1. REPÙBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
Elaborado por: Ing. MSc. Leonardo Romero Quidel

2. A manera de repaso:
LEYES DE LOS EXPONENTES:
m n m n
1. a a a m
a m n
m
n
mn
5. n
a , a 0
2. a a a
n n n n 1
3 . (a b ) a b 6. a n
, a 0
a
n n
a a 7. a
0
1, a 0
4. n
, b 0
b b

3. RAÍCES
En esta unidad encontramos lo contrario de la potencias, las
raíces, es decir las potencias se simplifican (eliminan) con
las raíces y viceversa
Bueno tenemos 3 términos con los que trabajaremos los
cuales son:
Índice de la raíz Operante
n
radicando
a Cantidad subradical o
Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede
hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo
tanto: 1
n
a an

4. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las
propiedades de las raíces, veamos la primera:
Raíz de una potencia con exponente igual al índice.
 Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el
radicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar el
radicando como potencia, una base elevado a una
fracción de la siguiente forma:
Al elevar a n la raíz n-ésima de
a estamos simplificando el
proceso anterior por lo cual el
1 n
numero quedaría el número
n n n 1
a (a ) n an a

5.  Veamos unos ejemplos:
Aplicando la propiedad,
2 vemos que el índice y el
2 2 1 exponente del radicando
5 5 5 5 se deja en forma de
3 potencia, por lo tanto
3 3 1 igual numerador y
7 73 7 7 denominador dan como
resultado 1, así se dice
p
que si se simplifica o
p p p 1
x x x x elimino la raíz y se
convierte en una simple
5 base elevado a 1 lo que da
5 1
2 2 5 2 2 como resultado la misma
5 base, como vemos en los
5 5 5 5 ejemplos.

6. Ahora te toca a ti trabajar:
2
1. 6
4 4
2 . 59
3 3
3. 23
5 5
4. 48

7. Raíz de un producto:
Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se estén
multiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales
tienen el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen,
como se muestra a continuación.
n n n
a b a b
Así también podemos hacer el proceso inverso, donde el producto
de dos raíces de igual índice que puede agrupar en una sola raíz
n n n
a b a b

8. Resolvamos juntos estos ejercicios, separando cada raíz en dos
productos de raíces y resolviéndolas por separado, luego se multiplica y
se
obtiene el resultado correspondiente:
4 4 4 4
1296 16 81 16 81 2 3 6
3 3 3 3
27000 125 216 125 216 5 6 30
4 25 4 25 100 10
3 3 3 3
8 27 8 27 216 6

9. Trabaja tu:
1. 3 12
2. 3a 2a 6
3 3 3
3. 2x 4x 8x
4 3 4 7 4 6
4. 5p 5p 25 p

10. SOLUCIONES:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
espero que te haya ido bien.
1) 6
2) 6a
3) 4x
4) 5p4
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o
tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o
anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás
algunos links para reforzarte.

11. * Pasemos a Raíz de un cociente:
 De la raíz de una fracción o división se puede separar en
2 raíces pero que poseen el mismo índice que la anterior
y esas dos nuevas raíces se dividen ahora.
n
a a ** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a
n
raíz de un producto
n
b b
* Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz y
el denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como se
muestra a continuación:
n
a a
n
n
b b

12. Resolvamos algunos ejemplos para
aprender mejor:
18
18 : 2 6
2
125
125 : 5 25 5
5 Pero para poder
resolver algunos
26 a ejercicios no solo
26 a : 2a 13 debemos dividir,
2a sino también
3 aplicar
3 444 a propiedades de
444 a : 111 a 4 2
las potencias
111 a
como es la resta
de exponentes

13.  Vamos te toca ahora
240
______
60
3
216
______
3
8
4096
4 ______
16
600
______
Si tienes alguna duda
6 no vaciles en repasar
la materia.!!!!

14. SOLUCIONES:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios
anteriores, espero que te haya ido bien.
1) 2
2) 3
3) 2
4) 10
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes
las nociones de esta propiedad clara, si crees que
costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de
este módulo y encontrarás algunos links para
reforzarte.

15. Raíz de una Raíz:
Bueno aquí simplemente se multiplican los índices y se deja al
final una sola raíz con índice igual al producto de los índices.
Como se puede ver:
n m n m
a a
2 2 4
2 2 2
a b a b ab
x x x
3 4 34 12
531441 531441 531441 3
3 a 3a 3a
1 1 1 1

16. Sigue multiplicando tu los índices y resuelve los siguiente:
4
1. 64 ____
5 4 3
2. 1 ____
3. 81 ____
4
4. 729 ____

17. SOLUCIONES:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios
anteriores, espero que te haya ido bien.
1) 2
2) 1
3) 3
4) 13
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes
las nociones de esta propiedad clara, si crees que
costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de
este módulo y encontrarás algunos links para
reforzarte.

18. Pasemos a amplificación y simplificación del
índice de una raíz:
Para esto se amplifica o simplifica tanto el índice
como el exponente de la cantidad subradical,
por un termino o numero en particular, ejemplo:
n n p 1 p
a a
n x n: y x: y
a a

19. Resolvamos estos ejercicios:
10 5 10 :5 5 :5
25 25 25 5
3 2 •3 1• 3 3• 2 12 6 3 2 6
3 4 3 4 3 4 432
• En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolver mas
fácilmente, así queda como resultado 5
• En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores,
ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego se
puede resolver como cualquier otro problema.

20.  Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la
amplificación y simplificación de raíces.
6 2
7 _____
2 3
5 _____
15 5
4 _____
3 4
p _____

21. SOLUCIONES:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
espero que te haya ido bien.
1. 3 7
2. 5 5
3. 3 4
4. p 3 p
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o
tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y
encontrarás algunos links para reforzarte.

22. Factor de una raíz como factor:
* En palabras simples es pasar un número que
multiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debe
elevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentro
multiplicándolo por los otros términos dentro de ella, así
se pueden aplicar otras operaciones como la suma de
raíces de igual índice.
n n n
Se da de la siguiente forma: a b b a
** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera ser
no entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar:
2
288 12 2 12 2

23. Vamos resolvamos:
Se puede ver dos
2 posibilidades:
20 2 5 2 5 • simplificar una
raíz, dejándola
2
7 2 7 2 98 mas simple
• O realizar una
3 3 3 3 raíz, juntando
250 5 2 5 2
términos, pero de
esta forma queda
una raíz muy
compleja.

24. Racionalización de denominadores:
• La idea es dejar los denominadores sin expresiones con
raíces para poder trabajar mas fácilmente.
• Consiste en eliminar los radicales de los denominadores.
3 3 2 3 2 3 2
2 2 2 4 2
3 2 3 2 3 2 3 2
3 3 2 3 2 3 2 3 2
3 3 2 3 2 3 3
2 3
2 2 2 2 2 2
En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que el
radicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo índice, para así poder
eliminarse con la raíz, y en el denominador queda sin términos con raíces.

25. • En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplica
la suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores se
eliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positiva
o negativa), así se eliminan las raíces en el denominador.
• Se presentan los siguiente casos de expresiones:
1 1 5 2 5 2 5 2
2 2
5 2 5 2 5 2 5 2 3
1 1 5 2 5 2 5 2
2 2
5 2 5 2 5 2 5 2 3

26. Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debe
amplificar usando la formula dada de potencias cúbicas:
3 3 2 2
a b a b a ab b
3 3 2 2
a b a b a ab b
3 2 3 2 3 2 3 2
2 2 3 6 2 2 3 6 2
3 3 3 3 3 2 3 2
3 2 3 2 3 6 2 5
Hay otros tipos mas de nacionalización que son mucho mas específicos pero
evoquémonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios.

27. • Cuando tenemos una adición en trinomios se agrupan
dos términos para dejarlos como suma por diferencia a
la hora de multiplicar, así luego de resolver queda una
suma por diferencia simple:
3 3 5 2 3 5 2 3 3 5 2 3 3 5 2 3
2 2
5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 2 10 4 2 10
3 5 2 3 3 5 2 3 2 2 10 5 2 3 2 10 5 2 3 2 10
4 2 10 4 10 4 2 10 16 8 10 8 10 4 100 4
Luego de resolver el trinomio, resolvemos el binomio
resultante igual que si fuera suma por diferencia, y así
se elimina términos con raíces en el denominador, y en
este caso nos queda con denominador 4.

28. Te invito a resolver los siguientes ejercicios:
2
1) _____
2
3
2) _____
2 5
1
3) _____
3
9

29. SOLUCIONES
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
espero que te haya ido bien.
1. 2
2. - 2 5
3
81
3.
9
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o
tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y
encontrarás algunos links para reforzarte.

30. Ecuaciones irracionales:
son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical,
para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice de
la raíz, para eliminarla:
Ejemplos: 6 3
3x 3 3 / ()
2
3
6 + 3x + 3 9 / -6
3 3
3x + 3 3 / ()
2x 1 2 7 / - 2 3x + 3 = 27 / -3
2
2x - 1 = 5 / () 3x = 24 / :3
2 2
2x - 1 5 x = 8
2x - 1 = 25 / +1
2x = 26 / : 2
x = 13

31. PRACTIQUEMOS UN POCO
1. x 1 x 3
2. x 3 5
3. x( x 3) x 5
2
4. x 4 3 x 2

32. SOLUCIONES:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
espero que te haya ido bien.
1 . x1 5 x 2
2
2. x 28
25
3. x
13
3
4. x
2
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o
tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y
encontrarás algunos links para reforzarte.

33. Cotrol: veamos si aprendiste
2n n 2
n
3
3 6 2 6 3 15
8+ 8 + 4 64 a
6
1 1
64 3 + 0,027 3
n 3n 4n
1 1
a b
2 3
4 +8 5
18a
2 64 + 7 3 27 16 c
3
3
n 4n 2n n 16x
a b c 5
9y
8 4
7a b
3+ 3- x -1 2
x 2 3
2
5- 3x + 1 0
x 2
2 2
8x 9 2x 3
5 2
1 - 2 14
3
7 2
5 3

34. EJERCICIOS RESUELTOS
2
2 3 2 3 3
3 2 3 3 2
Ejemplo 1 3
8 8 2 2 2 4
64
3 3 3 3 3 1
64 4 4 4 4
1 1
12 2 1
5 3 5 3 5 2 3 2 2 12 1 12
Ejemplo 2 864 2 3 2 3 2 3 2 2
3 2
2 2 3 3
2 12
2 3 2 3 12 6
13 13 13
3
Ejemplo 3 z
13
3 1 z
13
1 z
13
1 z
13
19 1
1 z 19
z

35. EJERCICIOS RESUELTOS
13 13
6a 6a
8x 8x
6a 8x 8
13
x
2a
2x
2a
Ejemplo 4 3
3b 3b 13 13 b b
27 y 27 y 27 y
3b 27 y 3y
13
2 2
2 3 3 6 4 3 3 6 4
0 .0 0 8 0 .0 0 6 4 2 10 2 10 2 10 2 10
Ejemplo 5 3
2
3
3 4
2
3 4
2
80000 2 10 2 10
13
12 10
2 10 6 18
13
2 6
6 8
2 10 2 10 0 .0 0 0 0 0 4
2 10
2 13
Ejemplo 6 3
576 3
24
3
24
3
2
3
3 2
3
3 2 3
3

36. Ejemplo 7 Si a1 2 , a2 2 2 , a3 2 2 2 , a4 2 2 2 2 ,
exprese como potencia fraccionaria de 2 cada uno de
los términos de la sucesión anterior, y obtenga en la
misma forma el término an de la sucesión, en donde n
es un número entero positivo.
Solución Nótese que:
2 1
12 2
a1 2 2 ,
2
2 1
12
12 3 2
2 2
2
a2 2 2 2 2 2 2
3
12 2 1
12
12 7 2
3 3
2
a3 2 2 2 2 2 2 2 2
12 4
12 15 2 1
12
12 4 4
a4 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2
n
2 1
Entonces: an 2 2
n