625 625 25 5
4
= = =
1
2
1
2
1
2
1
8
6 3 2 3
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⋅
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟ =
2
1
64
5 5 5 25 625
4 2 2 2 2 2
= = ( ) = =
⋅
1
2
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
En general:
Recuerda que...
a b a b
n n n
+ ≠ +
a b a b
n n n
− ≠ −
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
64
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Raíces | 33
Unidad
1
Ejemplo 1
Calcular el valor de .
Sabemos que para calcular 65
, podemos descomponerlo de la
siguiente forma:
65
= (2 · 3)5
= 25
· 35
= 32 · 243 = 7776.
Asimismo, podemos calcular la raíz quinta de 7776 a partir del
producto anterior, obteniendo:
= 2 · 3 = 6.
Ejemplo 2
Calcular el valor de la expresiones y .
= .
Tal como en el producto del ejemplo anterior, podemos descom-
poner el cociente de la siguiente forma:
=
= 0,3.
En el caso de la expresión no conocemos el valor exacto de
presión. Observa.
= 2.
Veamos ahora, utilizando lo aprendido, cómo podemos comparar
los términos de la siguiente secuencia:
.
El segundo término de la secuencia es 25, ya que 252
= 625; el tercer
término, como vimos anteriormente en el desarrollo del ejercicio
de Felipe, es 5, y el cuarto término es .
16
2
3
3
625 25 5
= =
16
3
16
2
3
3
0 0081
4 ,
7776
5
7776 32 243
5 5
= ⋅
= ⋅
32 243
5 5
0 0081
4 ,
81
10000
4
81
10000
4
81
10000
4
4
=
3
10
y de ; sin embargo, podemos calcular el valor exacto de la ex-
2
3
16
2
16
2
3
3
3
=
= 8
3
625 625 625 625
; ; ;

34 | Unidad 1
1. Calcula el valor de las siguientes raíces sin utilizar calculadora:
a. c. e. −
0 03125
0 01024
5
,
,
64
729
6
1
32
5
Actividades
En resumen
Si a y b son números reales, n y m números naturales, se cumplen las siguientes propiedades:
• Adición y sustracción de raíces: para que dos o más raíces se puedan sumar o restar es nece-
sario que sean semejantes; es decir, deben tener el mismo índice e igual cantidad subradical.
• Multiplicación de raíces de igual índice (si n es par, a, b 0).
• División de raíces de igual índice , con b 0.
• Raíz de una raíz .
a a a a
m
n n m m n n
m
= = =
⋅ ⋅
a b a b
n n n
⋅ = ⋅
b a c a b c a
n n n
± = ±
( )
a
b
a
b
n
n
n
=
Podemos encontrar una aproximación para este valor, y tendremos
que .
Remplazando los valores encontrados, la secuencia es:
625; 25; 5; 2,24.
• ¿Cuál sería el siguiente término en la secuencia?
• ¿Qué se puede concluir a partir de los resultados?
El término siguiente en la secuencia será , que es equiva-
lente a ; a partir de los resultados de la secuencia se
puede concluir que cada vez el resultado del término es un número
más pequeño; por lo tanto, sin necesidad de estimar , su valor
será menor a .
5
5 5
4
=
5
4
625
5 2 24
≈ ,
b. d. f. −
0 00032
16 807
5
,
−
16 384
128
7
0 00243
5 ,

Raíces | 35
Unidad
1
2. Resuelve.
a. d.
c. f.
3. Expresa los siguientes productos y cocientes de raíces de la forma más simple posible (considera
que x es un número positivo).
a. c. e.
4. Simplifica las siguientes expresiones aplicando las propiedades de las raíces. Indica en cada caso
las propiedades utilizadas.
a. d.
c. f.
5. Para cada una de las secuencias siguientes, calcula los valores numéricos o una aproximación para
cada término, y determina cuál es el término que sigue si se mantiene la misma relación.
a. d.
b. e.
c. f.
6. Calcula el valor de cada término en las siguientes secuencias y, luego, compara los resultados.
¿Qué diferencia existe entre los términos de ambas secuencias?, ¿por qué ocurre esta diferencia?
a. b.
10 000 10 000 10 000 10 000
; ; ;
− − − −
512 512 512 512
3 3
3 3
3
3
; ; ;
256 256 256 256
; ; ;
1
243
1
243
1
243
1
243
; ; ;
5 9 12 6 3 48
4
−
4 9 729
3
2 2 2
2 2
2
2
2
4
⋅ ⋅
3 54
4 4
⋅
x y xy x y xy
2
5 2
5 2
5 2
5
5 2 11
+ − +
25 2 25 5 25 7 25
3 4 3 4
+ + −
9 3 9 4 18 15 18
6 6 6 6
− − +
x x
6
7 7
⋅
64 2
5 5
:
3 4 7
5 5 5
⋅ ⋅
7 5 7 2 7 11 7
5 5 5 5
+ − +
243 243 243 243
; ; ;
64 64 64 64
; ; ;
1 1 1 1
; ; ;
0 0 0 0
; ; ;
b. d. f.
x
x
10
11
3
11
256
4
6
6
3 27
4 4
⋅
b. e. 2 5
1
2
5
3
4
5
4 4 4
− +
12 6 12 4 12 3 12
4 4 4 4
+ − +
b. e.
36
7
7
3 2
9
49
4
3
4
3
⋅ ⋅
3 34
3
7

36 | Unidad 1
Relación entre raíces y potencias
Jaime debe encontrar el volumen de un cubo cuya arista mide
cm, y el área de un cuadrado cuyo lado mide cm.
Observa.
Cubo:
Arista = cm
Volumen = cm3
Cuadrado:
Lado = cm
Área = cm2
Al ver los resultados obtenidos y observar que y
y recordando la siguiente propiedad de las potencias (an
)m
= an · m
,
Jaime propone las siguientes identidades:
Si a 0, entonces
Si b IR, entonces
A A
( ) =
2
A A
( ) =
2
V V
3 3
( ) =
V V
3 3
( ) =
A
V
3
A
Analicemos...
• ¿Cuál es la relación entre una potencia y raíz, según Jaime?
• ¿Te parece correcta la proposición de Jaime?, ¿por qué?
En resumen
En general, si n y m son números naturales mayores que 1 y a 0, se cumple que:
• • a a
m
n m
n
=
a a
n n
1
=
a a a a a
( ) ( ) ⋅
2 2 2
1
2
2
1
2
= = = =
b b b b b
3
3
3
3 3
1
3
3
1
3
( ) ( ) ⋅
= = = =
V
3 V cm2
A cm2
Si denotamos (a 0), tendremos que , como
por lo tanto n = .
En conclusión, la relación propuesta por Jaime es correcta. De la
misma forma podemos probar que .
a a n
( ) =
2 2
a a
3
1
3
=
1
2
a an
=
sabemos que , obtendremos que a = a2n
, es decir, 2n = 1,
a a
( )2
=

Raíces | 37
Unidad
1
Como vimos en el desarrollo anterior, representar las raíces como
potencias con exponente fraccionario permite simplificar expre-
siones con raíces, usando las propiedades de las potencias.
Ejemplo 1
; con a 0, ya que
Ejemplo 2
, ya que
2 5 2 5 2 5 2 5
3
1
2
1
3
1
2
3
3
1
3
2
2
3
6
2
6

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅
⋅ ⋅
=
= ⋅ = ⋅ =
2 5 2 5 200
3
6 2
6 3 2
6 6

2 5 2 5 200
3 3 2
6 6

⋅ = ⋅ =
a a a a a a
3 3
1
2
1
3
1
2 1
3
1
2
1
6 6
=( ) =
⎛
⎝
⎞
⎠ = = =
⋅

a a
3 6
=
1. Expresa las siguientes potencias en forma de raíz:
a. b. c. d.
2. Escribe las siguientes raíces en forma de potencia y, luego, calcúlalas:
a. b. c. d.
3. Utilizando las propiedades anteriores:
a. ¿Cómo expresarías como una raíz ? b. ¿Cómo expresarías como una raíz ?
4. Piensa y responde las siguientes preguntas. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste.
a. ¿Es verdadera la igualdad ?
b. ¿Cuál es la medida del lado de un cuadrado de área m2
?
c. ¿Cuál es la medida de la arista de un cubo que tiene por volumen cm3
?
5. Observa el ejemplo y, luego, resuelve.
a. b. c. x x x
⋅ ⋅
4
3 12
4
5 2 3
3 6
⋅ ⋅
2 2
5
⋅
5
3
2
5
a a
8
12
2
3
=
3 2
1
3
1
2
⋅
x
2
3
1
5
⎛
⎝
⎞
⎠
512
9
243
5
−0 00001
5 ,
−343
3
0 00032
1
5
,
( )
7
10
2
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−27
5
3
45
1
3
Actividades
a a a a a a
⋅ = = =
+

2
3
1
2
2
3
7
6 6
Amplificamos ambas fracciones para igualar denominadores

38 | Unidad 1
Expresiones con raíces en el denominador
Marcela debe calcular el lado de un triángulo equilátero. Sabe que
su altura mide 6 cm y recuerda que la altura de un triángulo equi-
látero la puede calcular utilizando:
, donde h es la altura y a el lado del triángulo equilátero.
Observa el procedimiento que utiliza para obtener la medida del
lado del triángulo.
Marcela dice que el lado del triángulo mide cm.
12
3
h
a
=
3
2
Como observas, la expresión tiene una raíz en el denomi-
nador, por lo que es más difícil encontrar un valor aproximado que
para ; sin embargo, ambas expresiones son equivalentes,
ya que llegamos al mismo resultado.
Observa el siguiente procedimiento:
Para facilitar cálculos, encontraremos un procedimiento que nos
permitirá hallar una expresión equivalente que no posea raíces en
el denominador, lo que equivale a racionalizar la expresión.
4 3 6 93
≈ ,
12
3
6 93
≈ ,
a
2
a
2
En un triángulo equilátero,
ya que, aplicando el teorema de
Pitágoras, tenemos:
Recuerda que...
Analicemos...
• ¿Sabes a qué número se aproxima el valor que obtuvo Marcela?
Escríbelo con dos cifras decimales y explica cómo lo calculaste.
• ¿Cuánto es el valor de si aproximas a dos decimales?,
¿cómo lo hiciste? Compara con el resultado anterior.
• ¿Qué aproximación te resultó más fácil de calcular?, ¿por qué?
4 3
Glosario
racionalizar: operar para eliminar
los radicales del denominador de una
fracción, sin cambiar su valor.
h
A B
C
a a
6
3
2
=
a

12 3
=a
a =
12
3
12
3
12
3
3
3
12 3
3 3
= ⋅ =
⋅
⋅
=
( )
= =
12 3
3
12 3
3
4 3
2
h
a
=
2
3
h
a
a
2
2
2
2
+⎛
⎝
⎞
⎠
=
h a
a
2 2
2
2
= −⎛
⎝
⎞
⎠
h
a
2
2
3
4
=
h
a
=
3
2
Multiplicamos por
Multiplicamos por 2
Dividimos por

Raíces | 39
Unidad
1
Por lo tanto, la racionalización de es la expresión , que, tal
como probamos con los resultados de la aproximación, son expre-
siones equivalentes.
Ahora observa la figura, ¿cuán mayor es el segmento y que la me-
dida del segmento AD?
Para encontrar la medida pedida utilizaremos el teorema de Thales,
planteando la siguiente proporción:
Hemos encontrado la medida del segmento y. La presencia de raíces
en el denominador nos dificulta los cálculos para responder a la
pregunta inicial. Por ello, racionalizaremos la expresión.
Observa el siguiente procedimiento:
Si observamos, el procedimiento anterior es bastante extenso; no
obstante, la expresión encontrada facilita enormemente los cálculos.
Luego al racionalizar se obtiene . Como ,
entonces, . Por lo tanto, la medida del seg-
mento y es aproximadamente mayor que AD en 0,23 cm.
4 2
2 2
+
4 2 1
−
( ) 2 1 41
≈ ,
12
3
4 3
B
ED // BC
E
A
D
C
4
2
y
AC
CB
AD
DE
=
2 2
4
2
+
=
y
y ⋅ +
( )= ⋅
2 2 4 2
y =
+
4 2
2 2
4 2
2 2
4 2
2 2
2 2
2 2
+
=
+
( )
⋅
−
( )
−
( )
=
( ) − ⋅
( ) −
4 2 4 2 2
2 2
2
2 2
=
⋅ −
−
=
−
−
4 2 8 2
2 4
8 8 2
2
=
−
( )
−
= − −
( )= −
( )
8 1 2
2
4 1 2 4 2 1
4 2 1 4 0 41 1 64
−
( )≈ ⋅ ≈
, ,
Remplazamos las medidas
dadas
Multiplicamos por 4y
Dividimos por ( + 2)
Multiplicamos por
Suma por diferencia
desarrollada
Factorizamos y simplificamos
2

40 | Unidad 1
Si ahora queremos racionalizar la expresión con raíces cúbicas
en el denominador, lo que debemos hacer es amplificar por una ex-
presión que nos permita eliminar la raíz cúbica en el denominador; es
decir, debemos amplificar por una expresión que le permita obtener
en el denominador , ya que, recordando las propiedades de la
raíces cúbicas, .
Observa.
Si queremos ahora racionalizar una expresión como , que
tiene un binomio en el denominador, tenemos que amplificar por
una expresión que elimine ambas raíces del denominador.
Observa el procedimiento que se utilizará, basado en la identidad:
Primero, trabajaremos con el denominador de la expresión, para
así facilitar cálculos posteriores. En este procedimiento buscare-
mos obtener la suma de los cubos de y , es decir,
Por lo tanto,
En general, para racionalizar una expresión como debemos
amplificar de la siguiente forma:
1
4 2
1
4 2
2 2 2 4
2 2 2 4
2 2 2 4
6
3 3 3 3
3 3
3 3
3 3
+
=
+
⋅
− +
− +
=
− +
2
3
4
3
1
4 2
3 3
+
43
3
7
4
3
4 4 4
3
3 3
3
= ( ) =
7
4
4
4
7 4
4 4
7 4
4 4
7 4
4
7 4
3
2
3
2
3
2
3
3 2
3
2
3
2
3
2
3
3
3
2
⋅ =
⋅
=
⋅
= =
3
3
4
a b a b a ab b
3 3 2 2
± = ±
( ) +
( )
∓
4 2 4 2 6
3 3 3 3
+ = + =
4 2 4 2 4 4 2 2
3
3
3
3
3 3 3
2
3 3 3
2
( ) +( ) = +
( ) ( ) − ⋅ +( )
( )
4 2 4 2 16 8 4
3 3 3 3 3
+ = +
( ) − +
( )
6 4 2 8 2 2 4
3 3 3 3
= +
( ) ⋅ − +
( )
6 4 2 2 2 2 4
3 3 3 3
= +
( ) − +
( )
a
bm
n
a
b
b
b
a b
b
m
n
n m
n
n m
n
n m
n
⋅ =
−
−
−

Raíces | 41
Unidad
1
1. Racionaliza las siguientes expresiones:
a. d. g. j.
b. e. h. k.
c. f. i. l.
2. Determina, racionalizando, si las siguientes expresiones son verdaderas. Justifica tu decisión.
a. b. c. d.
3. Determina, racionalizando, el orden de las siguientes expresiones:
a. c. e. g.
4
5 3
6
3 5
− −
y
3
5
4
13
y
5
2 3
2
2 1
+ –
y
1
7
3
2
y
3
3
3
=
864
32
3
3
3
=
1
a b
a b
a b
−
=
+
−
1
3 2
1
−

10
25
4
2
8
Actividades
En resumen
• Racionalizar una fracción es transformarla, sin cambiar su valor, en una expresión que no
posea raíces en el denominador.
• Al racionalizar expresiones que contienen raíces en el denominador se pueden aproximar
y comparar de manera más sencilla.
• Para racionalizar una fracción debemos amplificarla por una expresión que nos permita
eliminar la raíz o las raíces presentes en el denominador.
Así, por ejemplo, observa el procedimiento para racionalizar .
1
2
5
1
2
2
2
2
2
2
2
5
4
5
4
5
4
5
5
5
4
5
⋅ = =
5
7
4
6 2
−
3
2 2 3
+
5
4 5 2 7
+
a a b
a a b
− +
+ +
6
4 2
3 3
−
1
1
3
x −
123
5 2
3
−
3
2
3
x
6 2
18 12
3 3
−
b. d. f. h.
2
5 1
1
5 2
3 3
− +
y
1
2 1
2
1 2
− +
y
3
5
4
3
3 3
y
5
12
1
2
y

42 | Unidad 1
Ecuaciones con radicales
Mediante la experimentación y la aplicación de modelos mate-
máticos, se ha logrado determinar que la distancia d (medida en
metros) a la que cae un objeto, partiendo del reposo en t segun-
dos, es aproximada por la fórmula:
.
Un grupo de estudiantes, un tanto desconfiados, decidió verificar
esta fórmula dejando caer una piedra desde un puente (como se
muestra en la figura), y tomando el tiempo que la piedra tarda
en llegar al río.
Para solucionar este problema es necesario resolver una ecuación
cuya incógnita forma parte de una cantidad subradical.
Para despejar la incógnita (d en este caso) debemos elevar al
cuadrado, ya que, recordando la propiedad de la raíces cuadradas
; al hacer esto logramos eliminar la raíz.
d = 20 m
Ejemplo
Resuelve la ecuación .
Se consideran primero las restricciones de los valores que puede
tomar x.
Como la cantidad subradical de una raíz cuadrada debe ser positiva
o cero, se tiene que x + 5 0 y x + 2 0; por lo tanto, las soluciones
no pueden ser menores que – 2, es decir, la solución debe pertenecer
al intervalo x – 2.
x x
+ + + =
5 2 6
x x
( ) =
2
t
d
=
5
Analicemos...
• ¿Cuál es la altura del puente, según la fórmula, si la piedra cayó
en dos segundos? Explica, paso a paso, cómo lo resolviste.
t
d
=
5
2
5
=
d
2
5
2
2
( )
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
d
4
5
=
d
La expresión , n indica el índice
de la raíz y a señala la cantidad
subradical.
a
n
Recuerda que...
Remplazamos t por 2
Multiplicamos por 5
Observa la ecuación :
la solución no pertenece a los núme-
ros reales, pues la expresión
debe ser positiva o cero, según la
definición de raíz cuadrada.
x +1
x + = −
1 3
Pon atención

Siempre debemos comprobar la solución. Observa.
Como satisface la igualdad original, la solución encontrada es válida.
12 2 33
x + =
x x x
+ = − + + +
5 36 12 2 2
x x
+ = − +
5 6 2
Unidad
1
Raíces | 43
En resumen
• En una ecuación en la que intervienen raíces cuya incógnita forma parte de una o más cantidades
subradicales, las soluciones encontradas algebraicamente deben ser siempre comprobadas,
de modo que la ecuación original esté definida para valores reales.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales. Luego, comprueba la solución.
a. c. e. g.
b. d. f. h.
2. ¿Por qué al resolver una ecuación con radicales existen soluciones que no satisfacen la ecuación?
Menciona un ejemplo para responder la pregunta.
3. ¿Existe un número natural, tal que su raíz cuadrada tenga tres unidades más que la raíz cuadrada
de su antecesor?, ¿por qué?
Actividades
x x
+ + + =
5 2 6
x x
+
( ) = − +
( )
5 6 2
2 2
x +
( ) = ⎛
⎝
⎞
⎠
2
33
12
2
2
x + =
2
1089
144
x = − = =
1089
144
2
801
144
89
16
89
16
5
89
16
2
89 80
16
89 32
16
+ + + =
+
+
+
= + = + = =
169
16
121
16
13
4
11
4
24
4
6
x − =
5 5
2
3
1 7
x − =
2 5 1 7
x − =
2 3 4
x =
2 2 3 6
x =
9 1 1 3
x x
+ − =
x x
+ + =
2 2
x x
+ + = +
5 3 8
Elevamos al cuadrado
Reducimos términos semejantes
Elevamos al cuadrado nuevamente

44 | Unidad 1
• En el siguiente mapa conceptual se muestran algunos de los conceptos presentados hasta
ahora en la Unidad.
• Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior,
responde en tu cuaderno.
2. ¿Qué relación hay entre potencias y raíces? Da al menos dos respuestas distintas.
3. ¿De qué modo se comparan expresiones con radicales? Da al menos dos
respuestas distintas.
4. ¿Qué significa racionalizar y qué utilidad tiene?
5. ¿Los exponentes fraccionarios se pueden usar en potencias cuya base sea un
número negativo?
6. ¿En qué se distinguen las ecuaciones con radicales de otras ecuaciones que conoces?
7. ¿Por qué se deben comprobar las soluciones en las ecuaciones con radicales? Explica.
8. ¿Tienes alguna duda sobre conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
se aplican a se aplican a
se pueden simplificar
mediante
son parte de
mantienen
ÍNDICE PAR ÍNDICE IMPAR
NÚMEROS POSITIVOS
O CERO
TODO NÚMERO
REAL
ORDEN ENTRE
NÚMEROS
Organizando lo aprendido
tienen RAÍCES
ECUACIONES
IRRACIONALES
MULTIPLICACIÓN
Y DIVISIÓN
si aparecen en
el denominador
debemos
RACIONALIZAR

Raíces | 45
Unidad
1
1. Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Justifica tus decisiones.
a. c. e.
b. d. f.
a. c. e. g.
b. d. f. h.
3. Realiza las siguientes operaciones y simplifica todo lo posible los resultados.
a. c. e. g.
b. d. f. h.
4. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones encontradas.
a. b. c.
5. El valor de es:
A. B. C. D. 2 E. Ninguna de las
anteriores.
2
7 2
6 2
2 64 18
4
−
x x
+ − − =
8 1 1
2 1 21
x − =
4 3 12 2
x =
3 5 8
6 3 9
+ =
a a
2
3 10
15
=
3 5 75
6 3 6
⋅ =
4 3 5 60
3 3 3
⋅ =
75 25
3
=
2 4 32
3 3
=
Mi progreso
• Verifica en el solucionario si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en
la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.
¿Cómo voy?
34
12
12
2
3
5
2 3
3
+
8 2
4 19
−
3
6
5
3
+
2
6
4 3
+
10
2
5
a
a
7
3 4 5 2 16
7 7 7

⋅ ⋅
14 1296
7 6
3
3
7 3 3 243 3
4 4 4
− +
14 256
2 4
6
6
7 7 7
5
6
1
3
1
2
⋅ ⋅

3 3 27
a a
2
3
1
3
3
4
1
2
⎛
⎝
⎞
⎠ ⋅
⎛
⎝
⎞
⎠

2 2 2 2
4
3
CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA
Analizar igualdades que involucran raíces. 1 30 a 35
Racionalizar expresiones con raíces en el denominador. 2 38 a 41
Calcular y simplificar expresiones que involucran raíces. 3 y 5 32 a 37
Resolver ecuaciones irracionales. 4 42 y 43

Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución de
los siguientes problemas.
Ejercicio 1
A un rectángulo cuya altura es a = 1 cm y cuya base mide cm
se le quita un cuadrado de lado 1 cm, de modo que resulta otro rec-
tángulo. Halla las longitudes de sus lados y prueba que el cociente entre
la longitud del lado mayor y el lado menor es el número .
Solución
Las dimensiones del nuevo rectángulo serán: 1 y (b – 1).
Calculemos el cociente entre las longitudes del lado mayor (a’) y del
lado menor (b’) del nuevo rectángulo.
Racionalizamos
Simplificamos
Hemos demostrado que el cociente entre las longitudes de los lados
del rectángulo es .
Ejercicio 2
Considera que la figura representa un
cubo de lado a:
a. Determina la medida de BG.
b. Calcula la altura del triángulo BDG.
1 5
2
+
1 5
2
+
b =
+
1 5
2
Cómo resolverlo
46 | Unidad 1
Base del rectángulo
resultante (b – 1)
Rectángulo original 1 cm
b =
+
1 5
2
1 5
2
1
1 5 2
2
5 1
2
1
+
− =
+ −
=
−
= =
b a
'; '
a
b
'
'
=
−
=
−
=
+
( )
−
( ) +
( )
=
+
( )
−
=
1
5 1
2
2
5 1
2 5 1
5 1 5 1
2 5 1
5 1
2
2 5 1
4
1 5
2
+
( )
=
+
A D
H
G
F
B
E
C
a
a
a

Solución
a. BG es la diagonal de una cara del cubo, es decir, de un cuadrado
de lado a.
BG2
= a2
+ a2
BG2
= 2a2
BG =
BG =
Luego, la medida de BG es a .
b. El triángulo BDG es equilátero, porque sus lados son las diagonales
de las caras del cubo (cuadrados de lado a).
Por lo tanto, BD = DG = BG = a
Considerando que la altura de un triángulo equilátero de lado l es
y que en este caso l = a , se remplaza y se obtiene:
Luego, la altura del triángulo BDG mide .
h
l
=
2
3
h
a
=
6
2
2
2
2
Raíces | 47
Unidad
1
Actividades
1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones:
a. Considera un cuadrado de lado a, el cual en su parte superior tiene un triángulo isósceles
rectángulo de base igual al lado del cuadrado. Calcula el perímetro de la figura formada en
términos del lado del cuadrado.
b. Considera un paralelepípedo de largo 3a, de ancho 2a y de alto igual al ancho. Determina las
medidas de las diagonales de cada una de las caras del paralelepípedo.
2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimiento
previo, ¿cuál es más simple?, ¿por qué?
3. Resuelve el siguiente problema empleando el método aprendido u otro. Compara el procedimiento
que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?
Encuentra el área y perímetro de un rectángulo cuyo largo mide lo mismo que la altura de un
triángulo equilátero de lado 2a y cuyo ancho es .
a
2 2
a
a 2
h
a a
= ⋅ =
2
2
3
6
2
Utilizando el valor
obtenido en la parte a
Se aplica la propiedad
Se aplica el teorema de Pitágoras
Se reducen términos semejantes
Se aplica la propiedad

48 | Unidad 1
En terreno
En terreno
El período del péndulo
El péndulo ha servido por siglos como medidor del paso del tiempo. Una de sus
características es que, si está adecuadamente construido, el tiempo que le toma
cada ir y venir (su período) es casi constante. Eventualmente, el péndulo irá frenando
hasta detenerse, pero mientras mejor construido esté, más demorará en frenar.
El tiempo que le toma a cada ciclo de ir y venir se puede aproximar por , donde
L es el radio de giro y g es la aceleración de gravedad de la Tierra. De este modo,
el período del péndulo es proporcional a . Todo esto es válido si su peso en el
extremo es realmente mayor que el de la cuerda que lo sostiene y gira con él.
Uno de los usos del péndulo y la regularidad de su período es orientar y mantener
el ritmo de una composición musical, lo cual es muy útil para cuando los músicos en-
sayan. Si hay una batería entre los instrumentos musicales, algunos de sus sonidos
reproducen el ritmo que tenía el metrónomo al ensayar.
L
2π
L
g

Actividades
1. Obtén una aproximación del valor con dos cifras decimales, considerando g = 10 y π 3,14.
2. Calcula el período de un péndulo para los siguientes radios de giro:
a. L = 1 m b. L = 4 m c. L = 0,4 m d. L = 0,5 m e. L = 0,2 m
3. Determina la longitud L de una cuerda si esperamos un período de:
a. 2 segundos. b. 4 segundos. c. 5 segundos. d. 0,5 segundos.
Investiguemos...
Ahora, trabajen en grupos de tres personas.
1. Comparen las respuestas obtenidas por cada uno y discutan sobre cuáles de las respuestas son
correctas si hay diferencias.
2. ¿Qué ocurre si las medidas están en centímetros en vez de en metros?, ¿sigue siendo válida la fórmula?
3. Usando un metro de hilo de coser (o de lana), una goma de borrar y una silla o mesa, pongan nudos
al hilo cada 10 cm y construyan un péndulo amarrando la goma al hilo y el hilo al borde de la silla o
mesa, de modo que en alguna dirección pueda oscilar sin chocar; no se necesita que el giro sea am-
plio, pero sí que sea visible. La idea es que los nudos indiquen la medida L del radio de giro.
a. Para las siguientes medidas de L registren el tiempo en segundos que demora el péndulo en
completar diez períodos completos.
i. L = 0,2 m ii. L = 0,4 m iii. L = 0,5 m iv. L = 0,7 m v. L = 0,9 m
b. Para cada tiempo obtenido, dividan por 10 (para obtener el promedio) con el fin de lograr una
aproximación del período P asociado a cada valor de L, y registren en una tabla los pares (L, P).
c. Para cada una de las medidas de L dadas, calculen el período que debiera dar y comparen con
los valores de la tabla. ¿Qué pueden concluir?
Evaluemos nuestro trabajo
• Comparen los resultados obtenidos. ¿Son similares? Si no es así, ¿qué diferencias hubo?, ¿son errores
o pueden explicarse por las diferencias en las circunstancias al medir?
• Indaguen respecto de los metrónomos mecánicos (ahora hay electrónicos) que usaban los músicos
y su relación con el péndulo, y de qué manera regulaban el ritmo de oscilaciones para distintos
ritmos musicales.
m
s2
2π
g
Raíces | 49
Unidad
1

50 | Unidad 1
Síntesis de la Unidad
A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye con
ellos un mapa conceptual en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican las
relaciones entre los conceptos.
A partir de lo trabajado en la Unidad, responde:
2. ¿Pertenecen todas las expresiones con raíces al conjunto de los números reales?, ¿por qué?
3. ¿Qué estrategia se puede usar para estimar el valor de una raíz? Explica paso a paso.
4. ¿Es siempre el producto de dos raíces igual a la raíz del producto? Explica.
5. ¿Cuándo es necesario racionalizar una expresión? Da al menos dos ejemplos, explicando,
paso a paso, el procedimiento.
6. ¿Cuál es la relación entre potencias y raíces?
7. ¿Cuáles son las ecuaciones irracionales?, ¿cómo se resuelven?
8. ¿Qué relación hay entre área y volumen con las raíces?
9. Al racionalizar una expresión, ¿cambia el valor de esta?, ¿por qué?
10. ¿Qué importancia tienen las propiedades de la potencias para el estudio de las raíces?
11. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
RAÍCES CUADRADAS RAÍCES CÚBICAS
EXPONENTE FRACCIONARIO
ECUACIONES CON RADICALES
RAÍCES ENÉSIMAS
POTENCIAS
RACIONALIZACIÓN

Raíces | 51
Evaluación
I. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
1. Las raíces cúbicas solo se aplican a números positivos.
2. Solo se puede racionalizar si el denominador de una fracción tiene una raíz cuadrada.
3. Ningún número es igual a su propia raíz cúbica.
4. Si x 0, entonces .
5. Todas las raíces cuadradas de un número natural pertenecen al conjunto de los números reales.
6. Para todo n, a y b ⺞ .
II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades:
1. Ordena de mayor a menor las siguientes expresiones:
a. b.
2. Simplifica las siguientes expresiones:
a. c. e.
b. d. f.
a. b. c. d.
4. Resuelve los siguientes problemas:
a. La diagonal de un cuadrado es cm. Calcula la mitad de su área.
b. Determina el radio de una esfera de 4520 m3
de volumen.
5. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones:
a. c.
b. d. x x
− = + +
5 3 1

13 13
8
x
x
x
=
x x
− = +
2 2
5 5
20
x
=
5 2
a
a
−
−
5
5
11
3 2
3
−
3
5 2
−
3
5
3
3 3 3 3
5
4
3
3 7
3 7
5
⋅
⋅
2
5
4
3
2 2 2 2
2 3 11 2 3 11
3 3
+ ⋅ −
a2
3
− − − −
5 9 33 256
3 3 5 7
, , ,
4 16 18 20
3 3 4 3
, , ,
a b a b
n n n
+ = +
x x
2
= −
Unidad
1

52 | Unidad 1
III. Marca la opción correcta en cada caso.
1. La expresión es igual a:
A. –6
B. 0
C. 3
D. 6
E. Ninguna de las anteriores.
2. (DEMRE, 2004). Si la base de un triángulo
mide t y su altura mide , ¿cuánto mide
el lado de un cuadrado que tiene igual
área que el triángulo?
A.
B. t
C.
D.
E.
3. (DEMRE, 2003). =
A.
B.
C.
D.
E. 1
2
6
8
6
2
3
4
3
t
2
t2
4
t
4
t
2
27 243
3 5
−
( )
t
2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅

2
2
3
4. Para racionalizar hay que amplificar por:
A. 2
B.
C.
D.
5. La racionalización de es:
A.
B.
C.
D.
6. (DEMRE, 2004). Si ,
¿cuál o cuáles de las siguientes expresiones
son equivalentes a ?
I. 2bc
II.
III.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y II
E. I y III
a bc
2
a b c
2 2 2
60
2 3 5
= = =
a b y c
,
a b a b
4 4 2 2
3
2
+ +
a b
4 4
3
+
a b
−
3
a b
+
3
a b
a b ab
+
+ +
2 2
3
2
a4
5
a3
5
a
5
1
5
a

Raíces | 53
7. La diagonal de un cuadrado de lado es:
A.
B. 2d
C.
D.
E. 2d2
8. El producto de es:
A.
B.
C. (xy)xy
D. xy
9. La racionalización de las expresión es:
A. 3
B.
C. 9
D.
E. 27
10. El número por el cual debe multiplicarse
para obtener 4 es:
A.
B.
C. 2
D. 2
11. La expresión es equivalente a:
A. –6
B. –2
C. 2
D. 10
E. 10 + 2
12. ¿Cuál es el área total de un cubo cuya arista
mide cm?
A. 378 cm2
B. 441 cm2
C. 27 cm2
D. 189 cm2
E. 343 cm2
13. Para el número – 10,05, ¿cuál de las
siguientes afirmaciones es correcta?
A. Es menor que –0,0002.
B. Es igual a cero.
C. Es positivo y menor que 0,0001.
D. Es negativo y mayor que –0,0002.
E. Es mayor que 0,0001.
14. El perímetro de un triángulo rectángulo de
catetos y es:
A.
B. 24
C.
D.
E. No se puede calcular.
4
2 8
2
−
( )
d
2
2 2
d
d 2
d 2
24 5
70 14 5
+
8 5
8 5
6 5
101
7
7
63
2
4
2
2
9 9
5
3 9
5
27
27
5
x y
x
x y
y
( ) ⋅ ( )
Unidad
1
Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?,
¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
xy
xy x y
( ) −
xy
xy x y
( ) +

Plantear y resolver problemas.
Analizar existencia y pertinencia
de soluciones.
Conocer la parábola como un
lugar geométrico.
Reconocer la gráfica de una
parábola e identificar sus
elementos y propiedades.
Analizar y conocer el tipo de
crecimiento de la función y sus
aplicaciones en la modelación
de algunos fenómenos.
Resolver problemas de máximos
y mínimos utilizando parábolas.
Describir y analizar una
función cuadrática.
Función cuadrática
y función raíz
cuadrada
2
Función raíz cuadrada
Máximos y mínimos
Ecuación de segundo grado
Parábola
54 | Unidad 2
TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A:
UNIDAD 2 (54-105)C:Maquetación 1 4/11/10 17:12 Página 54

Función cuadrática y función raíz cuadrada | 55
Conversemos de...
Aunque las leyes que describen el movimiento se estudian con detalle en Física, en esta Unidad
analizaremos las expresiones matemáticas que lo representan. Por ejemplo, el salto de las gace-
las se podría expresar usando las mismas fórmulas que modelan el lanzamiento de proyectiles
y que involucran potencias de segundo grado. La fórmula que describe la altura del salto es:
donde g representa la aceleración de gravedad, t el tiempo transcurrido, v0
la velocidad inicial y
k una constante que está relacionada con el ángulo del salto.
• ¿Conoces el valor de g, o una aproximación para este?, ¿en qué unidades está?
• ¿Podrías calcular s, dados los valores de k y t correspondientes?, ¿por qué?
• En el caso del salto de la gacela, ¿puede ser v0
= 0?, ¿por qué?
• Busca un ejemplo diferente de una ecuación que involucre potencias de segundo grado
y que modele algún fenómeno.
s v tk gt
0 –
=
1
2
2
Latinstock

56 | Unidad 2
¿Cuánto sabes?
1. Factoriza las siguientes expresiones:
a. x3
– x2
+ x – 1 c. 3x2
+ 4x + 1 e. x2
– 5x – 6
b. 3x2
– 7x d. a2
– 4 f. y2
+ (a + b)y + ab
2. Calcula las siguientes expresiones, considerando que ;
y .
a. c. e.
b. d. f.
3. Encuentra el valor de x en las siguientes igualdades:
a. x2
= 144 c.
b. d. x(a2
+ ab + b2
) = a3
– b3
4. Determina cuál o cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una
función. Explica tu decisión.
a. c.
b. d.
x
3
125
=
4 9
+ =
x
2
2
2 8
−
20 40 60
+ +
8 9 125
− +
6 18 24
+ +
5 2 23
≈ ,
3 1 73
≈ ,
2 1 41
≈ ,
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.
4
27
2
3
1
− +
1
2
1
3
1
5
+ +

5. Determina cuál o cuáles de los siguientes pares ordenados
corresponde a la función f(x) = 3x – 4. Fundamenta tu respuesta.
a. (12, 32) c. (–3, 13)
b. (0, 4) d. (–2, –10)
6. Determina cuál o cuáles de las siguientes expresiones son positivas
para todo x positivo. Explica cómo lo supiste.
a. 4 + x c. x2
e. 1 – 3x2
b. 13 – 2x d. 4x2
+ 1 f. –8x2
Verifica en el solucionario si tus respuestas son correctas. ¿Tuviste
algún error? Si lo tuviste, corrígelo antes de continuar con la Unidad.
Unidad
2
¿Qué debes recordar?
• Algunas factorizaciones:
• ab + ac = a(b + c) Factor común.
• a2
– b2
= (a + b)(a – b) Diferencia de cuadrados.
• a2
± 2ab + b2
= (a ± b)2
Cuadrado de binomio.
• x2
+ (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) Trinomio que es el producto de dos binomios
con un término común.
• Las raíces enésimas se pueden escribir como una potencia con exponente racional, por ejemplo:
• El producto de dos términos es cero si y solo si al menos uno de ellos es cero, es decir:
a · b = 0 ⇔a = 0 ∨ b = 0 (el signo ∨ significa “o”).
• La raíz de un producto es equivalente al producto de las raíces, es decir: .
• El cuadrado de un número real es siempre positivo o cero, es decir, x2
ⱖ 0.
• Si dos números son positivos, el orden entre ellos es el mismo orden que entre sus raíces y
sus potencias, es decir, si 0 a b y n es un natural, entonces .
• Una función y = f(x) es creciente en un intervalo [p, q] cuando para todo par de números
a y b del intervalo que cumplan a b, se cumplirá f(a) f(b).
• Una función y = f(x) es decreciente en un intervalo [p, q] cuando para todo par de números
a y b del intervalo que cumplan a b, se cumplirá f(b) f(a).
• Una función es una regla que asocia a cada número x de un conjunto A, llamado dominio,
un único valor f(x) de un conjunto B, llamado recorrido. Ejemplo: f(x) = x2
, x 僆 IR.
a b y a b
n n n n

ab a b
= ⋅
k k k
m
n n
m
m
n
= ( ) =

58 | Unidad 2
Analicemos...
Un zoólogo experto en anfibios modeló el salto de una rana me-
diante una expresión matemática y obtuvo la siguiente función:
h(t) = 2t – t2
, donde t es el tiempo medido en segundos y h la altura
en metros.
La siguiente tabla muestra la altura de la rana en cinco
instantes distintos.
• ¿Cuánto demora la rana en volver al suelo?, ¿de qué modo
podrías determinarlo?
• ¿Cómo determinarías la mayor altura que alcanza la rana?
Según la tabla, la rana está en el piso tanto cuando t = 0 y t = 2, ya
que la altura a la que está la rana es 0 en ambos instantes (h(t) = 0).
El instante t = 0 corresponde al momento de iniciar el salto, y el ins-
tante t = 2, a los dos segundos de haber saltado, corresponderá al
instante en que, luego del salto, la rana vuelve al piso.
Para determinar la mayor altura que alcanza la rana necesitamos
conocer bien el comportamiento de la función que nos muestra el
salto de la rana. Si vemos los valores de la tabla, la mayor altura
mostrada es de un metro cuando ha pasado un segundo.
Muchas situaciones son modeladas mediante una función que in-
volucra el cuadrado de una variable, como el caso del salto de la
rana. Este tipo de funciones son de la forma f(x) = ax2
+ bx + c, con
a distinto de cero; se denominan funciones cuadráticas y su gráfica
correspondiente es una curva llamada parábola, como la de la
figura. Observa.
t 0 0,5 1 1,5 2
h(t) 0 0,75 1 0,75 0
Rana de coro del Pacífico saltando en
una laguna.

Unidad
2
En resumen
• Una función cuadrática o de segundo grado tiene la forma:
f(x) = ax2
+ bx + c, con a, b y c 僆 IR y a 0.
• Su dominio es el conjunto de los números reales.
• Su gráfico corresponde a una curva llamada parábola.
1. Sea f (x) = x2
– x – 2, calcula los siguientes valores de la función:
a. f (0) d. 3 · f (5) – 5 · f (3) g. f(a) – f(b)
b. f (1) e. f(a – b) h. 2 · f(c) + 3 · f(c – 1)
c. f (–1) + f (5) f. f(a + b) i. f(c – 1) – f(1 – c)
2. Escribe como función la relación que existe entre:
a. el lado a de un cuadrado y su área A.
b. el radio r de un círculo y su área A.
c. la diagonal d de un cuadrado y su área A.
3. Escribe el área de un triángulo equilátero en función de su lado x. ¿Puede ser esta función negativa
para algún valor de x? Explica.
4. Una función como f (x) = (x – 3)2
, ¿puede ser negativa para algún valor de x?, ¿por qué?
5. Una función como f (x) = –3x2
, ¿puede ser negativa para algún valor de x?, ¿por qué?
Actividades
Veremos en esta Unidad que para toda función cuadrática podemos
graficar la parábola correspondiente y determinar su comporta-
miento a partir del análisis de los coeficientes de la función
f(x) = ax2
+ bx + c.
El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los números
reales, ya que para todo x 僆 IR, f(x) = ax2
+ bx + c 僆 IR, en cambio,
el recorrido no es el mismo en todas las funciones cuadráticas. Para
determinar este es necesario tener un mayor conocimiento de las
funciones cuadráticas y su respectiva gráfica.

60 | Unidad 2
Características de la gráfica de f(x) = x2
En cursos anteriores, conocimos la función afín cuya forma es
f(x) = mx + n, y la función lineal, ambas gráficas son una línea
recta. Ahora, conocemos una nueva: la función cuadrática dada
por f(x) = ax2
+ bx + c, cuya gráfica es una parábola.
Observa la tabla de valores de la función lineal g(x) = x y la función
cuadrática f(x) = x2
y sus gráficas respectivas.
Podemos darnos cuenta que las gráficas construidas no correspon-
den ambas a una recta. Es posible ver que la gráfica de la función
f (x) = x2
no es lineal, sino curva.
Analicemos...
• Si consideramos la función lineal g(x) = x, sabemos que es una
recta que pasa por el origen. Si evaluamos x en valores consecu-
tivos, los valores de y varían de modo constante. Pero, ¿qué pasa
con los valores de y en el caso de f (x) = x2
si x 1?, ¿y si x 1?
• ¿Cuánto valen las funciones en x = 1 y x = 0 respectivamente?,
¿por qué?
• ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función f(x) = x2
?
x –3 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3
g(x) = x –3 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3
f (x) = x2 9 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 9
• Función afín:
f (x) = mx + n
• Función lineal:
f (x) = mx
Donde m es la pendiente de la
recta y n el coeficiente de posición.
Recuerda que...
f(x) = x2
g(x) = x

Unidad
2
En resumen
La función cuadrática f(x) = x2
presenta las siguientes características:
• Su gráfica es una parábola con vértice en el origen.
• El dominio de la función es R, y el recorrido es R0
+
.
A medida que aumentamos el valor de x (x 1), los valores de y
en la función f(x) = x2
crecen cada vez más rápido en comparación
a g(x) = x, lo que podemos apreciar tanto en la tabla de valores
de ambas funciones como en la gráfica correspondiente a cada
una. Notemos que para un mismo valor de x, el valor de y en la
función cuadrática es mayor que el de la función lineal; esto se
debe a que para x 1, x2
x.
Por otro lado, para los valores de x en 0 x 1 se tiene que x2
x,
lo que podemos observar claramente, ya que la gráfica de la
parábola está bajo la recta; es decir, en este intervalo el valor de la
función f(x) = x2
es menor que la función g(x) = x.
En x = 1 podemos ver en la tabla que ambas funciones tienen el
mismo valor, al igual que en el gráfico; por lo tanto, el punto (1, 1)
es un punto de intersección de estas, al igual que el origen (0, 0).
El punto (0,0) de la parábola f(x) = x2
corresponde al vértice de la
parábola, y en este caso es el punto más bajo de la gráfica, o sea,
el menor valor posible. Además, divide la gráfica de la parábola
en dos ramas simétricas.
Como vimos anteriormente, el dominio de toda función cuadrática
es el conjunto de los números reales, y como para todo número
real x se tiene x2
≥ 0, entonces el recorrido de f(x) = x2
es el con-
junto de los números reales positivos y el cero, es decir R0
+
.
1. Haz una tabla de valores para f(x) = 2x2
con x entre –4 y 4, como en el texto, y compárala con
f(x) = x y f(x) = 2x. ¿Qué cambios ocurren? Traza, mediante los puntos de tu tabla, una gráfica
de esta función.
2. Determina si es verdadero o falso y justifica.
a. La gráfica de la función cuadrática f(x) = x2
es igual a la de una recta que crece hacia la derecha.
b. Las gráficas de la función valor absoluto y de la función cuadrática f(x) = x2
no tienen
características comunes.
Actividades

62 | Unidad 2
Forma canónica de funciones cuadráticas
Anteriormente vimos que la función f(x) = x2
corresponde a una
parábola con vértice en el origen; en este caso tenemos que ambos
gráficos corresponden a parábolas, pero trasladadas con respecto
a f(x) = x2
. Las representaciones gráficas son idénticas, esto se debe
a que corresponden a la misma función cuadrática, solo que está
escrita de formas diferentes. Observa.
g(x) = (x + 2)2
– 1
= x2
+ 4x + 4 –1
= x2
+ 4x + 3 = f(x)
Con lo que probamos que ambas funciones cuadráticas son la misma.
Si observamos la función f(x) = x2
+ 4x + 3, corresponde a una
parábola en su forma general, es decir, de la forma
f(x) = ax2
+ bx + c, donde a = 1; b = 4 y c = 3.
Para poder estudiar mejor el comportamiento de la parábola,
aprenderemos a escribir una función cuadrática de la forma en
que está g(x) = (x + 2)2
– 1, llamada forma canónica.
Observa las siguientes funciones y sus respectivos gráficos:
Analicemos...
• ¿Son ambas parábolas?, ¿por qué?
• ¿Qué diferencias hay en la representación gráfica de las dos
funciones cuadráticas?, ¿por qué?
f(x) = x2
+ 4x + 3 g(x) = (x + 2)2
– 1
Cuadrado de binomio:
(a ± b)2
= a2
± 2ab + b2
Recuerda que...
Desarrollando el cuadrado de binomio

Unidad
2
En resumen
• Toda función cuadrática de la forma f(x) = ax2
+ bx + c se puede escribir en su forma
canónica, es decir, de la forma f(x) = a(x – h)2
+ k.
1. Dadas las siguientes funciones cuadráticas:
f(x) = x2
+ 2x – 4 g(x) = 3x2
+ 24x + 1 h(x) = (x + 1)2
– 4 n (x) = 3(x + 4)2
– 47
Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Justifica.
a. f(x) = h(x) b. g(x) = h(x) c. g(x) = n(x)
2. Escribe las siguientes funciones cuadráticas en su forma f(x) = a(x – h)2
+ k, indicando en cada caso
el valor de a, h y k.
a. x2
– 6x + 19 c. 2x2
– 4x + 7 e. 3x2
– 24x + 28
b. x2
+ 5x – 7 d. –2x2
+ 12x – 3 f. –5x2
– 20x – 14
Actividades
Toda función cuadrática de la forma f(x) = ax2
+ bx + c puede ser
escrita en su forma canónica f(x) = a(x – h)2
+ k por medio del
método de completación de cuadrados. Observa.
f(x) = ax2
+ bx + c
Si llamamos y , tendremos que para todos a,
b y c con a distinto de cero, existen h y k tales que
f(x) = ax2
+ bx + c = a(x – h)2
+ k
Ejemplo
Si queremos escribir la función f(x) = 3x2
+ 30x + 71 en su forma
canónica, tendremos:
f(x) = 3x2
+ 30x + 71 = 3(x2
+ 10x) + 71
= 3[(x + 5)2
– 25] + 71 = 3(x + 5)2
– 75 + 71
= 3(x + 5)2
– 4
Luego, la función escrita en forma canónica será f(x) = 3(x + 5)2
– 4.
k
b ac
a
–
–
=
4
4
2
h
b
a

–
=
2
= a x
b
a
x c
2
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + = a x
b
a
b
a
c
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+
2 4
2 2
2
= a x
b
a
b
a
c a x
b
a
b
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ − + = +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2 4 2
2 2 2 2
–
– 4
4
ac
a

Dilatación y contracción de la parábola
Observa el gráfico de las funciones cuadráticas f(x) = ax2
para los
distintos valores de a.
Ambos gráficos corresponden a parábolas con vértice en el origen,
es decir, en el punto (0, 0).
En el caso del gráfico 1, tenemos que si a 0 y (x, x2
) es un punto
de la gráfica de f(x) = x2
, entonces (x, ax2
) es un punto de la grá-
fica de f(x) = ax2
, luego ambas coordenadas, x2
y ax2
, son positivas
o cero, por lo que las dos parábolas se abren hacia arriba.
En cambio, si a 0 las coordenadas x2
y ax2
tienen distinto signo,
obtenemos que la gráfica de f(x) = ax2
es una parábola que se
abre hacia abajo.
Podemos darnos cuenta también, a partir de ambos gráficos, que
a medida que el valor de a se acerca a 0, la parábola es cada vez
más abierta, o sea, se dilata, y mientras a se aleja de 0, la parábola
es más cerrada, es decir, se contrae.
64 | Unidad 2
Analicemos...
• ¿Cuál es la principal diferencia entre las parábolas de los gráfi-
cos 1 y 2? Explica.
• En el gráfico 1, ¿qué comparación surge entre la gráfica de
g1
(x) = x2
y la de las funciones restantes?
• En el gráfico 2, ¿qué comparación surge entre la gráfica de
g2
(x) = –x2
y la de las funciones restantes?
• ¿Por qué ocurre que para dos valores distintos de x, el valor de
la función f(x) = ax2
es el mismo? Explica.
f1
(x) = 2x2
g1
(x)= x2
h1
(x) = 0,6x2
t1
(x) = 0,5x2
f2
(x) = –2x2
g2
(x)= –x2
h2
(x) = –0,6x2
t2
(x) = –0,5x
Gráfico 1 Gráfico 2

Observamos que si a 0, la parábola que representa
f(x) = –ax2
es una reflexión en torno al eje X de la
parábola de f(x) = ax2
, también vemos que los valores
de la función se repiten a cada lado del eje Y; esto
ocurre porque para cualquier a, x número real se
cumple a(–x)2
= ax2
.
Unidad
2
En resumen
En una función de la forma f(x) = ax2
:
• Si a 0, la parábola se abre hacia arriba, mientras que si a 0, se abre hacia abajo.
• Si |a| 1, la gráfica de la función f(x) se abre con respecto a la de la función f(x) = x2
(hay dilatación con respecto a f(x) = x2
).
• Si |a| 1, la gráfica de la función se cierra con respecto a la de la función f(x) = x2
(hay contracción con respecto a f(x) = x2
).
• Si a 0, la gráfica de la función f(x) = –ax2
es una reflexión de la función f(x) = ax2
en torno al eje X.
1. Construye un gráfico aproximado para las siguientes funciones cuadráticas, indicando si hay dilatación
o contracción con respecto a f(x) = x2
.
a. f(x) = 2x2
b. f(x) = –0,1x2
c. f(x) = –2x2
d. f(x) = 0,5x2
2. Una empresa multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en dólares están dados por
la función f(x) = 28x2
+ 36 000x, mientras que sus gastos (también en la misma moneda) pueden
calcularse mediante la función g(x) = 44x2
+ 12 000x + 700 000, donde x representa la cantidad
de unidades vendidas.
a. Determina la función utilidad de la empresa. Explica cómo lo hiciste.
b. ¿Cuánto es la utilidad si ha vendido mil unidades? Explica.
c. ¿Cuál de estas funciones es una contracción con respecto a f(x) = x2
?
Actividades

66 | Unidad 2
Desplazamientos de la parábola
Vimos qué ocurre al variar el valor de a en la función
f(x) = ax2
+ bx + c, cómo varía el gráfico de la parábola asociada
a la función. Observa ahora las gráficas para las funciones de la
forma f(x) = x2
+ c, es decir, cuando a = 1 y b = 0.
La diferencia en la representaciones gráficas es que la parábola
f(x) = x2
+ 3 está desplazada tres unidades verticalmente hacia
arriba con respecto a g(x) = x2
, y el gráfico de h(x) = x2
– 4 está
desplazado cuatro unidades hacia abajo con respecto a g(x) = x2
;
por lo tanto, el gráfico de f(x) = x2
+ 10 corresponderá a la parábola
g(x) = x2
desplazada en diez unidades verticalmente hacia arriba.
La representación gráfica de una función de la forma f(x) = x2
+ c
corresponde a un desplazamiento de g(x) = x2
verticalmente en
|c| unidades, hacia arriba en el caso que c 0, y hacia abajo en el
caso que c 0.
Analicemos...
• ¿En qué se parecen los gráficos de g(x) = x2
y las funciones
restantes?, ¿en qué se diferencian?
• ¿Hacia dónde se movería la función f(x) = x2
+ 10?,
¿y f(x) = x2
+ c?
El módulo de x se define como:
I x I = x para x 0
o
I x I = –x para x 0
Recuerda que...
f(x) = x2
+ 3
g(x) = x2
h(x) = x2
– 4

Unidad
2
Esto se debe a que los puntos del gráfico de la función cuadrática
f(x) = x2
+ c son de la forma (x, x2
+ c); es decir, solo se modifica la
ordenada de los puntos (x, x2
) de la gráfica de la función f(x) = x2
.
Observa ahora el gráfico de las funciones f(x) = x2
; g(x) = (x – 3)2
y h(x) = (x + 2)2
.
¿Cuál crees que es la parábola correspondiente a g(x) = (x – 3)2
?,
¿y a h(x) = (x + 2)2
?, ¿por qué?
La representación gráfica de f(x) = x2
la conocemos y tiene vér-
tice (0, 0).
Podemos observar que la única diferencia entre las parábolas en el
gráfico es que g(x) = (x – 3)2
y h(x) = (x + 2)2
corresponden a un des-
plazamiento horizontal de la función f(x) = x2
; la primera en tres
unidades a la derecha, y la segunda en dos a la izquierda.
Observa que si (p, p2
) es un punto de la gráfica de f(x) = x2
, en-
tonces (p + 3, p2
) es uno de la gráfica de g(x) = (x – 3)2
, ya que
([p + 3] – 3)2
= p2
. Entonces, la gráfica de g(x) = (x – 3)2
está des-
plazada respecto de la gráfica de x2
. El punto (p + 3, p2
) está tres
unidades a la derecha de (p, p2
), así la gráfica de g(x) = (x – 3)2
, es
un desplazamiento de la gráfica de f(x) = x2
en tres unidades a
la derecha.

68 | Unidad 2
Teniendo en cuenta ahora tanto los desplazamientos verticales
como horizontales de la representación gráfica de una función
cuadrática, realizaremos un gráfico estimado de la función
f(x) = (x – 3)2
– 5.
Este será una parábola que se abre hacia arriba, obtenida a partir
de la gráfica de f(x) = x2
, desplazándola tres unidades a la derecha
y cinco hacia abajo.
Observa.
En resumen
• Para cualquier valor de c, positivo o negativo, la función cuadrática f(x) = x2
+ c tiene por
gráfica una parábola que corresponde a desplazar verticalmente la parábola f(x) = x2
en I c I
unidades, hacia arriba si c 0, y hacia abajo si c 0.
• Para desplazar una función f(x) horizontalmente en h unidades, debemos considerar la
función f (x + h); el sentido del desplazamiento dependerá del signo de h.
• Si h 0, f(x) se desplazará h unidades hacia la izquierda.
• Si h 0, f(x) se desplazará h unidades hacia la derecha.
f(x) = (x – 3)2
– 5

Unidad
2
Si ahora tenemos la función cuadrática f(x) = –2(x – 4)2
+ 1, podemos
construir un gráfico estimado a partir de f(x) = –2x2
, desplazando
la parábola correspondiente cuatro unidades a la derecha y una
hacia arriba. Observa.
1. A partir del gráfico de f(x) = x2
, realiza la representación gráfica aproximada de las siguientes
funciones cuadráticas. Indica, paso a paso, cómo lo hiciste en cada caso.
a. f(x) = – x2
e. f(x) = x2
– i. f(x) = (x – 1)2
+ 3
b. f(x) = –x2
+ 12 f. f(x) = –x2
– 10 j. f(x) = –x2
+ 12x – 2
c. f(x) = –5 + x2
g. f(x) = x2
– 3 k. f(x) = 2 – 3x – x2
d. f(x) = x2
– 8 h. f(x) = –(x – 2)2
l. f(x) = x2
+ x + 1
2. Construye funciones cuadráticas que correspondan al desplazamiento en tres unidades a la derecha
de las siguientes funciones:
a. g(x) = x2
– 4x + 4 c. g(x) = x2
+ 6x + 6
b. g(x) = –x2
+ 3x – 5 d. g(x) = 2 – 5x – x2
2
3
2
Actividades
f(x) = –2(x – 4)2
+ 1
f(x) = –2x2

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