Sudut Pada Bidang Ruang Geometri

1. NAMA : LINDA ROSALINA (06081181419014)
TUGAS MANDIRI
DIKTAT GEOMETRI HALAMAN 82-83 NO 1-5
1. Pada kubus ABCD.EFGH, hitunglah sudut antara garis BG dengan bidang ACGE dan BA
dengan bidang ACGE.
Pembahasan:
Misal: panjang rusuk kubus ABCD.EFGH =𝑎
A. Sudutantara garis BG denganbidangACGE.
 Dari gambar terlihatjikaSudutyangterbentuk antaragarisBG denganbidangACGE
adalahÐ 𝐵𝐺𝑂.
 𝐵𝐺 = 𝑎√2 𝑐𝑚
 𝐵𝑂 = ½𝐵𝐷
= ½. 𝑎√2
=
𝑎
2
√2 𝑐𝑚
 ∆𝐵𝑂𝐺 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑖 𝑂
𝑆𝑖𝑛 Ð 𝐵𝐺𝑂 =
𝐵𝑂̅̅̅̅
𝐵𝐺̅̅̅̅
𝑆𝑖𝑛 ∝=
𝑎
2 √2
𝑎√2
𝑆𝑖𝑛 ∝=
1
2
∝= 30°
Jadi,besarÐ 𝐵𝐺𝑂 = 30°
H G
E
C
B
A
F
D
E
GH
C
B
A
O
D
F
G
B
O

2. B. Sudutantara garis BA denganbidangACGE.
 Dari gambar terlihatjikaSudutyangterbentuk antaragarisBA denganbidangACGE
adalahÐ 𝑂𝐴𝐵
 𝐴𝐶 = 𝑎√2 𝑐𝑚
 𝐴𝑂 = ½𝐴𝐶
= ½. 𝑎√2
=
𝑎
2
√2 𝑐𝑚
 ∆𝐴𝑂𝐵 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑖 𝑂
𝑆𝑖𝑛 Ð 𝑂𝐴𝐵 =
𝐵𝑂̅̅̅̅
𝐴𝐵̅̅̅̅
𝑆𝑖𝑛 ∝=
𝑎
2 √2
𝑎
𝑆𝑖𝑛 ∝=
1
2
√2
∝= 45°
Jadi,besarÐ 𝑂𝐴𝐵 = 45°
2. P.ABCD merupakan limas beraturan. Panjang sisi persegi adalah 2 𝑐𝑚 dan panjang rusuk
tegakPA adalah √3 𝑐𝑚. Jika 𝛼 adalahsudutantara bidangPABdanbidangPCD. Hitungsin 𝛼.
Pembahasan:
 Dari gambar terlihatjikaSudutyangterbentuk antaraantarabidangPABdan bidangPCD
adalahÐ 𝑄𝑃𝑅
 AQ=
1
2
𝐴𝐵 = 1
Q
R
P
Q
P’
P’
RD C
B
P
A
P
D C
E
B
C
GH
C
A
B
H G
E
A
F
O
D D
F
A
B
O
BA
𝛼
𝜃

3.  Lihat ∆𝑃𝑄𝐴, 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑖 𝑄
𝑃𝑄̅̅̅̅ = √ 𝑃𝐴2̅̅̅̅̅− 𝐴𝑄2̅̅̅̅̅̅
𝑃𝑄̅̅̅̅ = √(√3)2 − (1)2
𝑃𝑄̅̅̅̅ = √3 − 1
𝑃𝑄̅̅̅̅ = √2𝑐𝑚
 QP’=
1
2
. 𝐴𝐵 =
1
2
.2 = 1
 Ð 𝑄𝑃𝑃′ = 𝜃
sin 𝑄𝑃𝑃′ =
𝑄𝑃′
𝑄𝑃
sin 𝜃 =
1
√2
θ = 45°
Ð 𝑄𝑃𝑃′ = Ð 𝑅𝑃𝑃′ = 𝜃 = 45°
 Ð 𝑄𝑃𝑅 = 2𝜃 = 2.45° = 90°
𝑚𝑎𝑘𝑎: Ð 𝑄𝑃𝑅 = 𝛼 = 90°
 sin 𝛼 = sin 90° = 1
Jadi,nial sin 𝛼 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 1.
Q
P
A
𝜃
𝛼
𝜃
P
RQ
P’
θ
Q
P
A

4. 3. Diketahui kubusABCD.EFGHdenganrusuk4.TitikT padaperpanjanganCG sehinggaCG=GT.
Jikasudutantara TC danbidangBDT adalah 𝛼, maka tan 𝛼 = ⋯
Pembahasan:
 Dari gambar terlihatjikaSudutyangterbentuk antaragarisTC denganbidangBDT
adalahÐ 𝑂𝑇𝐶
 CT=GT=4 𝑐𝑚
 TC=2CT=8𝑐𝑚
 BD=4√2
 OC=
1
2
. 𝐵𝐷 = 2√2
 Lihat ∆𝑇𝐶𝑂, 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑖 𝐶.
Ð OTC = 𝛼
tan 𝛼 =
𝑂𝐶
𝑇𝐶
tan 𝛼 =
2√2
8
tan 𝛼 =
1
4
√2
H G
E
C
BA
T
4 cm
8 cm
D
F
A B
C
A
D
E
H
T
G
F
O
CO
T
CO
T
D
F

5. 4. Pada bidangempatT.ABC,bidangalasABCmerupakansama sisi,TA tegaklurus pada bidang
alas, panjang TA sama dengan 1 dan besar sudut TBA adalah 30°. Jika 𝛼 adalh sudut antara
bidang TBC dengan alas,maka tan 𝛼 = . ..
Pembahasan:
 Dari gambar terlihat jika Sudut yang terbentuk antara bidangTBC dengan bidang
ABC(alas) adalah Ð 𝑇𝑂𝐴
 Bidang alas ABCmerupakansama sisi.
 TA bidangalas.TA=1, Ð TBA = 30°.
 Lihat ∆𝑇𝐴𝐵, 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑖 𝐴.
Ð TBA = 30°
𝑚𝑎𝑘𝑎 tan 30° =
𝑇𝐴
𝐴𝐵
1
√3
=
1
𝐴𝐵
𝐴𝐵 = √3
 Lihat ∆𝐴𝑂𝐵, 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑖 𝑂.
𝐵𝑂 =
1
2
𝐴𝐵 =
1
2
.√3 =
1
2
√3
𝐴𝑂 = √𝐴𝐵2 − 𝐵𝑂2
𝐴𝑂 = √(√3)2 − (
1
2
√3)2
𝐴𝑂 = √3 −
3
4
𝐴𝑂 = √
9
4
𝐴𝑂 =
3
2
 Lihat ∆𝑇𝐴𝑂, 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑖 𝐴
Ð 𝑇𝑂𝐴 = 𝛼
tan 𝛼 =
𝑇𝐴
𝐴𝑂
tan 𝛼 =
1
3
2
tan 𝛼 =
2
3
1
30°
T
3
2
BA
30°
C
B
A
T
O
30°
C
B
A
T
𝜶
T
A O
𝜶
T
A O
𝜶
A
O B
√3
1
3
2

6. 5. Diketahui bidangempat T.ABC.TA segitiga=TB=5,TC=2,CA=CB=4,AB=6. Jika 𝛼 sudutantara
TC dan bidangTAB,maka 𝑐𝑜𝑠𝛼 = ⋯
Pembahasan
 𝐷𝑖𝑘:
𝑇𝐴 = 𝑇𝐵 = 5𝑐𝑚
𝑇𝐶 = 2𝑐𝑚
𝐴𝐵 = 6𝑐𝑚
𝐶𝐴 = 𝐶𝐵 = 4 𝑐𝑚
 AO=BO=
1
2
𝐴𝐵 =
1
2
. 6 = 3
Lihat ∆𝑇𝑂𝐴, 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑖 𝑂.
𝑇𝑂 = √ 𝑇𝐴2 − 𝐴𝑂2
𝑇𝑂 = √52 − 32
𝑇𝑂 = √25 − 9
𝑇𝑂 = √16
𝑇𝑂 = 4 𝑐𝑚
 Lihat ∆𝐴𝑂𝐶, 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑖 𝑂.
𝐶𝑂 = √ 𝐶𝐴2 − 𝐴𝑂2
𝐶𝑂 = √42 − 32
𝐶𝑂 = √16 − 9
𝐶𝑂 = √7 𝑐𝑚
 Lihat ∆𝐶𝑇𝑂
Ð 𝐶𝑇𝑂 = 𝛼
cos 𝛼 =
𝑇𝐶2 + 𝑇𝑂2 − 𝐶𝑂2
2. 𝑇𝑂. 𝑇𝐶
cos 𝛼 =
22 + 42 − √7
2
2.4.2
cos 𝛼 =
4 + 16 − 7
16
cos 𝛼 =
13
16
Jadi,nilai 𝑐𝑜𝑠𝛼 dari sudutyangterbentukantaraTC dan bidangTAB adalah
13
16
.
C
B
6
A
T
𝛼
C
B
A
O
T
TAMPAKSAMPING