Aplicaciones de la derivada max vol caja

Aplicaciones de la
derivada.
G. Edgar Mata Ortiz
licmata@hotmail.com
http://licmata-math.blogspot.mx/

Máximos y mínimos relativos
Ejemplo 4.1. Proceso de solución iniciando con una
aproximación sin cálculo, empleando primero aritmética y
geometría, luego geometría analítica y finalmente la derivada.

Enunciado del problema
• La figura muestra la forma en que se
construirá la caja una vez recortados los
cuadrados en las esquinas.

Análisis del problema
• Observa el diagrama que representa el
problema planteado.
• ¿Crees que el tamaño del cuadrado que se
recorta haga que cambie el volumen de la
caja?

Procedimiento de solución
• Para ver si el volumen cambia, vamos a
probar con diferentes medidas del
cuadrado que se recorta.
Si se recortan
cuadrados de 2
cm por lado,
¿cuáles serán las
dimensiones de
la caja
resultante?

• Para ver si el volumen cambia, vamos a
probar con diferentes medidas del
cuadrado que se recorta.
En la figura
podemos
observar las
dimensiones:
longitud (36) y
ancho (26) de la
caja.

• La longitud y ancho de la caja ya los
conocemos, ¿y la altura? ¿cuánto será?

• Una vez determinadas las dimensiones,
calculamos el volumen.

• Si se recortan cuadrados de 3 cm por lado
las dimensiones y el volumen cambian.

• Ya vimos que al aumentar el tamaño del
cuadrado que se recorta, el volumen aumenta.
• Vamos a probar con otros valores.
• Para facilitar el proceso organizaremos la
información en una tabla con valores.
Tamaño
del recorte
Longitud
de la caja
Ancho de
la caja
Altura de
la caja
Volumen
de la caja
2 36 26 2 1872
3 34 24 3
4 32 22

• Probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.

• Resultados al probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.
El volumen de
la caja sigue
aumentando,
pero cada vez
menos.

El volumen
de la caja
disminuyó…

• Podemos concluir que el volumen máximo se
obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide
6 cm por lado.

• Las dimensiones de la caja son:
• Longitud = 28 cm
• Ancho = 18 cm
• Altura = 6 cm
• Volumen = 3024 cm3
• Podemos concluir
que el volumen
máximo se obtiene
cuando el cuadrado
que se recorta mide 6
cm por lado.

• Ancho = 18 cm
• Altura = 6 cm
• ¿Estamos seguros de este resultado?
• Hemos tomado solamente valores enteros para
el tamaño del cuadrado que se recorta
• ¿No puede ser un valor decimal?

• Ancho = 18 cm
• Altura = 6 cm
• Hemos tomado solamente valores enteros
para el tamaño del cuadrado que se
recorta
• ¿No puede ser un valor decimal?
Probar con
dos valores:
6.5 y 5.5

• Encontramos un tamaño de recorte que aumenta le volumen.
Volumen máximo

• Ancho = 19 cm
• Altura = 5.5 cm
• Volumen = 3030.5 cm3
• Hemos tomado algunos decimales, pero…
• ¿No puede ser un valor con dos o tres
decimales?

• Ancho = 19 cm
• Altura = 5.5 cm
• Está claro que no podemos obtener la solución
exacta.
• Siempre habrá la posibilidad de que existan
medidas de cuadrados que mejoren más el
volumen.
• Tal vez debemos considerar otras herramientas.

• Ancho = 19 cm
• Altura = 5.5 cm
• La geometría y la búsqueda de mayor exactitud
aumentando el número de decimales no es
suficiente
• Vamos a trazar la gráfica con los datos obtenidos
en la tabulación.

Volumenmáximo

En la gráfica se
observa que la
solución está
entre 5 y 6,
pero no
podemos
obtener un
resultado más
exacto.
Aparentemente
se trata de una
parábola…
Volumenmáximo

• Si podemos determinar que se trata de
una parábola, será sencillo encontrar la
solución, ya que el volumen máximo se
encontraría en el vértice de la parábola.
• Vamos a determinar la ecuación que
describe el volumen en función del
tamaño del cuadrado que se recorta para
construir la caja.

• Las dimensiones de la caja tomando la medida del
cuadrado que se recorta como “x”.

Las dimensiones de la caja tomando la medida del
(40 − 2𝑥)(30 − 2𝑥)
1200

(40 − 2𝑥)(30 − 2𝑥)
1200 − 60𝑥

(40 − 2𝑥)(30 − 2𝑥)
1200 − 60𝑥 − 80𝑥

(40 − 2𝑥)(30 − 2𝑥)
1200 − 60𝑥 − 80𝑥 + 4𝑥2

(40 − 2𝑥)(30 − 2𝑥)
1200 − 60𝑥 − 80𝑥 + 4𝑥2
4𝑥2
− 140𝑥 + 1200

4𝑥2 − 140𝑥 + 1200 𝑥 =

4𝑥2 − 140𝑥 + 1200 𝑥 =
4𝑥3
− 140𝑥2
+ 1200𝑥

• El volumen se obtiene multiplicando longitud
por ancho por altura.

• No es una parábola, ya que la ecuación de esta
curva es de segundo grado y se obtuvo una
cúbica.
• La estrategia de determinar el punto máximo
mediante el vértice no puede aplicarse en este
problema.

Trazando la
curva sobre los
puntos que
tenemos como
datos podemos
observar que,
efectivamente
no se trata de
una parábola,
ya que no es
simétrica.

Quitando los
puntos se
observa mejor
que no se trata
de una
parábola, sólo
para verificar
seguimos
graficando para
valores mayores
de equis en la
siguiente
diapositiva

Esta es la gráfica
de una función
cúbica con tres
soluciones
reales distintas.
Observa en qué
puntos la
gráfica corta el
eje de las equis.
x1 = ?
x2 = ?
x3 = ?

Esta es la gráfica
de una función
cúbica con tres
soluciones
reales distintas.
Observa en qué
puntos la
gráfica corta el
eje de las equis.
x1 = 0
x2 = 15
x3 = 20

Soluciones de la
función cúbica.
x1 = 0
x2 = 15
x3 = 20
¿Qué significan,
en el problema
de la caja, estos
valores?
Recuerda que x
es la medida del
cuadrado que
se recorta.

x1 = 0
Significa no
recortar nada, no
se forma ninguna
caja
x2 = 15
Significa recortar
15 cm, se termina
la hoja
x3 = 20
Significa recortar
20 cm, se termina
la hoja en el otro
lado…

• El uso de la función cúbica nos ha permitido
entender más el problema, pero no lo hemos
resuelto.
• Todavía tenemos solamente una solución
aproximada que, en ocasiones, pude ser útil,
pero no es suficiente para nosotros.
• Ancho = 19 cm
• Altura = 5.5 cm

• Comenzamos planteando el problema con
las herramientas básicas; aritmética y
geometría.
• Después tratamos de usar funciones y
gráficas y algo de geometría analítica, pero
no se obtuvo una ecuación de segundo
grado.
• Necesitamos otra herramienta: El cálculo
diferencial.

• El procedimiento para resolver este
problema mediante derivadas recibe el
nombre de máximos y mínimos relativos.
• Es un proceso sencillo:
1. Obtener la función que describe el
fenómeno en estudio
2. Determinar la primera derivada
3. Igualar a cero la derivada
4. Resolver la ecuación obtenida

1. Obtener la función que describe el
fenómeno en estudio.
• Este paso ya lo realizamos, se trata de la
función que expresa el volumen en función
de la medida del cuadrado que se va a
recortar:
• y = 4x3 – 140x2 + 1200x

2. Determinar la primera derivada.
• Aplicando las fórmulas obtenemos:
• La derivada también puede representarse
como y’ (ye prima).
3 2
2
4 140 1200
12 280 1200
y x x x
dy
x x
dx
= − +
= − +

3. Igualar a cero la derivada
• Al igualar a cero la derivada estamos
tratando de encontrar los puntos críticos de
las función.
2
0
12 280 1200 0
dy
dx
x x
=
− + =

• La ecuación obtenida es una ecuación de
segundo grado que podemos resolver
mediante la fórmula general.
2
2
12 280 1200 0
4
2
x x
b b ac
x
a
− + =
−  −
=
2
0
12
280
1200
ax bx c
a
b
c
+ + =
=
= −
=

• Sustituyendo en la fórmula general
2
2
12 280 1200 0
( 280) ( 280) 4(12)(1200)
2(12)
x x
x
− + =
− −  − −
=

• Efectuando operaciones
2
( 280) ( 280) 4(12)(1200)
2(12)
280 78400 57600
24
280 20800
24
280 144.22205
24
x
x
x
x
− −  − −
=
+  −
=
+ 
=
+ 
=

• Dos soluciones.
1
2
2
1 17.675918792439
280 144.22205
2
5.6574145408933
4
280 144.22205
24
280 144.22205
24
x
x
x
x
x
+
=

=
+ +
=
+ −
=
=
Este resultado necesita ser
interpretado.
¿Por qué hay dos soluciones?
¿Cuál solución es la correcta?
¿Ambas son correctas?
Si solo una solución es
correcta:
¿Por qué aparecen dos?
¿Qué significa la que no es
correcta?

• Hemos resuelto la ecuación y obtuvimos
dos resultados, para entender por qué es
necesario observar la gráfica.
• Específicamente debemos observar,
¿dónde se encuentran las soluciones
encontradas en la gráfica?
1 217.675918792439 5.6574145408933x x= =

1 17.6759x =
2 5.6574x =

Para entender mejor el
resultado que nos da la
derivada debemos
recordar que aplicamos
una herramienta que se
llama:
“Máximos y mínimo
relativos”
Nosotros buscábamos el
volumen máximo, pero
el método nos da
también el mínimo.

Para entender mejor el
resultado que nos da la
derivada debemos
recordar que aplicamos
una herramienta que se
llama:
“Máximos y mínimos
relativos”
Nosotros buscábamos el
volumen máximo, pero
el método nos da
también el mínimo.
La solución a nuestro
problema es el valor que
maximiza el volumen: x2

Respuesta al problema
• Lo que nos preguntan es:
• ¿Cuánto deben medir los cuadrados que
se recorten?
• ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la
caja?
• ¿Cuánto es el volumen máximo?
• El valor de x2 responde solamente a la
primera pregunta.

Respuesta al problema
• Se deben recortar cuadrados que midan
5.65741454 cm por lado.
• Las dimensiones de la caja serán:
• Longitud = 28.6851709
• Ancho = 18.6851709
• Altura = 5.65741454
• Para un volumen máximo de:
• 3032.3024606

Fuentes de información en línea:
http://licmata-math.blogspot.mx/
http://www.scoop.it/t/mathematics-learning
https://www.facebook.com/licemata
https://www.linkedin.com/in/licmata
http://www.slideshare.net/licmata
Twitter @licemata

GRACIAS POR SU ATENCIÓN
PBL – Problem Based Learning
Es una técnica consistente en iniciar el tema de interés con un
problema que conduzca al alumno a la necesidad de
aprender dicho tema.
El objetivo del presente material es abordar el tema de
derivadas a partir de un problema.
Dicho problema es irresoluble por métodos analíticos previos
al cálculo.
Se muestran soluciones aproximadas logradas mediante estas
herramientas y finalmente se plantea la solución mediante
máximos y mínimos relativos.

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