El documento describe los conceptos básicos de los sistemas de colas, incluyendo las características de las llegadas de clientes, los tiempos de servicio, los componentes de un sistema de colas como las colas, los servidores y la disciplina de servicio, y los modelos matemáticos utilizados para analizar los sistemas de colas.

1. FENOMENOS DE ESPERA Elaborado por: Liliana Michelle Ferreira

2. ¿Qué tienen en común las siguientes situaciones? Barcos que esperan ser atendidos en un puerto Automóviles que esperan para pagar en un peaje Clientes que esperan su pago en el banco Aviones que esperan para despegar de un aeropuerto > > > >

3. LA ESPERA ¿Cuando ocurre? Este fenómeno ocurre siempre que la demanda actual de un servicio excede a la capacidad actual de proporcionarlo

4. La manifestación de la espera es el resultado directo de la aleatoriedad en la operación en instalaciones de servicio Cuánto tiempo será necesario para dar servicio Muchas veces es imposible predecir con exactitud Cuándo llegarán las unidades que buscan el servicio y/o

5. Proporcionar demasiado servicio COSTOS DE SERVICIO Carecer de la capacidad de servicio suficiente COLAS INACTIVDAD Costo de espera : Es el costo para el cliente al esperar Costo de servicio : Es el costo de operación del servicio brindado COSTOS DE ESPERA

6. Por tanto, la meta principal es: Lograr un balance económico entre el costo de servicio y el costo asociado con la espera por ese servici o

7. Con el estudio de los sistemas de colas se busca: Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo. Definir cual debe ser la mejor configuración de tal forma que se minimice el costo de operación del sistema Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio > > >

8. Tras este estudio, es posible obtener diferentes medidas que permiten analizar el comportamiento de un sistema de colas: Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema y la distribución de frecuencia del tiempo de permanencia en el sistema. Utilización de las estaciones de servicio. Número medio de unidades en el sistema y distribución del número de unidades del sistema. Tiempo medio que permanece una unidad en cada una de las colas y su distribución. Número medio de unidades en cada una de las colas y su distribución. Tiempo de inactividad de las estaciones de servicio, o porcentaje de utilización > > > > > >

9. Estructura Llegadas Cola Instalación del servicio Disciplina de la cola Salidas Modelo Básico de un Sistema de Colas

10. Estructura Modelo de un Sistema de Colas con una línea y un servidor Llegadas Sistema de colas Cola Servidor Salidas

11. Estructura Modelo de un Sistema de Colas una línea y múltiples servidores Llegadas Sistema de colas Cola Servidor Salidas Servidor Servidor Salidas Salidas

12. Estructura Llegadas Sistema de colas Cola Servidor Salidas Servidor Servidor Salidas Salidas Cola Cola Modelo de un Sistema de Colas varias líneas y múltiples servidores

13. Estructura Llegadas Cola Servidor Salidas Cola Servidor Modelo de un Sistema de Colas una línea y servidores secuenciales

14. Componentes Llegada de clientes Tamaño de la Población de Clientes: número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento. Población Finita : grupo de clientes de tamaño limitado, que pueden requerir servicio en determinado momento. Población Infinita : es aquella lo bastante grande con relación al sistema de servicio como para que el cambio de tamaño, ocasionado por sustracciones o adiciones a la población, no afecte significativamente las probabilidades del sistema. > > Un Cliente es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Tiempo entre Llegadas: tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas .

15. Componentes Llegada de clientes Tiempo entre Llegadas: tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas . Tasa Media de Llegadas : número esperado de llegadas por unidad de tiempo. Tiempo esperado entre llegadas : 1/  . Ejemplo: si la tasa media de llegadas es  = 20 clientes por hora. Entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/  = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos

16. Componentes Llegada de clientes Llegadas poissonianas : según las cuales el número de clientes que llegan a requerir servicio es un proceso de Poisson, o equivalentemente, el tiempo entre llegadas de clientes sucesivos es exponencial. Llegadas no estacionarias : Se presenta cuando la tasa de llegada no es constante, sino que depende del instante de tiempo considerado Tipos de Llegadas: Llegadas regulares, a intervalos constantes. Llegadas en grupo. Llegadas regulares con impuntualidad. Llegadas en tiempos discretos. Llegadas que siguen una distribución general. > > > > > > >

17. Componentes Consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales de servicio. Mecanismo de Servicios Canal: Hace referencia al número de servidores o estaciones que prestan el servicio. Configuración de las estaciones de servicio : éstas pueden estar en paralelo , cuando todas prestan el mismo servicio, y una unidad pasa solamente por una estación; o en serie , cuando una unidad debe pasar por todas las estaciones. Duración del servicio : tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una instalación. > > >

18. Componentes Disciplina de la Cola Es el modo u orden en el que los clientes son seleccionados para ser servidos FIFO o PEPS ( F irst I n, F irst O ut o P rimero en E ntrar, P rimero en S alir) . La primera unidad que llega, será la primera en ser atendida. LIFO o UEPS ( L ast I n, L ast O ut o Ú ltimos en E ntrar, P rimeros en S alir) . Los últimos clientes en llegar, serán los primeros en ser atendidos. SIRO o SOA ( S ervice I n Random O rder o S ervicio en O rden A leatorio ) . Selecciona a los clientes de forma aleatoria. Selección de acuerdo con la importancia o prioridad del cliente. > > > >

19. Componentes Filas o Líneas de Espera Longitud . Número máximo de unidades que pueden esperar en frente de una estación. Número de filas . Cuando hay varias estaciones en paralelo puede existir una fila única que alimente todas las estaciones o puede existir una cola para cada estación . Además, en, cada unidad que llega puede escoger la cola en la cual esperará. Cuando las estaciones que prestan el servicio están ordenadas en serie, debe existir una cola para cada estación . Disciplina de la Fila . Indica el método para determinar el orden de servicio a los clientes que aguardan en la fila > > >

20. Las características de los sistemas de colas están determinadas por: Distribución de los tiempos entre llegadas Distribución de los tiempos de servicio Distribución Exponencial Distribución de Poisson Distribución Exponencial Distribución Erlang

22. Condiciones necesarias para la existencia del proceso de llegada Poisson Continuidad : Al menos un cliente debe llegar a la cola durante un intervalo de tiempo . Estacionario : Para un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de tiempo de la misma longitud. Independencia : La llegada de un cliente no tiene influencia sobre la llegada de otro.

23. Ejemplo de Distribución de Poisson La tienda JB Sports, está abierto 14 Horas al día y en el último mes ha promediado 20 clientes diarios en caja. ¿Qué probabilidad hay de que en la siguiente hora llegue un cliente exactamente? ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen 2? La media (λ) de clientes por hora es de 20/ 14 = 1,4285 . Entonces tenemos n=1 (1 cliente), n=2 (2 clientes). =.3424 = 34.24% =. 2445 = 24.45% Llegadas P X k e k !     t) k t ( ) (  P 1 e 1 !   ) 1 ( ) (  P 2 e 2!   ) 2 ( ) ( 

24. Distribución Exponencial Servicios donde : m = es el número de clientes promedio que pueden ser atendidos por período de tiempo Posee un parámetro de forma k que determina su desviación estándar: Distribución de Kerlang Si k = 1, entonces la distribución Erlang es igual a la exponencial Si k = ∞, entonces la distribución Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos constantes La forma de la distribución Erlang varía de acuerdo con k

25. Modelo de Colas Existe una clasificación estándar para identificar los modelos de colas, según sus características o propiedades, introducida en 1953 por el investigador británico D. Kendall . Los modelos se identifican mediante la siguiente convención, en letras: a b c : d e f a : Distribución de tiempo entre llegadas b : Distribución de tiempos de servicio c : Número de servidores d : Disciplina del Servicio e : Numero máximo de clientes que pueden estar en el sistema f : Fuente de Generación de Clientes / / / /

26. En los parámetros a y b ( distribución del tiempo entre llegadas y del tiempo se servicio ) se emplea la siguiente convención: M: Llegada con distribución Poisson y Servicio Exponencial D: Llegada o Servicio Deterministico E: Llegadas y Servicios con Distribución Erlang y Gamma GI: Llegadas con una distribución general independiente G: Servicios con una distribucion general independiente En d se emplea la siguiente convención: FIFO o PEPS ( F irst I n, F irst O ut o P rimero en E ntrar, P rimero en S alir) LIFO o UEPS ( L ast I n, L ast O ut o Ú ltimos en E ntrar, P rimeros en S alir). SIRO o SOA ( S ervice I n Random O rder o S ervicio en O rden A leatorio ). En e y f los valores puede ser un entero finito o infinito

27. M/M/5: (FIFO/∞/∞) Sistema de colas con tiempo entre llegadas exponencial, tiempo de servicio exponencial, 5 servidores, disciplina de servicio FIFO, con un máximo infinito de clientes y una fuente de generación infinita. M/M/1: (FIFO/10/∞) Sistema de colas con tiempo entre llegadas exponencial, tiempo de servicio exponencial, 1 servidor, disciplina de servicio FIFO, con un máximo de 10 clientes y una fuente de generación infinita. M/G/1 Sistema de colas con tiempo entre llegadas exponencial, tiempo de servicio con distribución general y 1 servidor. M/ M/2 Sistema de colas con tiempo entre llegadas exponencial, tiempo de servicio exponencial y 2 servidores. EJEMPLOS