Este documento presenta cinco fórmulas básicas para derivar expresiones algebraicas. Cada fórmula se explica y se proporcionan ejemplos para ilustrar su aplicación. Las fórmulas permiten derivar constantes, variables, potencias y sumas de términos. El objetivo es proporcionar una guía para derivar funciones algebraicas de manera sistemática utilizando estas cinco reglas fundamentales.
3. Las fórmulas de derivación son, en términos generales,
indicaciones acerca de las características o condiciones
que debe cumplir una expresión algebraica para
obtener su derivada.
Naturalmente contienen también la información para
obtener la derivada de una función que cumple con las
características señaladas en la fórmula.
Introducción
3
4. Cinco fórmulas básicas de derivación
04
En esta presentación se explican
estás cinco fórmulas y se
desarrollan algunos ejemplos para
clarificar la forma en que se
aplican.
La numeración es arbitraria y sólo
corresponde a la numeración
empleada en el formulario que se
encuentra en el enlace siguiente:
http://licmata-ebc.blogspot.com/2018/07/basic-mathematics-formulae.html
6. Primera fórmula de derivación
06
La fórmula número 1 se lee:
La derivada de 𝒖𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒂
es igual a: 𝑪𝒆𝒓𝒐
La fórmula hace referencia a cualquier
constante; un número, un símbolo que
representa números como p, e, entre otros.
Al derivar con respecto a x, otras variables son
consideradas como constantes y su derivada es
cero.
7. Primera fórmula de derivación
07
Ejemplos:
1. y = 5 ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
2. y = 𝜋 ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
3. y = 𝑎 ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
4. y = 2b ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
5. y = 6𝑤2
∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
6. y = 9b ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
Puesto que todas las
funciones son iguales a
una constante, su
derivada es igual a cero.
No importa si contienen
exponentes, raíces,
productos, o cualquier
otra expresión
algebraica. Mientras se
trate de constantes o
variables que no
contienen x, su derivada
respecto a equis es cero.
8. Segunda fórmula de derivación
08
La fórmula número 2 se lee:
La derivada de 𝒙, con respecto a equis, es igual a:
𝑼𝒏𝒐
La fórmula hace referencia a la variable
respecto a la que se está derivando; al derivar
x respecto a x o t respecto a t, la derivada es
igual a uno.
9. Segunda fórmula de derivación
09
Ejemplos:
1. y = 𝑥 ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1
2. s = 𝑡 ∴
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 1
3. v = 𝑠 ∴
𝑑𝑣
𝑑𝑠
= 1
4. y = b ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑏
= 1
5. a = 𝑤 ∴
𝑑𝑎
𝑑𝑤
= 1
6. g = y ∴
𝑑𝑔
𝑑𝑦
= 1
El nombre de la función
suele ser y, pero no
necesariamente es así,
puede ser otra letra, s,
v, w, entre otras.
La variable también
puede identificarse con
otra letra, pero si se
deriva respecto a esa
variable, la derivada es
siempre igual a uno.
10. Tercera fórmula de derivación
010
La fórmula número 3 se lee:
La derivada de 𝒖𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒄,
por 𝒖𝒏𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒗 es igual a:
𝑳𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 c por la derivada de
𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒗
No debemos olvidar que la constante
puede estar representada por una letra o
cualquier símbolo.
11. Tercera fórmula de derivación
011
Ejemplos:
1. y = 2𝑥 ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2
𝑑
𝑑𝑥
𝑥
2. s = 4𝑡2
∴
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 4
𝑑
𝑑𝑡
𝑡2
3. v = 𝑎𝑠3
∴
𝑑𝑣
𝑑𝑠
= 𝑎
𝑑
𝑑𝑠
𝑠3
4. y = 𝑎𝑏4 ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑏
= 𝑎
𝑑
𝑑𝑏
𝑏4
5. 𝑎 = 𝜇𝑤3 ∴
𝑑𝑎
𝑑𝑤
= 𝜇
𝑑
𝑑𝑤
𝑤3
6. 𝑔 = 𝜋𝑦5
∴
𝑑𝑔
𝑑𝑦
= 𝜋
𝑑
𝑑𝑦
𝑦5
Esta fórmula,
básicamente,
establece que
no es necesario
derivar las
constantes;
pueden
“sacarse”, y
solamente
derivar la
variable.
12. Quinta fórmula de derivación
012
La fórmula número 5 se lee:
La derivada de 𝒙 elevada a la potencia
𝒏 es igual a:
𝒏 por 𝒙 elevada a la potencia 𝒏 − 𝟏
Se emplean colores para identificar la
variable y el exponente
13. Quinta fórmula de derivación
013
Ejemplos:
1. y = 𝑥4
∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑥3
2. s = 𝑡2
∴
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 2𝑡
3. v = 𝑠3
∴
𝑑𝑣
𝑑𝑠
= 3𝑠2
4. y = 𝑏4 ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑏
= 4𝑏3
5. 𝑎 = 𝑤3
∴
𝑑𝑎
𝑑𝑤
= 3𝑤2
6. 𝑔 = 𝑦5
∴
𝑑𝑔
𝑑𝑦
= 5𝑦4
Esta fórmula
indica el
procedimiento
para derivar
una variable
elevada a un
exponente
constante.
14. La aplicación de la fórmula cuatro, en realidad, no nos permite
obtener la derivada, es solamente una indicación general
acerca del procedimiento para derivar expresiones complejas.
A continuación se plantea el uso de la fórmula 4 en conjunto
con las fórmulas 1, 2, 3 y 5 en la resolución de un ejemplo.
Ejemplos
14
Cuarta fórmula de derivación
15. Cuarta fórmula de derivación
015
La fórmula número 4 se lee:
La derivada
de 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑢, 𝑣 𝑦 𝑤
Es igual a la suma de las derivadas de
cada una de las variables.
La fórmula 4 simplemente indica
que es posible derivar cada
término por separado
18. Cuarta fórmula de derivación
018
Ejemplos:
Derivar
𝑦 = 4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
4𝑥3 −
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥2 +
𝑑
𝑑𝑥
6𝑥 −
𝑑
𝑑𝑥
5
Significa derivar cada término por separado:
Esta fórmula nos indica
que podemos derivar
término por término.
Posteriormente, para
obtener la derivada de
cada término, se
aplican las otras
fórmulas de
derivación.
19. Cuarta fórmula de derivación
019
Derivar: 𝑦 = 4𝑥3
− 3𝑥2
+ 6𝑥 − 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
4𝑥3
−
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥2
+
𝑑
𝑑𝑥
6𝑥 −
𝑑
𝑑𝑥
5
La fórmula 3 señala que podemos “sacar” las constantes y derivar sólo la
variable:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4
𝑑
𝑑𝑥
𝑥3
− 3
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
+ 6
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 −
𝑑
𝑑𝑥
5
21. Cuarta fórmula de derivación
021
Derivar: 𝑦 = 4𝑥3
− 3𝑥2
+ 6𝑥 − 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4
𝑑
𝑑𝑥
𝑥3
− 3
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
+ 6 1 − 0
La fórmula 5 se emplea para derivar los primeros
dos términos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4 3𝑥2
− 3 2𝑥 + 6 1 − 0
22. Fórmulas de derivación 1 a la 5
022
Derivar: 𝑦 = 4𝑥3
− 3𝑥2
+ 6𝑥 − 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4
𝑑
𝑑𝑥
𝑥3 − 3
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 + 6 1 − 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4 3𝑥2
− 3 2𝑥 + 6 1 − 0
Después de derivar se efectúan operaciones
algebraicas y este es el resultado:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 12𝑥2
− 6𝑥 + 6
23. Fórmulas de derivación 1 a la 5
023
Ejemplos:
Derivar
𝑦 = 4𝑥3
− 3𝑥2
+ 6𝑥 − 5
El resultado puede obtenerse directamente:
Esta descripción paso a
paso tiene la finalidad
de explicar el
procedimiento con el
mayor detalle posible,
sin embargo, en la
práctica, estas
derivadas se obtienen
directamente, en uno o
dos pasos, aplicando
las fórmulas sin más.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 12𝑥2
− 6𝑥 + 6
24. En la siguiente diapositiva se aplican, directamente, las
5 fórmulas estudiadas hasta ahora, tal como
generalmente se resuelven estos ejercicios.
Se anotan dos pasos solamente para explicar el
procedimiento, pero, como ya se explicó
anteriormente, puede hacerse en un solo paso.
Ejemplos
24
25. Fórmulas de derivación 1 a la 5
025
Ejemplos:
Derivar
𝑦 = −2𝑥5
+ 4𝑥3
− 5𝑥 − 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2 5𝑥4
+ 4 3𝑥2
− 5 1 − 0
Fórmula 4
Como se ha explicado
antes, la fórmula 4 se
aplica globalmente
26. Fórmulas de derivación 1 a la 5
026
Ejemplos:
Derivar
𝑦 = −2𝑥5
+ 4𝑥3
− 5𝑥 − 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2 5𝑥4
+ 4 3𝑥2
− 5 1 − 0 Fórmula 4
Fórmula 3
Cuando derivamos solamente la variable y,
posteriormente multiplicamos por el
coeficiente, estamos aplicando la fórmula 3.
27. Fórmulas de derivación 1 a la 5
027
Ejemplos:
Derivar
𝑦 = −2𝑥5
+ 4𝑥3
− 5𝑥 − 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2 5𝑥4
+ 4 3𝑥2
− 5 1 − 0 Fórmula 4
Fórmula 3
La fórmula 1 indica que la
derivada de una constante,
sin variable, es cero.
28. Fórmulas de derivación 1 a la 5
028
Ejemplos:
Derivar
𝑦 = −2𝑥5
+ 4𝑥3
− 5𝑥 − 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2 5𝑥4
+ 4 3𝑥2
− 5 1 − 0 Fórmula 4
Fórmula 3
La fórmula 2 señala que la
derivada de equis con
respecto a equis es uno.
29. Fórmulas de derivación 1 a la 5
029
Ejemplos:
Derivar
𝑦 = −2𝑥5
+ 4𝑥3
− 5𝑥 − 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2 5𝑥4
+ 4 3𝑥2
− 5 1 − 0 Fórmula 4
Fórmula 3
Fórmula
5
La fórmula 5
se aplica en
dos términos
31. Fórmulas de derivación 1 a la 5
031
Ejemplos:
Derivar
𝑦 = −2𝑥5
+ 4𝑥3
− 5𝑥 − 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2 5𝑥4
+ 4 3𝑥2
− 5 1 − 0 Después de aplicar las
fórmula solamente se
efectúan operaciones
algebraicas, el cero no se
escribe.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −10𝑥4
+ 12𝑥2
− 5
32. Fórmulas de derivación 1 a la 5
032
Ejemplos:
Derivar
𝑦 = −2𝑥5
+ 4𝑥3
− 5𝑥 − 1
Como se ha explicado continuamente, las fórmulas pueden aplicarse
directamente y obtener el resultado en un solo paso.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −10𝑥4
+ 12𝑥2
− 5
33. Fórmulas de derivación 1 a la 5
033
Ejemplos:
Derivar
𝑠 = −4𝑡4
+ 6𝑡3
+ 6𝑡2
− 2𝑡 + 7
Obtener la derivada directamente, sin pasos intermedios.
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=?
34. Fórmulas de derivación 1 a la 5
034
Ejemplos:
Derivar
𝑠 = −4𝑡4
+ 6𝑡3
+ 6𝑡2
− 2𝑡 + 7
Obtener la derivada directamente, sin pasos intermedios.
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= −16𝑡3
+ 18𝑡2
+ 12𝑡 − 2