1. Unidade 01 – Flexão Oblíqua
Resistência dos Materiais II
Elson Toledo
Flávia Bastos
Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora
versão 13.05
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 1 / 34
2. Flexão Oblíqua
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Caracterização da flexão oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Verificação da estabilidade
Momento fletor máximo
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 34
3. Flexão Oblíqua Introdução
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Caracterização da flexão oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Verificação da estabilidade
Momento fletor máximo
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 34
4. Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
O estudo da teoria de flexão realizado na Resistência dos Materiais I restringe-se
ao caso denominado flexão reta
y
z
Mz
LN
σx
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 34
5. Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
Carregamento situado no plano de
solicitação (PS)
o PS é um plano que intercepta a
seção segundo seu eixos principais
de inércia – dois para o retângulo
O eixo de solicitação (ES ou ss) é
a interseção entre o PS e o plano
da seção
O momento fletor é perpendicular
ao eixo de solicitação
O plano de ocorre a flexão é o
plano de solicitação (PS)
A linha neutra (LN ou nn) é
definida como o lugar geométrico
das tensões normais nulas
y
z
PS
ES, ssMz
LN, ss
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6. Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
Para seções T e U constatamos duas possibilidades de flexão reta, segundo os
dois eixos principais de inércia (um deles é de simetria)
z
y
Mz
PS
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 4 / 34
7. Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
Para seções T e U constatamos duas possibilidades de flexão reta, segundo os
dois eixos principais de inércia (um deles é de simetria)
z
y
My
PS
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 4 / 34
8. Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
Para seções T e U constatamos duas possibilidades de flexão reta, segundo os
dois eixos principais de inércia (um deles é de simetria)
z
y
Mz z
y
My
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 4 / 34
9. Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
Como último exemplo temos as seções L com abas iguais, com os planos de
solicitação cortando a seção segundo seus eixos principais de inércia
y z
Mz
y z
My
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10. Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
Os casos em seguida mostram que dependendo da posição do plano de solici-
tação as seções estarão submetidas a um tipo de flexão diferente
z
M
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11. Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
Isso ocorre mesmo em casos de
seções com dois eixos de simetria,
como as seções retangulares
Está é denominada a flexão não
simétrica, oblíqua ou desviada
Nestes casos, o ES (ss) não é ⊥ a
LN
É necessário determinar a
posição da LN, a partir do con-
hecimento da posição do eixo de
solicitação (ss)
y
z
M
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12. Flexão Oblíqua Caracterização da flexão oblíqua
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Caracterização da flexão oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Verificação da estabilidade
Momento fletor máximo
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 8 / 34
13. Flexão Oblíqua Caracterização da flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Caracterização da flexão oblíqua
Vamos considerar uma seção transversal qualquer, como a origem do sistema de
eixos em seu centroide C
y
z
M
M
y
z
Mz
My
ES, ss
π
2
C
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14. Flexão Oblíqua Caracterização da flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Caracterização da flexão oblíqua
Casos de ocorrência
1
1http://www.uff.br/petmec/downloads/resmat/E%20-%20Flexao%20Pura.pdf
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 9 / 34
15. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Caracterização da flexão oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Verificação da estabilidade
Momento fletor máximo
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 10 / 34
16. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Situação na flexão oblíqua
n
n
s
s
M
PS
dA
dF
z
y
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 10 / 34
17. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Na flexão oblíqua, as seções giram em torno de um eixo chamado Eixo Neutro
ou Linha Neutra (LN)
O PS não é mais o plano de flexão como ocorre na flexão reta
n n
s
s
M
u
v
u
δdx
dϕ
dϕ
ES
LN
dx
ρ
G0 G
f
f
P
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 11 / 34
18. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Seja P um ponto genérico da seção e u a distância de P à LN
dx a distância entre duas seções transversais adjacentes
dϕ o giro relativo entre as duas seções separadas por dx
ρ o raio de curvatura sofrido pela fibra após a deformação
δdx o alongamento sofrido pela fibra dx cuja posição é definida por u e v
n n
s
s
M
u
v
u
δdx
dϕ
dϕ
ES
LN
dx
ρ
G0 G
f
f
P
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 11 / 34
19. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Temos que
εx =
δdx
dx
=
u tan dϕ
dx
=
udϕ
dx
=
udϕ
ρdϕ
=
u
ρ
Pela lei de Hooke
σx = Eεx =
Eu
ρ
⇒
E
ρ
=
σx
u
n n
s
s
M
u
v
u
δdx
dϕ
dϕ
ES
LN
dx
ρ
G0 G
f
f
P
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 11 / 34
20. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Outra maneira de chegarmos as mes-
mas expressões:
O plano de solicitação PS não con-
tém um dos eixos principais de inér-
cia
A interseção do PS com o plano da
seção define o eixo de solicitação
(ES)
O momento interno M é ⊥ ao ES e é
decomposto segundo a LN
Mn = M cos θ
onde θ é o ângulo entre o ES e a LN
As seções giram em torno de um
eixo denominado eixo neutro ou
linha neutra (LN, nn)
y
z C
ES
M
α
β
θMn
B
LN, nn
P
u
β
v
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 12 / 34
21. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Seja P um ponto genérico da seção
u a distância de P à LN
dx a distância entre duas seções
transversais adjacentes
ρ o raio de curvatura sofrido pela
fibra após a deformação
dX o comprimento de uma fibra a
distância u da LN
dϕ o giro relativo entre as duas
seções separadas por dx
ρ
dx
dϕ
LN
dX
u
y
z
C
ES
M
α
β
θMn
P
u
LN
y
z C
ES
M
α
β
θMn
B
LN
P
u
β
v
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 12 / 34
22. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Temos que
εx =
dX − dx
dx
=
(ρ + u)dϕ − ρdϕ
ρdϕ
=
u
ρ
Pela Lei de Hooke,
σx = Eεx =
Eu
ρ
⇒
E
ρ
=
σx
u
ρ
dx
dϕ
LN
dX
u
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 12 / 34
23. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Sabemos que o esforço normal na
seção é nulo (N = 0)
N =
A
σxdA =
A
Eu
ρ
dA =
E
ρ A
udA = 0
O que permite escrever
u =
A
udA = 0
Conclusões:
u é a distância da LN ao centroide
da seção
A LN é baricêntrica (passa pelo
centroide da seção)
y
z C
ES
M
α
β
θMn
B
LN, nn
P
u
β
v
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 12 / 34
24. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
O momento Mn com relação a LN é
dado por
Mn =
A
uσxdA =
A
Eu2
ρ
dA =
EIn
ρ
onde In = A
u2
dA
Daí temos que
Mn
In
=
E
ρ
=
σx
u
⇒ σx =
Mnu
In
Conclusões:
σx é um plano nas coordenadas u e
v (ou quaisquer coordenadas com
relação a quaisquer pares de eixos)
Comportamento similar ao da flexão
reta
y
z C
ES
M
α
β
θMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
P
u
β
v
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 12 / 34
25. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
O momento Ms com relação ao ES é
nulo pois M ⊥ ES
Ms =
A
vσxdA =
E
ρ A
uvdA = 0
Daí temos que
Ins =
A
uvdA = 0
onde Ins é o produto de inércia em
relação aos eixos oblíquos ES e LN
Conclusões:
ES e LN fazem parte da elipse cen-
tral de inércia da seção
y
z C
ES
M
α
β
θMn
B
LN, nn
P
u
β
v
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 12 / 34
26. Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Caracterização da flexão oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Verificação da estabilidade
Momento fletor máximo
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 13 / 34
27. Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Flexão Oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Seja P um ponto genérico distante u
da LN
In o momento de inércia com relação
a LN
α indica a posição do eixo de
solicitação (ES) em relação ao eixo z
β indica a posição da linha neutra
(LN) em relação ao eixo z
Temos que Ins = 0
Vamos mostrar que se y e z são eixos
principais de inércia, então
tan α tan β = −
Iz
Iy
y
z C
ES
M
α
β
θMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
P
u
β
v
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 13 / 34
28. Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Flexão Oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Para a determinação de In, sejam
α a posição relativa do ES ao eixo z
β a posição relativa da LN ao eixo z
dA um elemento de área com coor-
denadas y e z com relação a xCy
As coordenadas dA são u com re-
lação a LN e v com relação ao ES
A tranformação de coordenadas fica
v = y cos α − z sin α
u = z sin β − y cos β
E então
Ins = A
uvdA = 0
In = A
u2
dA
Is = A
v2
dA
z
y
α
β
α
α
β
β
α
β
u
v
ES
LN
dA
C
M
n
n
s
s
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 14 / 34
29. Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Flexão Oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Sabemos que
Ins = A
uvdA
= A
(z sin β − y cos β)(y cos α − z sin α)dA
= A
yz sin β cos α − z2
sin β sin α − cos α cos βy2
+ yz cos α cos β
= Iyz sin β cos α − Iy sin β sin α − Iz cos α cos β + Iyz cos α cos β
= (Iyz − Iy) sin β cos α + (Iyz − Iz) cos α cos β
= 0
Se y e z forem os eixos principais de inércia, Iyz = 0
Ins = −Iy sin β sin α − Iz cos α cos β
o que nos permite escrever (já que Ins = 0)
sin α
cos α
sin β
cos β
= −
Iz
Iy
⇒ tan α tan β = −
Iz
Iy
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 34
30. Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Flexão Oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Temos também que In = A
u2
dA, ou
In = A
(z sin β − y cos β)2
dA
= Iy sin2
β − 2Iyz sin β cos β + Iz cos2
β
Se y e z forem os eixos principais de
inércia, Iyz = 0
In = Iy sin2
β + Iz cos2
β
E por fim, com Mn = M cos θ, pode-
mos calcular
σn =
Mn
In
u
y
z C
ES
M
α
β
θMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
P
u
β
v
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 16 / 34
31. Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Flexão Oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
A flexão reta é um caso particular da flexão
oblíqua
Se M = Mz, então o eixo y é o eixo de solicitação
Cy ≡ ES
α = π
2
β = 0
Cz ≡ LN
u = y
Mn = Mz
In = Iz
Como resultado
σx =
Mn
In
u =
Mz
Iz
y
y ≡ ES
z ≡ LN
C
M
α
β = 0
P
u = y
M = Mz
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 17 / 34
32. Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Flexão Oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
A flexão reta é um caso particular da flexão
oblíqua
Se M = My, então o eixo z é o eixo de solicitação
Cz ≡ ES
α = 0
β = π
2
Cy ≡ LN
u = z
Mn = My
In = Iy
Como resultado
σx =
Mn
In
u =
My
Iy
z
y ≡ LN
z ≡ ES
C
M
α = 0
β
P
u = z
M = My
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 18 / 34
33. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Caracterização da flexão oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Verificação da estabilidade
Momento fletor máximo
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 34
34. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Flexão Oblíqua
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Hipóteses básicas
O momento M é decomposto em duas componentes My e Mz
O esforço normal é nulo (N = 0)
Regime de pequenas deformações
Material elástico linear ⇒ σx = Eεx
y
z CMz
My
+ –
+–
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 34
35. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Flexão Oblíqua
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Hipóteses básicas
Postulado de Navier-Bernoulli: seções planas normais ao eixo geométrico da barra
antes da deformação permanecem planas e normais a esse eixo após a deformação 2
z y
C
u(y, z) = Ay + Bz
2Essa hipótese foi originalmente usada por James Bernoulli (1654–1705), embora Louis
Navier (1785–1836) a tenha usado para desenvolver a primeira teoria completa sobre tensões em
vigas.
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 20 / 34
36. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Flexão Oblíqua
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Se a condição de Navier-Bernoulli prevalece, temos que o deslocamento na di-
reção normal ao eixo geométrico, para um dado valor de x, forma um plano que
passa pela origem, pode ser escrito
u = Ay + Bz
onde A = A(x), B = B(x) e podem ser consideradas constantes ao logo da seção
z y
C
u(y, z) = Ay + Bz
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 21 / 34
37. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Flexão Oblíqua
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
A deformação longitudinal fica
εx =
du
dx
=
d
dx
(Ay + Bz) =
dA
dx
y +
dB
dx
z = c1y + c2z
Considerando o regime elástico linear, temos que
σx = Eεx = E(c1y + c2z) = (Ec1)y + (Ec2)z) = ay + bz
A representação das tensões normais resulta em um plano que passa pela origem
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 22 / 34
38. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Flexão Oblíqua
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
E do equilíbrio das forças internas
Mz = A
σxydA = a A
y2
dA + b A
yzdA = aIz + bIyz
My = − A
σxzdA = −a A
yzdA − b A
z2
dA = −aIyz − bIy
y
z
σx
τxz
τxy
dA
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 23 / 34
39. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Flexão Oblíqua
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Rearranjando os termos
Mz = aIz + bIyz
My = −aIyz − bIy
→
Iz Iyz
−Iyz −Iy
a
b
=
Mz
My
Daí
a
b
=
1
IzIy − I2
yz
−Iy −Iyz
Iyz Iz
Mz
My
e os coeficientes ficam
a =
MzIy + MyIyz
IzIy − I2
yz
b = −
MyIz + MzIyz
IzIy − I2
yz
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 24 / 34
40. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Flexão Oblíqua
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Retornando em
σx = ay + bz
Temos para o caso de y ou z serem eixos quaisquer
σx =
MzIy + MyIyz
IzIy − I2
yz
y −
MyIz + MzIyz
IzIy − I2
yz
z
ou
σx =
(MzIy + MyIyz)y − (MyIz + MzIyz)z
IzIy − I2
yz
O método acima é útil quando as direções principais não são conhecidas, mas Iy,
Iyz e Iz podem ser determinados.
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 25 / 34
41. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Flexão Oblíqua
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Agora vamos supor que y ou z sejam os eixos principais de inércia
Se tal condição é válida temos Iyz = 0 e a expressão acima se reescreve como
σx =
Mz
Iz
y −
My
Iy
z
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 26 / 34
42. Flexão Oblíqua Verificação da estabilidade
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Caracterização da flexão oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Verificação da estabilidade
Momento fletor máximo
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 27 / 34
43. Flexão Oblíqua Verificação da estabilidade
Flexão Oblíqua
Verificação da estabilidade
A verificação da estabilidade consiste em comparar e asseguar-se que as máxi-
mas tensões normais atuantes sejam menores que os valores admissíveis
σc é a tensão máxima de compressão e σt é a tensão máxima de tração
Vamos definir A e B os pontos mais distantes da LN (mais solicitados), com uA e
uB as respectivas distâncias
y
z C
ES
M
α
β
θMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
P
u
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 27 / 34
44. Flexão Oblíqua Verificação da estabilidade
Flexão Oblíqua
Verificação da estabilidade
As seguintes têm que ser satisfeitas
σA =
MnuA
In
≤ σc
σB =
MnuB
In
≤ σt
Nas expressões acima não usamos nenhum sinal
Os sinais dependem da identificação prévia dos pontos onde ocorre tração ou
compressão
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45. Flexão Oblíqua Momento fletor máximo
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Caracterização da flexão oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Verificação da estabilidade
Momento fletor máximo
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
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46. Flexão Oblíqua Momento fletor máximo
Flexão Oblíqua
Momento fletor máximo
A partir da definição da LN e consequentemente das fibras mais solicitadas
podemos calcular a capacidade portante
Supondo Mmax o momento máximo que a seção pode estar submetida, temos
Mmax =
σtIn
u
Para o caso em análise, com A e B os pontos mais solicitados
Mmax ≤ min
σtIn
uB
,
σcIn
uA
y
z C
ES
M
α
β
θMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
P
u
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47. Flexão Oblíqua Resumo
Flexão Oblíqua
Resumo
My = M cos α; Mz = M sin α; tan α =
My
Mz
σx =
MzIy + MyIyz
IzIy − I2
yz
y −
MyIz + MzIyz
IzIy − I2
yz
z
tan α tan β = − Iz
Iy
(Eixos principais de inércia)
σx =
Mz
Iz
y −
My
Iy
z (Eixos principais de inércia)
σn =
Mn
In
u, In = Iy sin2
β − 2Iyz sin β cos β + Iz cos2
β
σA =
MnuA
In
≤ σc, σB =
MnuB
In
≤ σt
Mmax ≤ min
σtIn
uB
,
σcIn
uA
M
y
z
Mz
My
ES, ss
π
2
C
y
z C
ES
M
α
β
θMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
P
u
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48. Flexão Oblíqua Resumo
Flexão Oblíqua
Resumo
Se mudarmos a orientação do eixo z, os sinais de algumas as expressões anteri-
ores se alteram
σx =
MzIy − MyIyz
IzIy − I2
yz
y −
MyIz − MzIyz
IzIy − I2
yz
z
tan α tan β = + Iz
Iy
(Eixos principais de inércia)
M
y
z
Mz
My
ES, ss
π
2
C
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49. Flexão Oblíqua Exemplo 1
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Caracterização da flexão oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Verificação da estabilidade
Momento fletor máximo
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 32 / 34
50. Flexão Oblíqua Exemplo 1
Flexão Oblíqua
Exemplo 1
Para a seção ilustrada ao lado, pede-se calcular as
tensões nos vértices do retângulo, determinar a linha
neutra (LN, nn) e desenhar o diagrama de tensões
referenciado à LN.
Dados: M = 150 kNm; α = 70o
ES
y
z 60 cm
20 cm
C
M
70o
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51. Flexão Oblíqua Exemplo 2
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Caracterização da flexão oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Verificação da estabilidade
Momento fletor máximo
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
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52. Flexão Oblíqua Exemplo 2
Flexão Oblíqua
Exemplo 2
Para o perfil L (dimensões
em mm), pede-se determinar
a posição de nn e as tensões
máximas. Dados: M = 50 kNm.
ES
C
M
600
50
50
400
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53. Flexão Oblíqua Exemplo 3
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Caracterização da flexão oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Verificação da estabilidade
Momento fletor máximo
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
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54. Flexão Oblíqua Exemplo 3
Flexão Oblíqua
Exemplo 3
um momento M age na viga engastada de acordo com a figura. Determine a tensão
normal no pto A e a posição da LN. Cotas em mm. Dados: M = 1, 5(106
) Nmm.
y
z
12
12
12
100
80
C
M
A
M
A
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