1. VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD Introducción La teoría de vibraciones estudia el movimiento oscilatorio de los sistemas físicos. Las vibraciones aparecen en innumerables situaciones relacionadas con la vida corriente, en las máquinas y estructuras que nos rodean. Tratar de hacer una lista de estas situaciones sería casi imposible. Pensemos en las vibraciones que soporta un edificio durante un terremoto, o en las estructuras diseñadas para soportar máquinas rotativas con fuerzas de inercia grandes. Cuando las vibraciones entran en escena, la magnitud de las fuerzas tiene una importancia secundaria mientras que la frecuencia con que la fuerza se repite pasa a ocupar una importancia capital, pues fuerzas periódicas pequeñas pueden tener efectos mucho más devastadores que fuerzas estáticas de magnitud muy superior. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

2. Toda estructura tiene una o varias frecuencias naturales . Al ser excitada por una fuerza con una frecuencia próxima a alguna de sus frecuencias naturales se produce el fenómeno de resonancia , que conduce a desplazamientos de amplitud creciente y a la rotura. Por los efectos devastadores que las vibraciones pueden tener en máquinas y estructuras, los tests de vibraciones se han convertido en procedimientos estándar en la mayoría de los sistemas de ingeniería. Conceptos previos Vibración : Es un movimiento oscilatorio que aparece, por lo general, en los sistemas mecánicos sometidos a la acción de fuerzas variables con el tiempo. Distinguiremos entre vibración y oscilación . La diferencia entre ellas radica en que la vibración implica la existencia de energía potencial elástica, mientras que la oscilación no. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

3. Grados de libertad : Son los parámetros necesarios para definir de forma unívoca la configuración del sistema vibratorio. Por ejemplo, el sistema de la figura siguiente tiene 2 grados de libertad, que son las dos coordenadas x1 y x2 que definen la posición de cada uno de los bloques con respecto a sus posiciones de referencia. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

4. Sistemas discretos y sistemas continuos : Se denominan sistemas discretos aquéllos que pueden ser definidos mediante un número finito de grados de libertad y sistemas continuos aquéllos que necesitan infinitos grados de libertad para ser exactamente definidos. Por ejemplo, el sistema de dos grados de libertad de la figura anterior es un sistema discreto. En cambio, la viga de la figura siguiente es un sistema continuo pues para conocer su deformada es necesario especificar el el desplazamiento vertical de cada uno de sus puntos, que viene dado por una función de la forma y(x ). UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

5. Vibraciones libres y forzadas : Vibraciones libres son las que se producen al sacar un sistema de su posición de equilibrio y dejarlo oscilar libremente. Vibraciones forzadas son aquéllas que se producen por acción de fuerzas dependientes del tiempo. Los distintos tipos de fuerzas que pueden actuar se clasifican de la siguiente manera: • Armónicas : son funciones del tipo seno o coseno. • Periódicas : son fuerzas que se reproducen con una cierta periodicidad. • Impulsos : responden al concepto mecánico de percusión. • Arbitrarias : cualquier fuerza que no se incluya en uno de los puntos anteriores. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

6. Utilidad de los sistemas de un grado de libertad : Los sistemas de un grado de libertad son, por una parte, sencillos y, por otra, se dan en la práctica en sistemas que son directamente asimilables a sistemas vibratorios de un grado de libertad. Además, otra propiedad importante, es que los sistemas vibratorios de N grados de libertad se pueden estudiar como N sistemas de un grado de libertad. (1) Sistema básico de un grado de libertad. (2) Diagrama de cuerpo libre del sistema básico de un grado de libertad. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

7. Vibraciones libres La Figura (1) muestra el sistema básico de un grado de libertad, compuesto por una masa puntual m , un resorte de rigidez k y un amortiguador de constante c . Llamando x al desplazamiento del bloque respecto de su posición inicial de equilibrio, el diagrama de cuerpo libre del sistema, incluyendo la fuerza de inercia, se muestra en la Figura (2). Sumando las fuerzas horizontales e igualando a cero, se obtiene: UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

8. Ahora si al mismo sistema compuesto por una masa, un resorte y un amortiguador que no dependen del tiempo, se le aplica una fuerza externa dependiente del tiempo, este queda descrito por la siguiente ecuación diferencial de segundo orden UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

9. La aceleración es proporcional y de sentido contrario a la elongación . La mayoría de las vibraciones en ingeniería pueden representarse muy aproximadamente mediante movimiento armónico simple (m.a.s.) con tal de que su amplitud sea pequeña. Ecuación diferencial del m.a.s.: Movimiento Armónico Simple en una Vibración Libre UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

10. Solución de la ecuación diferencial del m.a.s.: Periodo de vibración (es el tiempo en ejecutar un ciclo): Frecuencia de vibración (es el número de ciclos por seg.): Velocidad máxima: Aceleración máxima: UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

11. Vibraciones Forzadas en un Sistema Mecánico El sistema está sometido a la acción de una fuerza periódica Ecuación diferencial del movimiento del sistema: donde es la intensidad de la fuerza P en un instante Solución particular del movimiento estacionario del sistema: Amplitud de la vibración: UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

12. se dice que P está en resonancia con el sistema se dice que la vibración está en fase con P se dice que la vibración está en oposición de fase con P A partir del valor de la amplitud de la vibración obtenemos: UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

13. Vibraciones Libres Amortiguadas Ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado : Coeficiente de amortiguamiento crítico: UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

14. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

15. Solución de la ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado : Movimiento vibratorio de amplitud decreciente y periodo : UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

16. Un sistema con amortiguamiento viscoso está sometido a una fuerza periódica P , de módulo: Ecuación diferencial del movimiento forzado amortiguado : UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

17. Nos interesa la solución particular del movimiento estacionario del sistema: donde: UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura