Histogram construction and interpretation Elaboración e interpretación del histograma

1. Seven Basic Tools of Quality: The Histogram.
G. Edgar Mata Ortiz

2. El histograma
Es una de las siete herramientas básicas para la calidad,
como se menciona en la introducción que se encuentra en
la siguiente dirección:
https://www.docsity.com/es/las-7-herramientas-basicas-para-la-calidad-7btoq/4645096/

3. El histograma
El histograma es una
herramienta gráfica para la
organización y presentación
visual de datos cuantitativos
univariados.
Nos muestra la distribución
de frecuencias y nos
permite advertir la
distribución subyacente, los
datos atípicos, curtosis,
entre otras características
de los datos.

4. El histograma
El histograma está formado por
cierto número de barras, sin
espacio numérico entre ellas en
el eje horizontal, y en el eje
vertical se registran las
frecuencias de cada clase o
categoría, es decir, el número de
datos cuyos valores se
encuentran entre los límites de
dicho intervalo.
En la dirección que se encuentra en la parte inferior de
esta diapositiva puede observarse una explicación,
paso a paso, del proceso de elaboración de un
histograma en 4 presentaciones de diapositivas.
http://licmata-math.blogspot.com/2019/05/grouped-data-and-histograms-part-4.html

5. El histograma
Para mejorar la visualización de los
datos y facilitar el análisis de la
información, es recomendable
agregar al histograma al menos 7
líneas verticales localizadas en los
valores de:
La media aritmética, la media
aritmética más menos una, dos y
tres desviaciones estándar, como
se muestra en la figura de la
derecha.
En el eje equis se colocan,
generalmente, los valores de los
límites de los intervalos reales

6. El histograma: ejemplo
En las siguientes diapositivas se
plantea un problema para que sea
resuelto mediante el trazo de un
histograma y su análisis.
Se recomienda ir resolviendo el
problema empleando solamente
una calculadora para una mejor
comprensión de la información.
Es importante prestar especial atención al
análisis de la gráfica, ya que la construcción
del histograma puede efectuarse,
posteriormente, mediante Excel o algún
software estadístico.

7. Ejemplo
Una característica importante en la
fabricación de ciertos opresores, es el
diámetro de la esfera metálica que
actúa como seguro.
El cliente está solicitando que las
esferas tengan un diámetro de 1.5 mm
con una tolerancia de 0.1 mm.
TV = Target Value
(Valor deseado)
TV = 1.5 ± 0.1 mm.

8. Ejemplo
Para determinar si es posible satisfacer estas
especificaciones se realizará un estudio
estadístico tomando una muestra de 300 piezas.
El estudio consiste en la elaboración de un
histograma y su interpretación.
Como ya dijimos, el histograma nos permitirá observar:
1. Las medidas de tendencia central, especialmente la media
aritmética
2. La dispersión de los datos, que corresponde a la variabilidad del
proceso
3. La distribución de frecuencias, curtosis y simetría de los datos
4. La presencia de datos atípicos

9. Ejemplo
A partir de los resultados obtenidos
en la muestra, debemos responder
tres preguntas:
1. ¿El lote cumple con las
especificaciones del cliente?
2. ¿Cuál es la tasa de defectos de
la muestra?
3. ¿Cuánto se estima que sea la
tasa de defectos de la
población (El lote de
producción completo)?

10. Ejemplo
En la siguiente tabla se encuentran las dimensiones de las 300
piezas de la muestra.

11. 1.507 1.470 1.524 1.502 1.502 1.514 1.490 1.501 1.489 1.590 1.470 1.514 1.536 1.539 1.541 1.518 1.527 1.522 1.524 1.562
1.579 1.533 1.551 1.501 1.514 1.500 1.527 1.505 1.496 1.526 1.548 1.490 1.514 1.512 1.544 1.482 1.511 1.534 1.534 1.549
1.530 1.498 1.468 1.519 1.460 1.534 1.572 1.486 1.533 1.579 1.472 1.566 1.515 1.561 1.537 1.541 1.566 1.492 1.577 1.482
1.441 1.462 1.481 1.567 1.544 1.508 1.503 1.581 1.514 1.502 1.518 1.549 1.473 1.457 1.538 1.599 1.460 1.439 1.523 1.529
1.537 1.515 1.482 1.519 1.494 1.485 1.473 1.604 1.565 1.476 1.479 1.500 1.486 1.539 1.592 1.547 1.522 1.519 1.470 1.466
1.587 1.529 1.491 1.542 1.549 1.535 1.529 1.424 1.610 1.507 1.466 1.524 1.552 1.500 1.525 1.527 1.502 1.543 1.559 1.485
1.506 1.504 1.503 1.579 1.562 1.525 1.487 1.540 1.569 1.521 1.490 1.511 1.482 1.533 1.520 1.549 1.529 1.556 1.535 1.597
1.520 1.508 1.537 1.529 1.503 1.555 1.494 1.484 1.527 1.509 1.567 1.601 1.521 1.605 1.541 1.463 1.503 1.509 1.479 1.520
1.487 1.469 1.608 1.507 1.486 1.502 1.534 1.544 1.524 1.503 1.501 1.549 1.556 1.536 1.510 1.508 1.530 1.540 1.622 1.504
1.481 1.470 1.494 1.483 1.519 1.511 1.566 1.547 1.518 1.470 1.495 1.536 1.594 1.542 1.530 1.526 1.520 1.581 1.578 1.467
1.538 1.545 1.512 1.516 1.559 1.553 1.534 1.464 1.608 1.547 1.539 1.524 1.510 1.538 1.562 1.553 1.558 1.550 1.480 1.556
1.485 1.566 1.538 1.525 1.543 1.545 1.523 1.535 1.486 1.517 1.489 1.498 1.480 1.572 1.494 1.509 1.520 1.513 1.498 1.526
1.522 1.528 1.527 1.587 1.487 1.462 1.512 1.470 1.553 1.484 1.464 1.489 1.534 1.519 1.441 1.562 1.425 1.528 1.535 1.503
1.537 1.477 1.528 1.515 1.518 1.505 1.566 1.478 1.490 1.570 1.500 1.494 1.511 1.551 1.556 1.586 1.468 1.552 1.579 1.493
1.495 1.582 1.550 1.472 1.507 1.500 1.472 1.513 1.530 1.473 1.526 1.446 1.535 1.532 1.638 1.522 1.558 1.508 1.486 1.558
Datos
1.507 1.470 1.524 1.502 1.502 1.514 1.490 1.501 1.489 1.590 1.470 1.514 1.536 1.539 1.541 1.518 1.527 1.522 1.524 1.562
1.579 1.533 1.551 1.501 1.514 1.500 1.527 1.505 1.496 1.526 1.548 1.490 1.514 1.512 1.544 1.482 1.511 1.534 1.534 1.549
1.530 1.498 1.468 1.519 1.460 1.534 1.572 1.486 1.533 1.579 1.472 1.566 1.515 1.561 1.537 1.541 1.566 1.492 1.577 1.482
1.441 1.462 1.481 1.567 1.544 1.508 1.503 1.581 1.514 1.502 1.518 1.549 1.473 1.457 1.538 1.599 1.460 1.439 1.523 1.529
1.537 1.515 1.482 1.519 1.494 1.485 1.473 1.604 1.565 1.476 1.479 1.500 1.486 1.539 1.592 1.547 1.522 1.519 1.470 1.466
1.587 1.529 1.491 1.542 1.549 1.535 1.529 1.424 1.610 1.507 1.466 1.524 1.552 1.500 1.525 1.527 1.502 1.543 1.559 1.485
1.506 1.504 1.503 1.579 1.562 1.525 1.487 1.540 1.569 1.521 1.490 1.511 1.482 1.533 1.520 1.549 1.529 1.556 1.535 1.597
1.520 1.508 1.537 1.529 1.503 1.555 1.494 1.484 1.527 1.509 1.567 1.601 1.521 1.605 1.541 1.463 1.503 1.509 1.479 1.520
1.487 1.469 1.608 1.507 1.486 1.502 1.534 1.544 1.524 1.503 1.501 1.549 1.556 1.536 1.510 1.508 1.530 1.540 1.622 1.504
1.481 1.470 1.494 1.483 1.519 1.511 1.566 1.547 1.518 1.470 1.495 1.536 1.594 1.542 1.530 1.526 1.520 1.581 1.578 1.467
1.538 1.545 1.512 1.516 1.559 1.553 1.534 1.464 1.608 1.547 1.539 1.524 1.510 1.538 1.562 1.553 1.558 1.550 1.480 1.556
1.485 1.566 1.538 1.525 1.543 1.545 1.523 1.535 1.486 1.517 1.489 1.498 1.480 1.572 1.494 1.509 1.520 1.513 1.498 1.526
1.522 1.528 1.527 1.587 1.487 1.462 1.512 1.470 1.553 1.484 1.464 1.489 1.534 1.519 1.441 1.562 1.425 1.528 1.535 1.503
1.537 1.477 1.528 1.515 1.518 1.505 1.566 1.478 1.490 1.570 1.500 1.494 1.511 1.551 1.556 1.586 1.468 1.552 1.579 1.493
1.495 1.582 1.550 1.472 1.507 1.500 1.472 1.513 1.530 1.473 1.526 1.446 1.535 1.532 1.638 1.522 1.558 1.508 1.486 1.558
Conjunto de 300 datos que constituyen la muestra que se estudiará
para responder a las preguntas planteadas. En las siguientes dos
diapositivas se dividen en dos secciones para una mejor visibilidad.

12. Datos (Parte 1)
1.507 1.470 1.524 1.502 1.502 1.514 1.490 1.501 1.489 1.590 1.470 1.514
1.579 1.533 1.551 1.501 1.514 1.500 1.527 1.505 1.496 1.526 1.548 1.490
1.530 1.498 1.468 1.519 1.460 1.534 1.572 1.486 1.533 1.579 1.472 1.566
1.441 1.462 1.481 1.567 1.544 1.508 1.503 1.581 1.514 1.502 1.518 1.549
1.537 1.515 1.482 1.519 1.494 1.485 1.473 1.604 1.565 1.476 1.479 1.500
1.587 1.529 1.491 1.542 1.549 1.535 1.529 1.424 1.610 1.507 1.466 1.524
1.506 1.504 1.503 1.579 1.562 1.525 1.487 1.540 1.569 1.521 1.490 1.511
1.520 1.508 1.537 1.529 1.503 1.555 1.494 1.484 1.527 1.509 1.567 1.601
1.487 1.469 1.608 1.507 1.486 1.502 1.534 1.544 1.524 1.503 1.501 1.549
1.481 1.470 1.494 1.483 1.519 1.511 1.566 1.547 1.518 1.470 1.495 1.536
1.538 1.545 1.512 1.516 1.559 1.553 1.534 1.464 1.608 1.547 1.539 1.524
1.485 1.566 1.538 1.525 1.543 1.545 1.523 1.535 1.486 1.517 1.489 1.498
1.522 1.528 1.527 1.587 1.487 1.462 1.512 1.470 1.553 1.484 1.464 1.489
1.537 1.477 1.528 1.515 1.518 1.505 1.566 1.478 1.490 1.570 1.500 1.494
1.495 1.582 1.550 1.472 1.507 1.500 1.472 1.513 1.530 1.473 1.526 1.446

13. Datos (Parte 2)
590 1.470 1.514 1.536 1.539 1.541 1.518 1.527 1.522 1.524 1.562
526 1.548 1.490 1.514 1.512 1.544 1.482 1.511 1.534 1.534 1.549
579 1.472 1.566 1.515 1.561 1.537 1.541 1.566 1.492 1.577 1.482
502 1.518 1.549 1.473 1.457 1.538 1.599 1.460 1.439 1.523 1.529
476 1.479 1.500 1.486 1.539 1.592 1.547 1.522 1.519 1.470 1.466
507 1.466 1.524 1.552 1.500 1.525 1.527 1.502 1.543 1.559 1.485
521 1.490 1.511 1.482 1.533 1.520 1.549 1.529 1.556 1.535 1.597
509 1.567 1.601 1.521 1.605 1.541 1.463 1.503 1.509 1.479 1.520
503 1.501 1.549 1.556 1.536 1.510 1.508 1.530 1.540 1.622 1.504
470 1.495 1.536 1.594 1.542 1.530 1.526 1.520 1.581 1.578 1.467
547 1.539 1.524 1.510 1.538 1.562 1.553 1.558 1.550 1.480 1.556
517 1.489 1.498 1.480 1.572 1.494 1.509 1.520 1.513 1.498 1.526
484 1.464 1.489 1.534 1.519 1.441 1.562 1.425 1.528 1.535 1.503
570 1.500 1.494 1.511 1.551 1.556 1.586 1.468 1.552 1.579 1.493
473 1.526 1.446 1.535 1.532 1.638 1.522 1.558 1.508 1.486 1.558

14. Elaboración del histograma
El procedimiento detallado para construir el histograma se
describe en 4 presentaciones que se encuentran en el siguiente
enlace:
http://licmata-math.blogspot.com/2019/05/grouped-data-and-histograms-part-4.html

15. Elaboración del histograma
En primer lugar vamos a establecer, arbitrariamente,
el número de clase (c) en 9, y con base en ello,
calcularemos la amplitud de los intervalos.
Se localizan el valor máximo
y mínimo de los datos para
obtener el rango.
Valor máximo = 1.638
Valor mínimo = 1.424
Rango = 1.424
Número de intervalos = 9
Se divide el rango entre el
número de intervalos para calcular
la amplitud w.
Tamaño del intervalo = 0.02377
Puede ser:
0.023 o 0.024
En este caso se toma w = 0.024

16. Elaboración del histograma
Con esta amplitud de intervalo se obtienen los intervalos aparentes,
posteriormente los intervalos reales, y las medidas de tendencia central y
dispersión. Sintetizándose en la tabla que se muestra en seguida.
Absoluta Acumulada Relativa
Relativa
acumulada
Lím. Inferior Lím. Superior x i f i fa i fr i fra i fi por xi
1.4225 1.4465 1.4345 6 6 0.0200 0.0200 8.60700 0.51648 0.04446
1.4465 1.4705 1.4585 20 26 0.0667 0.0867 29.17000 1.24160 0.07708
1.4705 1.4945 1.4825 48 74 0.1600 0.2467 71.16000 1.82784 0.06960
1.4945 1.5185 1.5065 66 140 0.2200 0.4667 99.42900 0.92928 0.01308
1.5185 1.5425 1.5305 83 223 0.2767 0.7433 127.03150 0.82336 0.00817
1.5425 1.5665 1.5545 46 269 0.1533 0.8967 71.50700 1.56032 0.05293
1.5665 1.5905 1.5785 19 288 0.0633 0.9600 29.99150 1.10048 0.06374
1.5905 1.6145 1.6025 10 298 0.0333 0.9933 16.02500 0.81920 0.06711
1.6145 1.6385 1.6265 2 300 0.0067 1.0000 3.25300 0.21184 0.02244
Totales 456.17400 9.03040 0.41861
Media aritmética: 1.5206
Desviación media: 0.030101
Varianza: s2
= 0.0014000
Desviación estándar: s = 0.0374168
Coeficiente de variación: Cv = 0.024606956
Clases o categorías Marcas
de clase
Medidas de tendencia central y
dispersiónIntervalos
Frecuencias

17. Absoluta Acumulada Relativa
Relativa
acumulada
Lím. Inferior Lím. Superior x i f i fa i fr i fra i fi por xi
1.4225 1.4465 1.4345 6 6 0.0200 0.0200 8.60700 0.51648 0.04446
1.4465 1.4705 1.4585 20 26 0.0667 0.0867 29.17000 1.24160 0.07708
1.4705 1.4945 1.4825 48 74 0.1600 0.2467 71.16000 1.82784 0.06960
1.4945 1.5185 1.5065 66 140 0.2200 0.4667 99.42900 0.92928 0.01308
1.5185 1.5425 1.5305 83 223 0.2767 0.7433 127.03150 0.82336 0.00817
1.5425 1.5665 1.5545 46 269 0.1533 0.8967 71.50700 1.56032 0.05293
1.5665 1.5905 1.5785 19 288 0.0633 0.9600 29.99150 1.10048 0.06374
1.5905 1.6145 1.6025 10 298 0.0333 0.9933 16.02500 0.81920 0.06711
1.6145 1.6385 1.6265 2 300 0.0067 1.0000 3.25300 0.21184 0.02244
Totales 456.17400 9.03040 0.41861
Media aritmética: 1.5206
Desviación media: 0.030101
Varianza: s2
= 0.0014000
Desviación estándar: s = 0.0374168
Coeficiente de variación: Cv = 0.024606956
Clases o categorías Marcas
de clase
Medidas de tendencia central y
dispersiónIntervalos
Frecuencias
Tabla de análisis estadístico

18. Elaboración del histograma
Mediante la información de la tabla se construye el histograma, que nos
permitirá, visualmente, responder a las preguntas planteadas.
Absoluta Acumulada Relativa
Relativa
acumulada
Lím. Inferior Lím. Superior x i f i fa i fr i fra i fi por xi
1.4225 1.4465 1.4345 6 6 0.0200 0.0200 8.60700 0.51648 0.04446
1.4465 1.4705 1.4585 20 26 0.0667 0.0867 29.17000 1.24160 0.07708
1.4705 1.4945 1.4825 48 74 0.1600 0.2467 71.16000 1.82784 0.06960
1.4945 1.5185 1.5065 66 140 0.2200 0.4667 99.42900 0.92928 0.01308
1.5185 1.5425 1.5305 83 223 0.2767 0.7433 127.03150 0.82336 0.00817
1.5425 1.5665 1.5545 46 269 0.1533 0.8967 71.50700 1.56032 0.05293
1.5665 1.5905 1.5785 19 288 0.0633 0.9600 29.99150 1.10048 0.06374
1.5905 1.6145 1.6025 10 298 0.0333 0.9933 16.02500 0.81920 0.06711
1.6145 1.6385 1.6265 2 300 0.0067 1.0000 3.25300 0.21184 0.02244
Totales 456.17400 9.03040 0.41861
Media aritmética: 1.5206
Desviación media: 0.030101
Varianza: s2
= 0.0014000
Desviación estándar: s = 0.0374168
Coeficiente de variación: Cv = 0.024606956
Clases o categorías Marcas
de clase
Medidas de tendencia central y
dispersiónIntervalos
Frecuencias

19. Elaboración del histograma
Los límites de los intervalos reales y las frecuencias absolutas nos permiten
trazar las barras del histograma

20. Elaboración del histograma
Para muchas situaciones, esta gráfica podría ser suficiente, sin embargo,
para realizar un análisis más detallado de la información, es necesario
agregar 7 líneas de referencia
1. Una línea en la posición de la media
aritmética: ഥ𝒙
2. Tres líneas en las posiciones de la
media aritmética más una, dos y tres
desviaciones estándar:
ഥ𝒙 + 𝟏𝒔, ഥ𝒙 + 𝟐𝒔 y ഥ𝒙 + 𝟑𝒔
3. Tres líneas en las posiciones de la
media aritmética menos una, dos y tres
desviaciones estándar:
ഥ𝒙 𝟏𝒔, ഥ𝒙 𝟐𝒔 y ഥ𝒙 𝟑𝒔
El histograma, con las 7 líneas citadas se muestra
en la diapositiva siguiente

21. Histograma

22. Histograma
Estos son los resultados del
proceso de fabricación,
podemos realizar algunas
observaciones generales acerca
de la forma de la gráfica, las
medidas de tendencia central y
dispersión, entre otras
características de interés.
Pero lo más importante es
comparar los resultados reales
con las especificaciones.
El histograma muestra las condiciones del proceso de fabricación en un
instante dado; su centrado, variabilidad y distribución de frecuencias.

23. Histograma
Según especificaciones:
TV = 1.5 mm
USL = TV + 0.1 = 1.6 mm
LSL = TV – 0.1 = 1.4 mm
Las especificaciones están indicadas
en la diapositiva número 7. Vamos a
colocar tres líneas más en el
histograma:
TV = Target Value (Valor deseado)
USL = Upper Specification Limit
(Límite superior de especificación)
LSL = Lower Specification Limit
(Límite inferior de especificación)

24. Histograma

25. Análisis del Histograma
El primer paso es verificar si existen piezas que no cumplen con las
especificaciones.
Lo primero que llama la
atención es que algunas
piezas están fuera de
especificación, la última parte
de la penúltima barra del
histograma:
f8 = 10, f9 = 2
Entre 6 y 12 piezas no
cumplen con las
especificaciones, representan
entre el 2% y el 4%

26. Análisis del Histograma
Ahora vamos a revisar el comportamiento de la media aritmética con
respecto al valor deseado (TV).
Hay una diferencia de 0.021
entre el valor deseado y la
media aritmética del proceso:
𝑇𝑉 1.5 1.521
0.021
Se dice que el proceso no
está centrado, lo cuál podría
ser la causa de las piezas
fuera de especificación.

27. Análisis del Histograma
Vamos a responder las preguntas planteadas en la redacción del problema
(diapositiva 9)
A partir de los resultados obtenidos en la muestra,
debemos responder tres preguntas:
1. ¿El lote cumple con las especificaciones del cliente?
2. ¿Cuál es la tasa de defectos de la muestra?
3. ¿Cuánto se estima que sea la tasa de defectos de la
población (El lote de producción completo)?
Dado que la muestra presenta una tasa de defectos, el
lote no cumple con las especificaciones del cliente
Entre 6 y 12 piezas no cumplen con las
especificaciones, representan entre el 2% y el 4%
Será necesario realizar una estimación puntual o
de intervalo para responder a esta pregunta
Para generalizar los resultados de la muestra, a
toda la población (el lote de producción), se
requieren técnicas de estadística inferencial.

28. Análisis del Histograma
Estadística inferencial Consulta las fórmulas necesarias para intervalos
de confianza y contesta la pregunta 3.
¿Cuánto se estima que sea la tasa de defectos de
la población (El lote de producción completo)?
Para generalizar los resultados de la muestra, a
toda la población (el lote de producción), se
requieren técnicas de estadística inferencial.

29. Gracias por su atención
Referencias:
licmata@hotmail.com
https://sites.google.com/site/mataspc/home
http://licmata-math.blogspot.com/
http://www.scoop.it/t/mathematics-learning
http://www.slideshare.net/licmata/
http://www.facebook.com/licemata
Twitter: @licemata