Manipulador Grados de Libertad Cinemática Cinemática Directa Cinemática Inversa

2. CINÉTICA DE UN ROBOT
Inteligencia Artificial
24 DE SEPTIEMBRE DE 2014
UNSLG-ICA

4. Contenido
Introducción...........................................................................................................................................................3
El brazo o manipulador .........................................................................................................................................3
Campo de acción.................................................................................................................................................4
Cinética o Cinemática..........................................................................................................................................5
Grados de Libertad ...............................................................................................................................................6
Tipos de configuraciones morfológicas ...........................................................................................................8
Cartesiana / Rectilínea...................................................................................................................................9
Cilíndrica........................................................................................................................................................10
Esférica / Polar...............................................................................................................................................11
De Brazo articulado / Articulación esférica / Articulación coordinada / Rotación / Angular .............11
SCARA............................................................................................................................................................12
Espacio (volumen) de trabajo............................................................................................................................13
Cinemática Directa .............................................................................................................................................14
El problema cinemático directo.....................................................................................................................16
La representación de Denavit-Hartenberg ...................................................................................................17
Cinemática Inversa..............................................................................................................................................18
Cinemática inversa: Métodos.........................................................................................................................21
Método Geométrico ....................................................................................................................................21
Resolución a partir de matrices de transformación homogénea ...........................................................21
Desacoplamiento cinemático ....................................................................................................................22
Diseño y sensores del manipulador....................................................................................................................22
El mando adaptable de un manipulador remoto. ..........................................................................................22
Bibliografía ............................................................................................................................................................24

5. Cinética del Robot
Introducción
Los robots clásicos presentan una arquitectura antropomórfica serial, semejante al brazo humano. Consisten de una serie de barras rígidas unidas entre sí a través de articulaciones de un grado de libertad del tipo rotacional o prismática. En general cada articulación logra su movimiento a través de un accionamiento de potencia e incluye otros dispositivos como reductores de velocidad, frenos y sensores de posición o velocidad.
Aunque al definir las relaciones cinemáticas de un robot no se suelen consideran los aspectos dinámicos, nada más alejado de la realidad cuando se quiere diseñar un robot ya que existe una inevitable relación causa-efecto entre la cinemática y la dinámica.
Las arquitecturas de los robots clásicos presentan una serie de propiedades dinámicas y estructurales caracterizadas por una gran rigidez estructural, repetitividad y elevado peso propio. El elevado peso propio de los robots clásicos limita la capacidad carga útil y las velocidades de trabajo, las cuales usualmente están en torno a los 60 grados/seg. Para las primeras tres articulaciones de los robots industriales (robots de soldadura) y 250 grados/seg. Para los robots pequeños de altas prestaciones como el STÄUBLI RX90.
El brazo o manipulador
La estructura mecánica del manipulador puede ser tan variada como los fabricantes que las hacen. Pero generalmente se pueden distinguir cuatro partes principales en el manipulador: el pedestal, el cuerpo, el brazo y el antebrazo.

6. Figura 1.1: Brazo robótico jugador de baloncesto(Universidad Nacional de Chiao-Tung).
Las articulaciones entre las distintas partes rígidas del brazo pueden ser giratorias (como las del brazo humano) o deslizantes (si hay traslación de las partes). El número de elementos del brazo y sus articulaciones determinan una característica propia de cada robot. Al número de movimientos espaciales independientes entre sí se le denomina grados de libertad.
Campo de acción
Debido a la estructura de las articulaciones y al número de ellas existente, el brazo del robot puede llegar a alcanzar ciertos puntos del espacio, pero nunca todos. Al conjunto de los puntos del espacio que el robot puede alcanzar con su herramienta se le denomina campo de acción, y es una característica propia de cada robot.
Los fabricantes nos ofrecen en sus catálogos todo un montón de dibujitos en los que podemos ver las zonas que el robot alcanza y las que no.
Hay otras tres características que definen la calidad del movimiento de un robot:
• Resolución (o precisión). Es el mínimo movimiento que puede realizar el robot expresado en milímetros.
• Repetitividad. Es una medida estadística del error que comete un robot al colocarse repetidas veces en un mismo punto.

7. • Exactitud. Es una medida de la distancia que hay entre el punto donde se ha colocado el extremo del brazo y el punto real donde debería haberlo hecho.
Cinética o Cinemática
La cinemática es la rama de la física que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo originan (las fuerzas) y se limita, esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. La aceleración es el ritmo con el que cambia la velocidad. La velocidad y la aceleración son las dos principales magnitudes que describen cómo cambia la posición en función del tiempo.
Para controlar la posición debemos conocer las propiedades dinámicas del sistema con el fin de saber cuánta fuerza se requiere para lograr moverlo, ya sea poca fuerza, el sistema responderá de na forma muy lenta; encambio si aplicamos demasiada fuerza, el sistema puede golpear contra objets u oscilar sobre la posicion deseada.
La cinemática de robots industriales y de brazos manipuladores hace referencia al estudio de su movimiento respecto de un sistema de coordenadas fijo (o global) en función del tiempo, independientemente de las causas que lo producen (sean fuerzas o momentos).
La cinemática del brazo del robot trata con el estudio analítico de la geometría del movimiento de un robot con respecto a un sistema de coordenadas de referencia fijo como una función del tiempo sin considerar las fuerzas-momentos que originan dicho movimiento.
Un robot industrial es un manipulador que puede realizar diversas tareas, dentro de un espacio de trabajo determinado. Como cualquier otro mecanismo, está formado por varios elementos relacionados entre sí mediante pares cinemáticos, R y P (rotación traslación),en la mayoría de los casos. La estructura empleada en los robots es, habitualmente, disponer, sólo, dos pares cinemáticos en cada elemento. De este modo, uno de los elementos (el primero) se une al soporte o base fija, mientras que el otro (el último) está libre y dispone de una herramienta o mano de sujeción que le permite manipular y/o trabajar sobre los objetos.

8. Obtener las ecuaciondes de movimiento no es tarea sencilla debido al gran número de grados de libertad y no linealidades del sistema. Existen dos problemas fundamentales en la cinemática del robot.
 Problema cinemático directo.
 Problema cinemático inverso.
Grados de Libertad
Generalmente un brazo mecánico o manipulador. Está formado por una serie de elementos estructurales sólidos o eslabones unidos mediante articulaciones que permiten un movimiento relativo entre cada dos eslabones consecutivos.
Cada uno de los movimientos independientes (giros y desplazamientos) que puede realizar cada articulación con respecto a la anterior. Son los parámetros que se precisan para determinar la posición y la orientación del elemento terminal del manipulador. El número de grados de libertad del robot viene dado por la suma de los GDL de las articulaciones que lo componen. Puesto que las articulaciones empleadas suelen ser únicamente de rotación y prismáticas, con un solo grado de libertad cada una, el número de GDL del robot suele coincidir con el número de articulaciones que lo componen.
Puesto que para posicionar y orientar un cuerpo de cualquier manera en el espacio son necesarios seis parámetros, tres para definir la posición y tres para la orientación, si se pretende que un robot posicione y oriente su extremo (y con él la pieza o herramienta manipulada) de cualquier modo en el espacio, se precisará al menos seis grados de libertad.

9. Fig. 1.2: En la imagen se muestra el esquema de un robot de estructura moderna con 6 GDL; tres de ellos determinan la posición del aprehensor en el espacio (q1, q2 y q3) y los otros 3, la orientación del mismo (q4, q5 y q6).
Un mayor número de grados de libertad conlleva un aumento de la flexibilidad en el posicionamiento del elemento terminal. Aunque la mayoría de las aplicaciones industriales requieren 6 GDL, como las de la soldadura, mecanizado y palatización, otras más complejas requieren un número mayor, tal es el caso en las labores de montaje. Si se trabaja en un entorno con obstáculos, el dotar al robot de grados de libertad adicionales le permitirá acceder a posiciones y orientaciones de su extremo a las que, como consecuencia de los obstáculos, no hubieran llegado con seis grados de libertad. Otra situación frecuente es dotar al robot de un grado de libertad adicional que le permita desplazarse a lo largo de un carril aumentando así el volumen del espacio al que puede acceder. Tareas más sencillas y con movimientos más limitados, como las de la pintura y palatización, suelen exigir 4 o 5 GDL.

10. Fig. 1.3: Brazos robóticos en fabricación de vehículos.
Cuando el número de grados de libertad del robot es mayor que los necesarios para realizar una determinada tarea se dicen que el robot es redundante.
Observando los movimientos del brazo y de la muñeca, podemos determinar el número de grados de libertad que presenta un robot. Generalmente, tanto en el brazo como en la muñeca, se encuentra un abanico que va desde uno hasta los tres GDL. Los grados de libertad del brazo de un manipulador están directamente relacionados con su anatomía o configuración.
Tipos de configuraciones morfológicas
La estructura del manipulador y la relación entre sus elementos proporcionan una configuración mecánica, que da origen al establecimiento de los parámetros que hay que conocer para definir la posición y orientación del elemento terminal. Fundamentalmente, existen cuatro estructuras clásicas en los manipuladores, que se relacionan con los correspondientes modelos de coordenadas en el espacio y que se citan a continuación: cartesianas, cilíndricas, esféricas, angulares. Así, el brazo del manipulador puede presentar cuatro configuraciones clásicas:
• Cartesiana
• Cilíndrica

11. • Esférica
• De brazo articulado o angulares
Y una no clásica:
• SCARA (Selective Compliance Assembly Robot Arm).
El empleo de diferentes combinaciones de articulaciones en un robot, da lugar a diferentes configuraciones morfológicas, con características a tener en cuenta tanto en el diseño y construcción del robot como en su aplicación. Las combinaciones más frecuentes son con tres articulaciones, que son las más importantes a la hora de posicionar su extremo en un punto en el espacio. A continuación se presentan las características principales de las configuraciones del brazo manipulador.
Cartesiana / Rectilínea
El posicionando se hace en el espacio de trabajo con las articulaciones prismáticas. Esta configuración se usa bien cuando un espacio de trabajo es grande y debe cubrirse, o cuando la exactitud consiste en la espera del robot. Posee tres movimientos lineales, es decir, tiene tres grados de libertad, los cuales corresponden a los movimientos localizados en los ejes X, Y y Z.
Los movimientos que realiza este robot entre un punto y otro son con base en interpolaciones lineales. Interpolación, en este caso, significa el tipo de trayectoria que realiza el manipulador cuando se desplaza entre un punto y otro. A la trayectoria realizada en línea recta se le conoce como interpolación lineal y a la trayectoria hecha de acuerdo con el tipo de movimientos que tienen sus articulaciones se le llama interpolación por articulación.

12. Fig. 1.4: manipulador cartesiano
Cilíndrica
El robot tiene un movimiento de rotación sobre una base, una articulación prismática para la altura, y una prismática para el radio. Este robot ajusta bien a los espacios de trabajo redondos. Puede realizar dos movimientos lineales y uno rotacional, o sea, que presenta tres grados de libertad.
Este robot está diseñado para ejecutar los movimientos conocidos como interpolación lineal e interpolación por articulación. La interpolación por articulación se lleva a cabo por medio de la primera articulación, ya que ésta puede realizar un movimiento rotacional.
Fig. 1.5: manipulador cilíndrico

13. Esférica / Polar
Dos juntas de rotación y una prismática permiten al robot apuntar en muchas direcciones, y extender la mano a un poco de distancia radial. Los movimientos son: rotacional, angular y lineal. Este robot utiliza la interpolación por articulación para moverse en sus dos primeras articulaciones y la interpolación lineal para la extensión y retracción.
Fig. 1.6: manipulador Esférico o Polar.
De Brazo articulado / Articulación esférica / Articulación coordinada / Rotación / Angular
El robot usa 3 juntas de rotación para posicionarse. Generalmente, el volumen de trabajo es esférico. Estos tipos de robot se parecen al brazo humano, con una cintura, el hombro, el codo, la muñeca. Presenta una articulación con movimiento rotacional y dos angulares. Aunque el brazo articulado puede realizar el movimiento llamado interpolación lineal (para lo cual requiere mover simultáneamente dos o tres de sus articulaciones), el movimiento natural es el de interpolación por articulación, tanto rotacional como angular.

14. Fig. 1.7: manipulador angular.
SCARA
Similar al de configuración cilíndrica, pero el radio y la rotación se obtiene por uno o dos eslabones. Este brazo puede realizar movimientos horizontales de mayor alcance debido a sus dos articulaciones rotacionales. El robot de configuración SCARA también puede hacer un movimiento lineal (mediante su tercera articulación).
Fig. 1.8: manipulador tipo SCARA.

15. Espacio (volumen) de trabajo
Las dimensiones de los elementos del manipulador, junto a los grados de libertad, definen la zona de trabajo del robot, característica fundamental en las fases de selección e implantación del modelo adecuado.
La zona de trabajo se subdivide en áreas diferenciadas entre sí, por la accesibilidad especifica del elemento terminal (aprehensor o herramienta), es diferente a la que permite orientarlo verticalmente o con el determinado ángulo de inclinación.
También queda restringida la zona de trabajo por los límites de giro y desplazamiento que existen en las articulaciones.
El volumen de trabajo de un robot se refiere únicamente al espacio dentro del cual puede desplazarse el extremo de su muñeca. Para determinar el volumen de trabajo no se toma en cuenta el actuador final. La razón de ello es que a la muñeca del robot se le pueden adaptar grippers de distintos tamaños
Para ilustrar lo que se conoce como volumen de trabajo regular y volumen de trabajo irregular, tomaremos como modelos varios robots.
El robot cartesiano y el robot cilíndrico presentan volúmenes de trabajo regulares. El robot cartesiano genera una figura cúbica.

16. El robot de configuración cilíndrica presenta un volumen de trabajo parecido a un cilindro (normalmente este robot no tiene una rotación de 360°)
Por su parte, los robots que poseen una configuración polar, los de brazo articulado y los modelos SCARA presentan un volumen de trabajo irregular.
Cinemática Directa
La cinemática es la ciencia que trata el movimiento sin considerar las fuerzas que lo ocasionan. Dentro de la cinemática se estudian la posicion, velocidad, aceleración y todas las derivadas de mayor orden de las variables de posicion (respecto al tiempo o a cualquier otra variable). Por ende, el estudio de la cinemática de los maipuladores se refiere a las propiedades del movimiento, las geométricas y las basadas en tiempo.

17. Figura 1.9: El sistema de coordenadas o “Trama” se adjunta a los manipuladores y a los objetos e el ambiente.
Los manipuladores consisten de vinculos casi rigidos, los cuales están conectados por articulaciones que permiten el movimeinto relativo de los vinculos adyacentes.
Estas articulaciones generalmente se instrumentan con sensores de posicion, los cuales permiten medir la posicion relativa de los vinculos adyacentes. En el caso de las articulaciones giratorias o angulares, estos desplazamientos se conocen como ángulos articulados.
Un problema muy básico en el estudio de la manipulación mecánica se conoce como cinemática directa, que es el problema geométrico estático de calcular la posición y orientacion del efector final del manipulador. Específicamente, dado un conjunto de ángulos articulares, el problema de la cinemática directa es calcular la pososición y orientacion de la trama de la herramienta relativa a la trama base. Imaginemos que es como cambiar la representación de la posicion del manipulador: de una descripcion en el espacio de la articulacion a una descripcion en el espacio cartesiano.

18. El problema cinemático directo
El problema cinemático directo se plantea en términos de encontrar una matriz de transformación que relaciona el sistema de coordenadas ligado al cuerpo en movimiento respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia. Para lograr esta representación se usan las matrices de transformación homogénea 4x4, la cual incluye las operaciones de traslación y la orientación.
La matriz de transformación homogénea es una matriz de 4x4 que transforma un vector expresado en coordenadas homogéneas desde un sistema de coordenadas hasta otro sistema de coordenadas.
La matriz de transformación homogénea tiene la siguiente estructura:
Donde los vectores n, s, a, son vectores ortogonales unitarios y p es un vector que describe la posición x, y, z del origen del sistema actual respecto del sistema de referencia.
Para entender las propiedades de la matriz de transformación homogénea nos fijamos en el siguiente gráfico.
Figura 1.10: Interpretación geométrica de la matriz de transformación homogénea.

19. Al analizar las columnas de la submatriz de rotación de la matriz de transformación homogénea iTj , un observador localizado en el origen de sitema- i, puede ver como están orientados los ejes x, y, z del sistema-j, además también observa como se ha desplazado en coordenadas cartesianas el origen del sistema-j respecto del origen del sistema de referencia con la información del vector de posición.
La representación de Denavit-Hartenberg
Denavit y Hartenberg propusieron un método sistemático para descubrir y representar la geometría espacial de los elementos de una cadena cinemática, y en particular de un robot, con respecto a un sistema de referencia fijo. Este método utiliza una matriz de transformación homogénea para descubrir la relación espacial entre dos elementos rígidos adyacentes, reduciéndose el problema cinemático directo a encontrar una matriz de transformación homogénea 4 X 4 que relacione la localización espacial del robot con respecto al sistema de coordenadas de su base.
La representación de D-H, se aplica a robots de cadena cinemática abierta y consiste en una serie de reglas para colocar los sistemas de referencia de cada eslabón del robot. Antes de aplicar el método de D-H es importante tener en cuenta los siguientes comentarios:
• Se parte de una configuración cualesquiera del robot, si bien es aconsejable colocarlo en una posición sencilla de analizar.
• Se numeran los eslabones, asignando el 0 para la base y n-1 para el último eslabón, siendo n el número de grados de libertad del robot.
• El sistema de coordenadas orto normal dextrógiro de la base (푥푥0,푦푦0,푧푧0) se establece con el eje z0 localizado a lo largo del eje de movimiento de la articulación 1 y apuntando hacia fuera del hombro del brazo del robot.

20. • El sistema de referencia de cada eslabón se coloca al final del mismo, en el extremo de la articulación a la cual está conectado el eslabón siguiente.
• El ángulo o desplazamiento de cada eslabón siempre se mide tomando como base el sistema de referencia del eslabón anterior.
La matriz de transformación homogénea propuesta por Denavit- Hartenberg para la solución de este modelo es la que se muestra a continuación:
De esta matriz ai representa lo largo del eslabón al que se esté haciendo referencia en el subíndice i, di es la distancia entre articulaciones, es decir, es cuando el eslabón no está unido exactamente a la base del motor, existe una distancia representada por este parámetro, si este perno o distancia está desfasado un determinado ángulo este se representa mediante αi, finalmente θi representa el ángulo de giro de la articulación, es decir, el ángulo que gira el motor del eslabón i.
Cinemática Inversa
En Robótica, la Cinemática inversa (IK) es la técnica que permite determinar el movimiento de una cadena de articulaciones para lograr que un actuador final se ubique en una posición concreta. El cálculo de la cinemática inversa es un problema complejo que consiste en la resolución de una serie de ecuaciones cuya solución normalmente no es única.
Este problema se plantea de la siguiente manera: dada la posición y orientación del efector final del manipulador, calcule todos los conjuntos posibles de ángulos articulares que podrían utilizarse para obtener esta posición y orientación dadas.
El problema de la cinemática inversa no es tan simple como el de la cinemática directa. Debido a que las ecuaciones cinemáticas son no lineales, su solución no

21. es siempre sencilla en una forma cerrada. Además, surgen preguntas sobre si existe una solución o existen múltiples soluciones.
El estudio de estas cuestiones hace que apreciemos lo que la mente humana y el sistema nervioso logran realizar cuando, al parecer, movemos y manipulamos objetos con nuestros brazos y manos.
La existencia o inexistencia de una solución cinemática define el espacio de trabajo de un manipulador dado. La falta de una solución significa que el manipulador que el manipulador no puede obtener la posición y orientación deseadas, ya que se encuentran fuera del espacio de trabajo del manipulador.
Figura 1.11: Brazo Robot SCARA.
La cinemática inversa más sencilla es la que se aplica al brazo robot tipo SCARA y brazo robot cilíndrico. En el brazo SCARA tenemos que resolver los dos ángulos de las articulaciones. En este tipo de brazos el eje Z no interviene en la cinemática inversa porque es un resultado en sí mismo. Desde el punto de vista del cálculo sólo tenemos en cuenta los ejes X e Y, y la longitud de las articulaciones.

22. El triángulo formado por LongBrazo, LongAntBr e Hipotenusa suele ser del tipo irregular, sobre todo si los dos catetos (LongBrazo y LongAntBr) no son iguales. Para resolver los ángulos de este tipo de triángulo hay que aplicar el Teorema del Coseno.

23. Cinemática inversa: Métodos
Método Geométrico
- Se suele utilizar las primeras variables articulares.
- Uso de relaciones geométricas y trigonométricas (resolución de triángulos).
Es adecuado para robots de pocos grados de libertad o para el caso de que se consideren solo los primeros grados de libertad para posicionar el extremo.
El procedimiento se basa en encontrar un número suficiente de relaciones geométricas en las que intervendrán las coordenadas del extremo del robot, sus coordenadas articulares y las dimensiones físicas de sus elementos.
• Robot con 3 GDL.
• Coordenas Px, Py, Pz
• Robot con estructura planar.
La orientación del último enlace es la suma de las variables articulares.
Resolución a partir de matrices de transformación homogénea
- Se despejan las n variables en función de las componentes de los vectores.
En principio es posible tratar de obtener el modelo cinemático inverso de un robot a partir del conocimiento de su modelo directo.

24. Es decir, suponiendo conocidas las relaciones que expresan el valor de la posición y orientación del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares, obtener por manipulación de aquellas las relaciones inversas. Sin embargo, en la práctica esta tarea no es trivial siendo en muchas ocasiones tan compleja que obliga a desecharla.
Desacoplamiento cinemático
- En robots de 6 GDL.
- Separación y posicionamiento.
Diseño y sensores del manipulador
Aunque los manipuladores son, en teoría, dispositivos universales que se aplican a muchas situaciones, la economía generalmente dicta que el dominio de la tarea deseada ejerce una influencia sobre el diseño mecánico del manipulador. Junto a otras cuestiones como el tamaño, la velocidad y la capacidad de carga, el diseñador debe también considerar el número de articulaciones y su arreglo geométrico. Estas consideraciones afectan el tamaño y la calidad del espacio de trabajo del manipulador, la rigidez de la estructura del manipulador y demás atributos.
Entre más articulaciones contenga el brazo de un robot, más destreza y capacidad tendrá. Desde luego que también será más difícil de construir y más costoso.
El mando adaptable de un manipulador remoto.
Un sistema de mando de robot causa a un manipulador remoto, seguir una trayectoria de referencia estrechamente en un marco de referencia Cartesiano en el espacio de trabajo, sin el recurso a un modelo matemático intensivo de dinámica del robot y sin el conocimiento del robot y parámetros de carga. El sistema, derivado de la teoría lineal multivariable, utiliza a los manipuladores delanteros relativamente simples y controladores de retroalimentación con modelo y adaptable de referencia del mando. El sistema requiere dimensiones de posición y velocidad del extremo manipulador del efector. Éstos pueden

25. obtenerse directamente de los sensores ópticos o por cálculo que utiliza las relaciones de la cinemática conocidas entre el manipulador modelado y el extremo de la juntura de la posición del efector. Derivando las ecuaciones de control, las ecuaciones diferenciales no lineales acopladas a la dinámica del robot, expresan primero la forma general de la cinemática, entonces la linealización por cálculo de perturbaciones sobre una específica operación del punto en las coordenadas Cartesianas del extremo del efector. El modelo matemático resultante es un sistema multivariable lineal de orden de 2n (donde n = es el número de coordenadas espaciales independientes del manipulador) esto expresa la relación entre los incrementos del actuador de n voltajes de control (las entradas) y los incrementos de las coordenadas de n, la trayectoria de extremo del efector (los rendimientos). La trayectoria del efector incrementa la referencia, la trayectoria se incrementa: esto requiere la retroalimentación independiente y controladores de manipulación. Para este propósito, le basta aplicar posición y retroalimentación de velocidad a través de la matriz de n x n posición y velocidad, la matriz de ganancia de retroalimentación.

26. Bibliografía
 Robótica 3ra edición 2006 John J. Craig Editorial Pearson
 http://forums.parallax.com/attachment.php?attachmentid=40183&d=1138274073
 http://www.academia.edu/5241556/Practicas_de_Robotica_utilizando_Matlab_
 http://www.noticiasinteresantes.info/brazo-robotico-jugador-de-baloncesto/
 http://www.monografias.com/trabajos31/robotica/robotica.shtml#fuerza
 http://html.rincondelvago.com/robotica_8.html
 bit.ly/Zdi8La
 bit.ly/1yrq6zz
 https://sites.google.com/site/proyectosroboticos/cinematica-inversa-i
 http://www.uaz.edu.mx/cippublicaciones/ricvol4num2tom1/Ingenierias/Cinematica.pdf
 http://es.wikipedia.org/wiki/Cinemática