1. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
´
ECUACIONES CUBICAS
W. Parra, R. C´rdenas, L. Castro
a
Universidad Pedag´gica Nacional
o
Departamento de Matem´ticas
a
15 de junio de 2012

2. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Temario
1 Historia
2 Tartaglia
3 Cardano
4 Ferrari

3. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Historia
Scipione Del Fierro
Fiori (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa

4. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Historia
Scipione Del Fierro
Fiori (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa

5. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Historia
Scipione Del Fierro
Fiori (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa

6. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Historia
Scipione Del Fierro
Fiori (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa

7. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Historia
Scipione Del Fierro
Fiori (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa

8. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Historia
Scipione Del Fierro
Fiori (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa

9. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Tartaglia
Cuando est´ el cubo con las cosas preso
a
y se iguala a alg´n n´mero discreto
u u
busca otros dos que difieran en eso.
Despu´s t´ har´s esto que te espeto
e u a
que su producto siempre sea igual
al tercio cubo de la cosa neto.
Despu´s el resultado general
e
de sus lados c´bicos bien restados
u
te dar´ a ti la cosa principal
a

10. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Tartaglia
Cuando est´ el cubo con las cosas preso
a
y se iguala a alg´n n´mero discreto
u u
busca otros dos que difieran en eso.
Despu´s t´ har´s esto que te espeto
e u a
que su producto siempre sea igual
al tercio cubo de la cosa neto.
Despu´s el resultado general
e
de sus lados c´bicos bien restados
u
te dar´ a ti la cosa principal
a

11. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Tartaglia
Cuando est´ el cubo con las cosas preso
a
y se iguala a alg´n n´mero discreto
u u
busca otros dos que difieran en eso.
Despu´s t´ har´s esto que te espeto
e u a
que su producto siempre sea igual
al tercio cubo de la cosa neto.
Despu´s el resultado general
e
de sus lados c´bicos bien restados
u
te dar´ a ti la cosa principal
a

12. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Tartaglia
Cuando est´ el cubo con las cosas preso
a
y se iguala a alg´n n´mero discreto
u u
busca otros dos que difieran en eso.
Despu´s t´ har´s esto que te espeto
e u a
que su producto siempre sea igual
al tercio cubo de la cosa neto.
Despu´s el resultado general
e
de sus lados c´bicos bien restados
u
te dar´ a ti la cosa principal
a

13. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108

14. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108

15. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108

16. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108

17. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108

18. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108

19. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108

20. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108

21. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108

22. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos
√
u = 10 + 108
El valor de x ser´ entonces:
a
3 √ 3 √
x= 10 + 108 − −10 + 108

23. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos
√
u = 10 + 108
El valor de x ser´ entonces:
a
3 √ 3 √
x= 10 + 108 − −10 + 108

24. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos
√
u = 10 + 108
El valor de x ser´ entonces:
a
3 √ 3 √
x= 10 + 108 − −10 + 108

25. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos
√
u = 10 + 108
El valor de x ser´ entonces:
a
3 √ 3 √
x= 10 + 108 − −10 + 108

26. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos
√
u = 10 + 108
El valor de x ser´ entonces:
a
3 √ 3 √
x= 10 + 108 − −10 + 108

27. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576),
a a
Roma.
• Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y
a e
Jugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones
a e
simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae
(1572).
• Ferrari, disc´
ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado.
o
M´todo 1, Modelo del cubo
e
x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1)
M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado
e o
x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)

28. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576),
a a
Roma.
• Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y
a e
Jugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones
a e
simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae
(1572).
• Ferrari, disc´
ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado.
o
M´todo 1, Modelo del cubo
e
x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1)
M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado
e o
x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)

29. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576),
a a
Roma.
• Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y
a e
Jugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones
a e
simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae
(1572).
• Ferrari, disc´
ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado.
o
M´todo 1, Modelo del cubo
e
x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1)
M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado
e o
x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)

30. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576),
a a
Roma.
• Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y
a e
Jugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones
a e
simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae
(1572).
• Ferrari, disc´
ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado.
o
M´todo 1, Modelo del cubo
e
x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1)
M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado
e o
x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)

31. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576),
a a
Roma.
• Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y
a e
Jugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones
a e
simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae
(1572).
• Ferrari, disc´
ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado.
o
M´todo 1, Modelo del cubo
e
x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1)
M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado
e o
x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)

32. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576),
a a
Roma.
• Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y
a e
Jugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones
a e
simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae
(1572).
• Ferrari, disc´
ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado.
o
M´todo 1, Modelo del cubo
e
x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1)
M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado
e o
x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)

33. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576),
a a
Roma.
• Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y
a e
Jugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones
a e
simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae
(1572).
• Ferrari, disc´
ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado.
o
M´todo 1, Modelo del cubo
e
x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1)
M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado
e o
x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)

34. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27

35. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27

36. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27

37. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27

38. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27

39. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27

40. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27

41. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27

42. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27

43. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Reemplazamos
1
3 3 1 2
t= − − =
27 27 3
Por ultimo, retomamos la primera sustituci´n y obtenemos el valor
´ o
de x
7 2 7
x =t+ →x = +
3 3 3
El valor de x ser´
a
x =3

44. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Reemplazamos
1
3 3 1 2
t= − − =
27 27 3
Por ultimo, retomamos la primera sustituci´n y obtenemos el valor
´ o
de x
7 2 7
x =t+ →x = +
3 3 3
El valor de x ser´
a
x =3

45. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Reemplazamos
1
3 3 1 2
t= − − =
27 27 3
Por ultimo, retomamos la primera sustituci´n y obtenemos el valor
´ o
de x
7 2 7
x =t+ →x = +
3 3 3
El valor de x ser´
a
x =3

46. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Reemplazamos
1
3 3 1 2
t= − − =
27 27 3
Por ultimo, retomamos la primera sustituci´n y obtenemos el valor
´ o
de x
7 2 7
x =t+ →x = +
3 3 3
El valor de x ser´
a
x =3

47. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Ferrari
Ferrari y Cardano estudiaron la soluc´n de las c´icas que Tartaglia
o u
les hab´ comunicado. Ferrari descubri´ tambi´n la soluci´n general
ıa o e o
de las ecuaciones de cuarto grado en 1540, con un bello argumento
reduc´ el problema a resolver una c´bica por el m´todo de
ıa u e
Tartaglia, como Cardano hab´ jurado a Tartaglia que no publicar´
ıa ıa
las soluci´n de las c´bicas, esos tampoco pod´ publicar la
o u ıa
soluciones de las cuarticas ya que depend´ de la soluci´n de las
ıan o
ecuaciones cubicas.

48. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Ferrari
Ferrari y Cardano estudiaron la soluc´n de las c´icas que Tartaglia
o u
les hab´ comunicado. Ferrari descubri´ tambi´n la soluci´n general
ıa o e o
de las ecuaciones de cuarto grado en 1540, con un bello argumento
reduc´ el problema a resolver una c´bica por el m´todo de
ıa u e
Tartaglia, como Cardano hab´ jurado a Tartaglia que no publicar´
ıa ıa
las soluci´n de las c´bicas, esos tampoco pod´ publicar la
o u ıa
soluciones de las cuarticas ya que depend´ de la soluci´n de las
ıan o
ecuaciones cubicas.

49. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Ferrari
Ferrari y Cardano estudiaron la soluc´n de las c´icas que Tartaglia
o u
les hab´ comunicado. Ferrari descubri´ tambi´n la soluci´n general
ıa o e o
de las ecuaciones de cuarto grado en 1540, con un bello argumento
reduc´ el problema a resolver una c´bica por el m´todo de
ıa u e
Tartaglia, como Cardano hab´ jurado a Tartaglia que no publicar´
ıa ıa
las soluci´n de las c´bicas, esos tampoco pod´ publicar la
o u ıa
soluciones de las cuarticas ya que depend´ de la soluci´n de las
ıan o
ecuaciones cubicas.

50. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 4 + 6x 3 = 6x 2 + 30x + 11
La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al lado
izquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x 2
x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 15x 2 + 30x + 11
(x 2 + 3x)2 = 15x 2 + 30x + 11

51. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 4 + 6x 3 = 6x 2 + 30x + 11
La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al lado
izquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x 2
x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 15x 2 + 30x + 11
(x 2 + 3x)2 = 15x 2 + 30x + 11

52. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 4 + 6x 3 = 6x 2 + 30x + 11
La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al lado
izquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x 2
x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 15x 2 + 30x + 11
(x 2 + 3x)2 = 15x 2 + 30x + 11

53. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 4 + 6x 3 = 6x 2 + 30x + 11
La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al lado
izquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x 2
x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 15x 2 + 30x + 11
(x 2 + 3x)2 = 15x 2 + 30x + 11

54. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Ahora, se debe usar la identidad anteriormente mencionada, por lo
que se hace necesario adicionar a la ecuaci´n la expresi´n
o o
2yx 2 + 6xy + y 2 ,por lo que obtenemos la siguiente ecuaci´.
n
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
Luego, se debe buscar valores para y de tal manera que la
expresi´n del lado derecho de la igualdad (ecuaci´n de segundo
o o
grado) sea un cuadrado perfecto, por tal raz´n se debe buscar que
o
el discriminante de la ecuaci´n de segundo grado se igual a cero,
o
por tanto.
(30 + 6y )2 − 4(15 + 2y )(11 + y 2 ) = 0

55. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Ahora, se debe usar la identidad anteriormente mencionada, por lo
que se hace necesario adicionar a la ecuaci´n la expresi´n
o o
2yx 2 + 6xy + y 2 ,por lo que obtenemos la siguiente ecuaci´.
n
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
Luego, se debe buscar valores para y de tal manera que la
expresi´n del lado derecho de la igualdad (ecuaci´n de segundo
o o
grado) sea un cuadrado perfecto, por tal raz´n se debe buscar que
o
el discriminante de la ecuaci´n de segundo grado se igual a cero,
o
por tanto.
(30 + 6y )2 − 4(15 + 2y )(11 + y 2 ) = 0

56. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Ahora, se debe usar la identidad anteriormente mencionada, por lo
que se hace necesario adicionar a la ecuaci´n la expresi´n
o o
2yx 2 + 6xy + y 2 ,por lo que obtenemos la siguiente ecuaci´.
n
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
Luego, se debe buscar valores para y de tal manera que la
expresi´n del lado derecho de la igualdad (ecuaci´n de segundo
o o
grado) sea un cuadrado perfecto, por tal raz´n se debe buscar que
o
el discriminante de la ecuaci´n de segundo grado se igual a cero,
o
por tanto.
(30 + 6y )2 − 4(15 + 2y )(11 + y 2 ) = 0

57. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Desarrollando el producto se obtiene una ecuaci´n c´bica
o u
−8y 3 − 24y 2 + 272y + 240 = 0 = 0
y 3 + 3y 2 − 34y − 30 = 0
La anterior ecuaci´n c´bica la resolvemos con el m´todo de
o u e
Tartaglia. Una de las soluciones de la ecuaci´n es y = 5, entonces,
o
reemplazamos el valor de y en la ecuaci´n
o
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )

58. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Desarrollando el producto se obtiene una ecuaci´n c´bica
o u
−8y 3 − 24y 2 + 272y + 240 = 0 = 0
y 3 + 3y 2 − 34y − 30 = 0
La anterior ecuaci´n c´bica la resolvemos con el m´todo de
o u e
Tartaglia. Una de las soluciones de la ecuaci´n es y = 5, entonces,
o
reemplazamos el valor de y en la ecuaci´n
o
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )

59. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Desarrollando el producto se obtiene una ecuaci´n c´bica
o u
−8y 3 − 24y 2 + 272y + 240 = 0 = 0
y 3 + 3y 2 − 34y − 30 = 0
La anterior ecuaci´n c´bica la resolvemos con el m´todo de
o u e
Tartaglia. Una de las soluciones de la ecuaci´n es y = 5, entonces,
o
reemplazamos el valor de y en la ecuaci´n
o
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )

60. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Desarrollando el producto se obtiene una ecuaci´n c´bica
o u
−8y 3 − 24y 2 + 272y + 240 = 0 = 0
y 3 + 3y 2 − 34y − 30 = 0
La anterior ecuaci´n c´bica la resolvemos con el m´todo de
o u e
Tartaglia. Una de las soluciones de la ecuaci´n es y = 5, entonces,
o
reemplazamos el valor de y en la ecuaci´n
o
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )

61. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Desarrollando el producto se obtiene una ecuaci´n c´bica
o u
−8y 3 − 24y 2 + 272y + 240 = 0 = 0
y 3 + 3y 2 − 34y − 30 = 0
La anterior ecuaci´n c´bica la resolvemos con el m´todo de
o u e
Tartaglia. Una de las soluciones de la ecuaci´n es y = 5, entonces,
o
reemplazamos el valor de y en la ecuaci´n
o
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )

62. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo
o
grado.
(x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2
(x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36)
(x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x 2 + 3x + 5 = 5x + 6
x 2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las
o
soluciones √ √
1 + 2;1 − 2
Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica
o
propuesta inicialmente.

63. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo
o
grado.
(x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2
(x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36)
(x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x 2 + 3x + 5 = 5x + 6
x 2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las
o
soluciones √ √
1 + 2;1 − 2
Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica
o
propuesta inicialmente.

64. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo
o
grado.
(x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2
(x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36)
(x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x 2 + 3x + 5 = 5x + 6
x 2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las
o
soluciones √ √
1 + 2;1 − 2
Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica
o
propuesta inicialmente.

65. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo
o
grado.
(x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2
(x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36)
(x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x 2 + 3x + 5 = 5x + 6
x 2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las
o
soluciones √ √
1 + 2;1 − 2
Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica
o
propuesta inicialmente.

66. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo
o
grado.
(x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2
(x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36)
(x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x 2 + 3x + 5 = 5x + 6
x 2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las
o
soluciones √ √
1 + 2;1 − 2
Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica
o
propuesta inicialmente.

67. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo
o
grado.
(x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2
(x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36)
(x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x 2 + 3x + 5 = 5x + 6
x 2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las
o
soluciones √ √
1 + 2;1 − 2
Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica
o
propuesta inicialmente.

68. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo
o
grado.
(x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2
(x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36)
(x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x 2 + 3x + 5 = 5x + 6
x 2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las
o
soluciones √ √
1 + 2;1 − 2
Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica
o
propuesta inicialmente.