Modelos básicos de inventarios para cadena de suministro

1. Administración de la
cadena de suministro:
Inventarios
Dr. Leonardo Gabriel Hernández Landa

2. Control de inventarios sujeto a
demanda conocida

3.  El problema fundamental de la administración de
inventarios se puede describir en forma sucinta con dos
preguntas:
 ¿Cuándo se debe hacer un pedido?
 ¿Cuánto se debe pedir?

4. Tipos de inventarios
• Recursos que requiere la actividad de
producción o procesamientoMaterias primas
• Artículos que todavía no han sido
terminados o subensamblesComponentes
• Inventario que espera en el sistema
para procesar o ser procesado
Trabajo en
proceso
• Artículos terminados o finales
Bienes
terminados

5. Motivación para mantener inventarios
Economías de escala
Incertidumbres
Especulación
Transporte
Suavizamiento
Logística
Costos de control

6. Características de los sistemas de
inventarios
1. Demanda
1. Constante o variable
2. Conocida o desconocida
2. Tiempo de demora
3. Tiempo de revisión
4. Exceso de demanda
5. Inventario cambiante

7. Costos relevantes
 Como nos interesa optimizar el sistema de inventarios
debemos determinar un criterio de optimización o de
eficiencia adecuado. Casi todos los modelos de inventario
usan la minimización del costo como criterio de
optimización.
 Un criterio alternativo de eficiencia podría ser la
maximización de la ganancia.

8. Costo de mantener inventario
 Entre los componentes del costo de
mantenimiento de inventario destacan:
 Costo de suministrar el espacio físico para almacenar
artículos.
 Impuestos y seguros
 Roturas, estropicios, deterioros y obsolencia
 Costos de oportunidad

9. Ejemplo
 28% = costo de capital
2% = Impuestos y seguros
6% = Costo de almacenamiento
1% = Costo de Rotura y deterioro
37% = Cargo total por interés
Esto se interpreta como un cargo de 37 centavos por cada
dólar invertido durante un año.

10. Ejemplo cont.
 Si tomamos i como la tasa de interés y c como el valor
monetario de la unidad de inventario y h como el costo de
mantener el inventario en dólares por unidad por año, tenemos.
ℎ = 𝑖𝑐
Por consiguiente
ℎ = .37 180 = 66.6
Si se mantuvieran 300 artículos por 5 años entonces el costo de
inventario durante ese periodo sería
5 300 66.6 = 99,900 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

11. Costo de pedido
 El costo de mantener inventario incluye a todos aquellos
costos que son proporcionales a la cantidad de inventario
a la mano mientas que el costo de pedido depende de la
cantidad de inventario que se pide o se produce.
 El costo de pedido tiene dos componentes: un fijo y un
variable.
 Sea 𝐾 el costo fijo independiente al volumen del pedido
 Y 𝑐 el costo variable proporcional al pedido.
 Se define 𝐶(𝑥) como el costo de pedir 𝑥 unidades
𝐶 𝑥 = ቊ
0 𝑠𝑖 𝑥 = 0,
𝐾 + 𝑐𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0

12. Costo de penalización
 Es el resultado de no tener existencias suficientes a la
mano para satisfacer la demanda cuando esta se presenta.
 Usaremos el símbolo 𝑝 para representar el costo de
penalización y se carga con base a las unidades.

13. Modelo de cantidad
económica de pedidos

14. Supuestos modelo básico
 La tasa de demanda es conocida y constante con 𝜆
unidades por unidad de tiempo.
 No se permiten faltantes
 No hay tiempo de demora de pedido
 Los costos incluyen
 Costo de preparación 𝐾 por pedido colocado
 Costo proporcional de pedido 𝑐
 Costo de mantener inventario ℎ
 Se supondrá que el inventario disponible en el tiempo
cero es cero
 Sea 𝑄 el tamaño del pedido

15. Niveles de inventario

16. Objetivo
 El objetivo es elegir Q tal que minimice el costo
promedio por unidad de tiempo.
 Se deduce una ecuación para calcular el costo promedio
anual en función del tamaño del lote Q
𝐶 𝑄 = 𝐾 + 𝑐𝑄
Para obtener el costo por pedido por unidad de tiempo se
divide entre T. Como se consumen Q unidades cada ciclo a
una tasa de 𝜆, en consecuencia 𝑇 = 𝑄/𝜆
El costo de mantener el inventario durante un ciclo es el
costo por unidad por el promedio si el decrecimiento es
continuo entonces este costo es
ℎ𝑄/2

17. Costo anual promedio
 Por lo tanto llamemos 𝐺 𝑄 al costo anual promedio:
𝐺 𝑄 =
𝐾 + 𝑐𝑄
𝑇
+
ℎ𝑄
2
=
𝐾 + 𝑐𝑄
𝑄
𝜆
+
ℎ𝑄
2
=
𝐾𝜆
𝑄
+ 𝜆𝑐 +
ℎ𝑄
2

18. Obteniendo punto óptimo
𝐺 𝑄 =
𝐾𝜆
𝑄
+ 𝜆𝑐 +
ℎ𝑄
2
𝐺′
𝑄 =
−𝐾𝜆
𝑄2
+
ℎ
2
𝐺′′ 𝑄 =
2𝐾𝜆
𝑄3
> 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑄 > 0
Si 𝐺′′ 𝑄 > 0 entonces 𝐺(𝑄) es una función convexa de 𝑄.
Por lo tanto el valor optimo de Q se presenta cuando 𝐺′ 𝑄 = 0.
𝑄∗
=
2𝐾𝜆
ℎ

19. Función de costo promedio anual

20. EJEMPLO
 En la papelería de la universidad se venden lápices a una
tasa constante de 60/semana. A la papelería le cuesta a $
0.02 y los vende a $ 0.15/pza. Cuesta $ 12 hacer el
pedido, y los costos de mantener el inventario se basan en
una tasa anual del 25%. Calcule la cantidad óptima de
lápices que debe comprar la papelería, así como el tiempo
entre la colocación de los pedidos. Cuales son los costos
anuales de mantener el inventario y de preparación para
éste artículo?

21. Inclusión del tiempo de demora
 Uno de los supuestos para deducir el modelo de cantidad económica de
pedido fue que no hay tiempo de demora del pedido. Ahora rebajaremos ese
supuesto.
 Supongamos en el ejemplo anterior que hay que pedir los lápices con 4 meses
de anticipación como se ilustra

22.  Llamaremos a este pedido, resurtido o reorden y será
identificado con el símbolo R, como el punto de reorden.
Esto es el producto del tiempo de demora por la tasa de la
demanda
𝑅 = 𝜆𝜏
Por ejemplo
𝑅 = (3120)(0.333)
Obsérvese que el tiempo de demora se ha convertido en
años antes de la operación. Es decir 𝜏 = 4 ∗
1
12
= 0.3333

23. Punto de reorden con tiempos de
demora mayores que un ciclo
 Un artículo cuya cantidad económica de pedido es de 25, tiene una
tasa de demanda de 500 unidades por año y un tiempo de demora de
6 semanas.
 El tiempo de ciclo es de 𝑇 =
25
500
= 0.05 años, es decir 2.6 semanas.
 La relación 𝜏/𝑇 es de 2.31, esto significa, que hay 2.31 ciclos en el
tiempo de demora. Cada pedido debe colocarse 2.31 ciclos por
adelantado.
 Por lo tanto calculamos el punto de reorden para 0.31 ciclos y
tenemos 𝜏 = 0.31 0.05 = 0.0155.
𝑅 = (0.0155)(500)

24. Análisis de sensibilidad
 De acuerdo al ejemplo de la papelería la cantidad de
reorden es de 3870 como indica la solución óptima.
 ¿Qué pasa si yo hago un pedido con cantidad diferente?

25. Solución universal para sensibilidad
 Sea G* el costo promedio anual de mantener inventario y de
preparación en la solución óptima.
𝐺∗
=
𝐾𝜆
𝑄∗
+
ℎ𝑄∗
2
=
𝐾𝜆
2𝐾𝜆
ℎ
+
ℎ
2
2𝐾𝜆
ℎ
= 2
𝐾𝜆ℎ
2
= 2𝐾𝜆ℎ
Entonces para cualquier Q,
𝐺 𝑄
𝐺∗
=
𝐾𝜆/𝑄 + (ℎ𝑄)/2
2𝐾𝜆ℎ
=
1
2𝑄
2𝐾𝜆
ℎ
+
𝑄
2
ℎ
2𝐾𝜆
=
1
2
𝑄∗
𝑄
+
𝑄
𝑄∗

26. Extensión de una tasa finita de
producción
 Un supuesto implícito en el modelo anterior es que el
producto es adquirido de un tercero, entonces se supone
que todo se entrega de una sola vez.
 Si deseamos aplicar la formula CEP cuando la producción
es finita debemos suponer una tasa de producción finita.

27. Tasa de producción finita
 Suponga que se producen artículos a
la tasa de P durante una corrida de
producción.
 Por factibilidad se requiere 𝑃 > 𝜆.
 Todos los supuestos serán iguales.

28. Definiciones
 Sea Q el tamaño de cada corrida de producción y T la longitud del
ciclo.
 Entonces 𝑇 = 𝑇1 + 𝑇2, siendo 𝑇1 el tiempo de subida(producción) y 𝑇2
el tiempo de bajada(consumo).
 Recuerde que las unidades consumidas es 𝜆𝑇 por ciclo, que debe ser
igual a las unidades consumidas 𝑄 en consecuencia 𝑄 = 𝜆T, por lo
tanto 𝑇 =
𝑄
𝜆
.
 Definimos H como el nivel máximo de inventario disponible.
 Como los artículos se producen a una tasa de P durante el tiempo 𝑇1,
entonces 𝑄 = 𝑃𝑇1es decir 𝑇1 =
𝑄
𝑃
.
 Se sabe por la figura
𝐻
𝑇1
= 𝑃 − 𝜆

29.  Entonces la función es:
𝐺 𝑄 =
𝐾
𝑇
+
ℎ𝐻
2
𝐺 𝑄 =
𝐾𝜆
𝑄
+
ℎ𝑄
2
1 −
𝜆
𝑃
Por lo tanto:
𝑄∗ =
2𝐾𝜆
ℎ(1 −
𝜆
𝑃
)

30. Ejemplo
 Una empresa local produce una memoria programable
EPROM para varios clientes industriales. Dicha empresa ha
experimentado una demanda relativamente constante de
2500 unidades por año. La EPROM se produce a una tasa
de 10000 unidades por año. El departamento de
contabilidad ha estimado que cuesta $50 iniciar una
corrida de producción, que la fabricación de cada unidad
le cuesta $2 y que el costo de mantener inventario se basa
en una tasa anual de 30% de interés. Calcule el tamaño
óptimo de una corrida de producción, su duración y el
costo anual de inventario, compra y preparación.

31. Referencias
 Nahmias, S., Castellanos, A. T., Murrieta, J. E. M., Hernández, F. G., Nudiug,
B., Juaárez, R. A., & Milanés, J. Y. (1999). Análisis de la producción y las
operaciones. Compañía Editorial Continental, SA.