Ejemplos y explicaciones acerca del proceso de solución de problemas de razonamiento mediante sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Método Gráfico.

1. MATEMÁTICAS
2014
Capítulo 2
ÁLGEBRA
G. EDGAR MATA ORTIZ
http://licmata-math.blogspot.mx/
https://sites.google.com/site/licmataalgebra/

2. Matemáticas
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Página 30
Algunos materiales de referencia.
CONTENIDO:
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
31
Los métodos de solución
31
Ejemplo 1. Punto de equilibrio
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Problemas de razonamiento: Dos ecuaciones con dos incógnitas
32
Uso del formato F4
32
Ejemplo de llenado de formato F4
33
Método Gráfico
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Comprobar el resultado
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Ejercicios.
35
“Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay una pizca de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Tu problema puede ser modesto, pero si es un reto a tu curiosidad y trae a juego tus facultades inventivas, y si lo resuelves por tus propios medios, puedes experimentar la tensión y disfrutar del triunfo del descubrimiento”
George Polya

3. Matemáticas
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Página 31
Sistemas de dos ecuaciones con dos inco gnitas.
En algunos problemas es necesario, o al menos conveniente, utilizar dos ecuacio- nes con dos incógnitas para su planteamiento y resolución.
La resolución de estos sistemas de 2 ecuaciones con dos incógnitas requiere el uso de métodos especialmente diseñados para esta situación.
Los me todos de solucio n.
Los métodos que se estudiarán en esta sección son cuatro.
1. Método Gráfico
Métodos algebraicos:
2. Método de Reducción o suma y resta
3. Método de Sustitución
4. Método de Igualación
En primer lugar es conveniente recordar que las ecuaciones surgen de problemas prácticos. Vamos a comen- zar con el método gráfico.
Completa la información faltante en el siguiente problema desde su planteamiento hasta su solución por el método gráfico.
1. 1. La fábrica de playeras “Leticia Levi’s” tiene costos fijos de $17000 por mes y el costo unitario de fabri- cación es de $100. El precio de venta de las playeras es de $120 la pieza. Encuentra las ecuaciones de cos- to, de ingreso y de ganancia para esta fábrica, determina las ganancias mensuales si se venden 1200 pie- zas y encuentra el punto de equilibrio, es decir, la cantidad de piezas que se deben fabricar y vender para que no haya pérdidas ni ganancias.
* Para simplificar el modelo, se supondrá que todas las piezas fabricadas, se venden
La ecuación de costo o función de costo se determina sumando el costo fijo más el costo variable, debe- mos tener en cuenta que el costo variable depende del número de piezas que se fabriquen, este número de piezas será la incógnita equis (x). El costo total se puede representar como CT.
EL ingreso depende simplemente del número de piezas vendidas, se puede representar como I.
La ganancia obtenida es la diferencia entre el ingreso y el costo total. La representaremos como G.
Los métodos de solución.
Los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas pueden ser resueltos por diferentes méto- dos.
Con excepción del método grá- fico, en todos los casos se trata de eliminar una de las incógni- tas y resolver una ecuación de primer grado con una incógnita.
Dependiendo del artificio que se emplea para eliminar una de las incógnitas, es el nombre que recibe el método: reducción, sustitución o igualación.

4. Matemáticas
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Página 32
Vamos a utilizar la tabla que hemos empleado para plantear y resolver problemas con una incógnita, ajustan- do la forma en lo llenamos al incluir ahora dos incógnitas.
La ganancia no se incluirá en la tabla porque no afecta al proceso de solución del problema, cuando se re- quiera calcularla se restará: Ingresos—Costo total.
Una vez entendido el problema se configura un plan; en nuestro caso el plan consiste en encontrar dos ecua- ciones de primer grado con dos incógnitas que representan las condiciones del problema.
El siguiente paso, consistente en la resolución del sistema de ecuaciones obtenido, a diferencia de la resolu- ción de una ecuación con una incógnita, requiere de espacio adicional, ya que vamos a tabular y graficar las dos rectas.
El formato que se utilizará para la resolución de estos problemas será el formato F4, que contiene el espacio necesario para llevar a cabo todo el procedimiento.
Paso 1. Entender el problema: Identificar las cantidades desconocidas, elegir las que se tomarán como in- cógnitas y establecer las relaciones necesarias para representarlas algebraicamente.
Cantidad desconocida
Información disponible
Expresarla en lenguaje algebraico
Piezas producidas
Incógnita
x
Piezas vendidas
Se supone que se venden todas las piezas fabricadas
x
Ingresos
Incógnita
y
Costo total
En el punto de equilibrio, el costo total es igual a los ingresos
y
Paso 2. Configurar plan: Determinar el proceso para obtener la ecuación y anotarla.
Explicar de dónde se obtendrán las ecuaciones
Ecuaciones
El ingreso se obtiene multiplicando el número de piezas fabri- cadas por el precio de venta ($120)
Ingreso = Número de piezas vendidas por 120
EL costo total se obtiene sumando el costo fijo y el costo variable. El costo variable se determina multiplicando el número de piezas fabricadas por el costo unitario.
Costo total = Costo fijo + Número de piezas fabricadas multiplicadas por costo unitario
y = 120x
y = _____________________

5. Matemáticas
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Página 33
Todavía dentro del paso 3, vamos a trazar las gráficas de las dos rectas sobre el mismo plano cartesiano. Es importante observar los valores de (x, y) de las tablas anteriores para determinar la escala apropiada, es de- cir, cuánto vale cada división.
Observa en la gráfica el punto de intersec- ción de las rectas.
Ese es el punto de equilibrio (PE).
Las coordenadas de ese punto represen- tan la solución del problema.
¿Cuál es el punto de equilibrio en este ca- so?
x = _____________
y = _____________
¿Cuánto es la ganan- cia cuando se fabrican y venden 1200 playe- ras?
Señálalo también este punto en la gráfica.
Paso 3. Ejecutar el plan: Resolver el sistema de ecuaciones
En el método gráfico es necesario tabular, por lo que, si no se encuentra despejada, es necesario despejar y.
Ecuación 1: y = ___________________________
Ecuación 2: y = ____________________________
x
y
x
y

6. Matemáticas
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Comprobacio n de la solucio n.
Al obtener la solución a simple vista, es fácil introducir algún error, por ello, es necesario efectuar la compro- bación sustituyendo los valores de x, y que se determinaron, en las dos ecuaciones.
Si la comprobación arroja un error del 2% o 3% se considera aceptable, en caso contrario debemos ajustar los valores de la solución hasta reducir el error al mínimo posible.
Una vez que comprobamos que la solución es correcta, debemos efectuar el último paso.
Este proceso contiene toda la información necesaria para evidenciar el proceso que se sigue para plantear y resolver problemas mediante sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Con la finalidad de lograr mayor claridad en la presentación de resultados utilizaremos el formato F4 que se encuentra en la siguiente dirección:
http://licmata-math.blogspot.mx/2014/10/learn-to-solve-word-problems-like_11.html
Paso 3. Comprobación de la solución encontrada
Comprobación en la ecuación 1.
Comprobación en la ecuación 2.
Paso 4. Interpretar los valores de las incógnitas, escribir la respuesta y verificar que cumple con las condi- ciones indicadas.
x  número de playeras que se van a fabricar y vender para alcanzar el PE = ____________________
y  Ingresos alcanzados en el PE = ____________________
y  Costos totales en los que se incurre para alcanzar el PE = ____________________
¿Ambos valores, ingresos y costos, son aproximadamente iguales? ______
¿Cuál es el valor de la ganancia cuando se fabrican y venden 1200 playeras? _________________

7. Matemáticas
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Utiliza el formato F4 para resolver los siguientes problemas de razonamiento. Utiliza sistemas de ecuacio- nes lineales con dos incógnitas y resuélvelos por el método gráfico.
1. En la fábrica de radiadores “Mario Anselmo” se ha determinado que las ventas de radiadores serán de 900 unidades el próximo mes. El precio de venta por unidad es de $1,650. Los costos fijos ascienden a $750,000 y los variables son de $990 por pieza. ¿Habrá pérdidas o ganancias el próximo mes? ¿Cuál es el número de piezas mínimo que se debe vender para que no haya pérdidas ni ganancias? Si las ventas aumentan 200 unidades por mes ¿en cuántos meses la ganancia será mayor o igual a $1’000,000?
2. El gerente de ingeniería propone llevar a cabo una mejora en el proceso de fabricación de los radiado- res “Mario Anselmo”. Esta mejora reducirá el costo variable a $900 por pieza, pero a costa de elevar los costos fijos a $900,000 por mes. Resuelve nuevamente el problema considerando que los demás datos permanecen constantes y determina si la propuesta del gerente es conveniente o no para la empresa. Argumenta claramente tu respuesta.
3. El gerente de producción propone llevar a cabo una mejora en el proceso de fabricación de las playeras “Leticia Levi’s”. Esta mejor reducirá el costo variable a $85 por pieza, pe- ro elevará los costos fijos a $20,000 por mes. Resuelve nuevamente el problema de las playeras considerando que los demás datos permanecen constantes y determina si la propuesta del gerente es conveniente o no para el empresa. Argumenta claramente tu respuesta.
4. En la fabrica de impresoras “Ana Sofía” se ha determinado que las ventas de impre- soras láser a color serán de 1700 unidades el próximo mes. El precio de venta por unidad es de $3,970. Los costos fijos ascienden a $1’860,000 y los variables son de $2,720 por pieza. ¿Habrá pérdidas o ganancias el próximo mes? ¿Cuál es el número de piezas mínimo que se debe vender para que no haya pérdidas ni ganancias? Si las ventas aumentan 200 unidades por mes ¿en cuántos meses la ganancia será mayor o igual a $1’500,000?
5. El gerente de ingeniería propone llevar a cabo una mejora en el proceso de fabricación de las impreso- ras láser a color “Ana Sofía”. Esta mejora reducirá el costo variable a $2500 por pieza, pero elevará los costos fijos a $2’000,000 por mes. Resuelve nuevamente el problema de las impresoras láser a color considerando que los demás datos permanecen constantes y determina si la propuesta del gerente es conveniente o no para el empresa. Argumenta claramente tu respuesta.
6. En la fabrica de impresoras “Ana Sofía” se ha estado comprando un componente cuyo costo unitario es de $1100 por pieza, más costos de manejo y transporte de $200 por pieza. Se está estudiando la posibilidad de fabricar el componente en la empresa, lo cual requiere un costo fijo de $500,000 y un costo variable de 890 por pieza. ¿Es conveniente fabricar el componente o seguir comprándolo como hasta ahora?
Un ejemplo resuelto que puede emplearse como referencia se encuentra en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.mx/2013/03/punto-de-equilibrio-word-problems.html