1. Conceptos Básicos Introducción Para entender un curso de estructuras, primero que todo, hay que familiarizarse con los conceptos utilizados hasta el punto de saber de donde provienen, como se definen y como aplicarlos al calculo de estructuras. En resumen, en esta clase se pretende entregar las definiciones de los conceptos mas característicos que utilizaremos a lo largo del curso, tales como: Modulo de Elasticidad (E), Momento de Inercia (I), Rigidez, Flexibilidad, Periodo (T), Frecuencia (f), Análisis Modal, etc. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

2. Isotropía La elección del esquema de calculo en la resistencia de materiales comienza por esquematizar las propiedades de los materiales. Se considera generalmente que todos los materiales son continuos y homogéneos independientemente de las propiedades internas. Un material se considera homogéneo, cuando cualquier parte de el tiene las mismas propiedades independientemente de su volumen. Del concepto de homogeneidad se deriva el de continuidad de la materia que ocupa plenamente el volumen atribuido al solidó. Generalmente al cuerpo continuo se le considera isótropo, es decir, se admite que las propiedades de cualquier parte de este no dependen de la orientación original angular. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

3. Cada cristal es de por si anisótropo. Pero si el cuerpo contiene gran cantidad de cristales orientados caóticamente, se le puede considerar isótropo. Por eso se considera que los metales, en la medida que se estudian en la resistencia de materiales, son isótropos. Existen también materiales anisótropos, como la madera que tiene distintas propiedades según la orientación de las fibras, y el papel cuyas cintas tienen propiedades y resistencias distintas en el sentido longitudinal y transversal. Existe también la anisotropía relacionada con las particularidades constructivas del sólido, como por ejemplo, en el caso del enchapado y del tejido. Sin embargo, en la resistencia de materiales se estudian principalmente los materiales isótropos. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

4. Modulo de Elasticidad El estudio de la mecánica supone cuerpos rígidos, es decir, que los objetos permanecen sin deformarse cuando hay fuerzas externas que actúan sobre ellos. Dicha suposición es ideal, ya que todos los cuerpos son deformables. Es decir, es posible cambiar la forma o tamaño de un cuerpo por medio de la aplicación de fuerzas externas. La deformación se debe considerar en el estudio de la mecánica de materiales y el diseño estructural. Las deformaciones son generalmente de naturaleza elástica (cuando dejan de actuar las fuerzas deformadoras, el objeto regresa a su forma original) y no afectan las condiciones de equilibrio. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

5. Los conceptos de esfuerzo y deformación dan cuenta de las propiedades elásticas de los sólidos. El Esfuerzo es una cantidad proporcional a la fuerza causante de la deformación o específicamente, el esfuerzo es la fuerza que actúa sobre el objeto por unidad de área transversal. La Deformación es una medida del grado en que se deforma el cuerpo. Se ha encontrado que, para esfuerzos lo suficientemente pequeños, el esfuerzo es proporcional a la deformación. La constante de proporcionalidad depende del material deformado y de la naturaleza de la deformación. Dicha constante de proporcionalidad se llama Módulo de Elasticidad , la cual es una constante física del material que se obtiene experimentalmente y se mide en las misma unidades que el esfuerzo ( σ ) kgf/cm ² UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

6. Se tienen tres tipos de deformación, por lo que se define un Módulo de elasticidad para cada una: Módulo de Young : mide la resistencia del sólido a cambiar su longitud. Módulo de Corte : mide la resistencia que presentan los planos del sólido para deslizarse unos sobre otros. Módulo Volumétrico : mide la resistencia que presentan los sólidos o los líquidos a cambiar su volumen. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

7. Si se aplica un esfuerzo lo suficientemente grande, es posible exceder el límite elástico . Cuando el esfuerzo excede el límite elástico, el cuerpo se deforma en forma permanente y no regresará a su forma original después de quitar el esfuerzo. El material se deforma hasta un máximo, denominado punto de ruptura. Entre el límite elástico y el punto de ruptura tiene lugar la deformación plástica . Un material es dúctil si soporta una gran deformación plástica. Un material es frágil cuando el punto de ruptura ocurre poco después del límite elástico. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

8. Momento de Inercia El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

9. Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es: donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

10. Para un cuerpo de masa continua, se generaliza como: El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. (La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación). UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

11. El teorema de Steiner establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes: Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos donde: I eje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I CM es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

12. Radio de Giro En ingeniería estructural, el radio de giro describe la forma en la cual el área transversal o una distribución de masa se distribuye alrededor de su eje centroidal. Concretamente es el valor medio cuadrático de distancia de los puntos de la sección o la distribución de masa respecto a un eje que pasa por el centro de la misma. Radio de giro de área Donde ig es el radio de giro, I eje es el segundo momento de área o momento de inercia de la sección y A es el área de la sección transversal. Es una medida del alejamiento promedio de la sección resistente del centro de gravedad, dadas dos secciones de la misma área la de mayor radio de giro presentará mayor rigidez torsional y también un mejor comportamiento frente a pandeo. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

13. Formulas Canónicas Referidas a un eje que pase por el centro geométrico, para figuras de altura h y base b paralela a x, se tienen las siguientes: UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

14. Esbeltez La esbeltez mecánica , también denominada esbeltez , es una característica mecánica de las barras estructurales que relaciona la rigidez de la sección transversal de una pieza prismática con su longitud total. Se caracteriza por un parámetro adimensional que interviene en el cálculo de las tensiones y predice las inestabilidades elásticas de las barras. Además se distingue entre los valores de esbeltez natural dependientes sólo de las propiedades geométricas y mecánicas de la barra y esbeltez efectiva que contabiliza también las condiciones de enlace o sujeción en los extremos de la barra. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

15. Si sobre una barra esbelta recta se aplica un esfuerzo normal de compresión, además de acortamiento de la misma aparece una deflexión desde la forma recta, lo que se conoce como pandeo, la magnitud de ese efecto depende de la llamada esbeltez mecánica flexional , o simplemente esbeltez mecánica efectiva, que viene dada por: ó Donde L es la longitud natural de la barra, i el radio de giro" mínimo (el menor de los dos posibles), A el área de la sección de la barra, I momento de inercia y K un coeficiente que depende del tipo de sujeción de los extremos de la barra. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

16. Los valores de K mas característicos son: K = 2.00 Empotrada-Libre K = 1.00 Biarticulada K = 0.71 Empotrada-Articulada K = 0.50 Biempotrada El producto KL es denominado longitud de pandeo ( Lp ). Si se prescinde del valor de K en las fórmulas anteriores se obtiene la esbeltez flexional natural de la barra. Esbeltez máxima La esbeltez máxima de un perfil (KL/i) max depende del tipo de solicitación a que este sometido. Para perfiles en compresión en elementos principales (KL/i) max = 200 UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

17. Flexibilidad Definición de flexibilidad Supongamos que tenemos una estructura donde hemos establecido tres puntos de carga como las indicadas en la fig 1, y sobre las mismas actuarán fuerzas de valor unitario. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

18. Aplicaremos a la estructura una carga unitaria por vez y observaremos los desplazamientos que se producen como consecuencia del estado de carga (fig.2). UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

19. Los desplazamientos originados en cada caso los denominaremos flexibilidades y que indicaremos fij , donde i indica la dirección donde se produce y j donde actúa la causa unitaria que lo produce. De esta manera la definición de estos desplazamientos seria: La flexibilidad fij es el efecto cinemático en i producido por una causa estática unitaria que actúa en j. Basándonos en la anterior definición de flexibilidades y aplicando el principio de superposición, los desplazamientos totales Ui que se producirán cuando actúan cargas Pi (fig 3) valen: UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

20. Expresado estas ecuaciones en forma matricial tenemos: UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

21. Hemos encontrado una relación entre las fuerzas que actúan en determinadas direcciones y los desplazamientos que ocurren en las mismas direcciones. Esta relación lineal se establece a través de matriz F , que es independiente de las cargas P y sólo depende de la estructura y de las direcciones elegidas. La matriz F se denomina Matriz Flexibilidad y está integrada por las flexibilidades fij cuya definición ya realizáramos anteriormente. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

22. RIGIDEZ Definición de rigidez Ahora cambiaremos un poco la estructura, agregaremos vínculos en las direcciones, anteriormente definidas (fig.4), de manera que se anulen los desplazamientos según las mismas. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

23. El estado de carga, en este caso, será un desplazamiento de vínculo impuesto en cada uno de los vínculos agregados. Estos se realizaran uno por vez (fig 5). UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

24. Las fuerzas reactivas necesarias para imponer esos desplazamientos las llamaremos rigideces , y las indicaremos con kij ; donde i indica la dirección donde actúa la reacción y j donde se impuso el desplazamiento unitario. La definición es la siguiente: Una rigidez kij es el efecto estático en i producido por una causa cinemática unitaria en j. Sobre la base de la anterior definición de rigidez y de la aplicación del principio de superposición, las fuerzas reactivas Pi que se originan en cada dirección, como consecuencia de los movimientos vínculos impuestos Ui (fig.6) vale: UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

25. Expresando estas ecuaciones en forma matricial La matriz K se denomina matriz rigidez y está integrada por las rigideces kij cuya definición ya diéramos anteriormente. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

26. Si relacionáramos las matrices de flexibilidad F y de rigidez K, vemos que se puede establecer las Estas ecuaciones permiten determinar las rigideces a través de las flexibilidades y viceversa. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

27. Frecuencia y periodo Frecuencia , es el numero de ciclos que describe un cuerpo en la unidad de tiempo. La unidad de frecuencia es el hercio (Hz), que equivale al número de vueltas o ciclos dados en un segundo. Periodo , es el tiempo que tarda un cuerpo en completar un ciclo, si habláramos de movimiento circular, seria el tiempo que se demora el cuerpo en dar una vuelta completa. La unidad del periodo es el segundo (s). La frecuencia y el periodo son magnitudes inversas: UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

28. Análisis Modal Si hablamos de un análisis dinámico en el cual no se satisfacen las limitaciones para aplicar un método de análisis estático, es necesario aplicar lo que se conoce como análisis modal. Cuando nos referimos a análisis modal, estamos hablando directamente de la forma o modo que tiene la estructura de vibrar debido a algún tipo de excitación, el cual esta directamente relacionado con la frecuencia de vibración de esta. También esta directamente relacionado con la cantidad de masa que esta vibrando en una forma modal específica, lo cual se relaciona con la energía. Entre mas masa modal vibre en un cierto modo mas energía acumulara la estructura en ese modo de vibrar. Por ejemplo, tenemos un sismo que introduce energía al sistema a través de la deformación de la estructura. Si la estructura se comporta en forma lineal la repartición de esta energía de entrada dependerá del periodo y específicamente de la cantidad de masa que este vibrando en ese modo fundamental. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

29. Para cada periodo existe una forma modal la cual se relaciona con la forma de deformación del edificio. Cada una de estas formas denominadas vectores propios son ortogonales entre si. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura Modelo con 3 masas concentradas y 3 gdl Modo 1 Modo 2 Modo 3

30. Ejemplo1: Se necesita diseñar una de las columnas principales de una estructura, de altura h = 5m, determine si la esbeltez cumple con el requerimiento. Suponga un perfil de acero HN 25x68,9 (H=250, B=250, ew=8, ef=14, i y =6,45) Desarrollo. Análisis de la longitud de pandeo LK. El pilar está empotrado-libre luego: KL = K x L = 2 x 5 = 10 m. = 1000 cm. Cálculo de esbeltez mecánica λ . Para que está sea menor de 200 deberemos comprobar que el radio de giro sea como mínimo el deducido a continuación . => = 5 Como el HN25x68,8 de radio de giro iy = 6,45 cm > 5 cm cumple la esbeltez requerida. UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

31. Ejemplo 2 Determine la Inercia I necesaria para que la viga simplemente apoyada de longitud 2m con una carga distribuida de 100 kgf/m cumpla con la deformación admisible L/300 Suponga una viga metalcon 90CA085 ( H=90, B=38, C=12, e=0.85, I=20.2 cm^4) UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura

32. Desarrollo De la ecuación de la elástica obtenemos la deformación máxima de la viga que es: con Sabemos que: = 0.67 cm = 14.8 cm^4 Por lo tanto necesitamos comprobar si el perfil seleccionado cumple con la inercia mínima 20.2 cm^4 > 14.8 cm^4 Bº UNIVERSIDAD DE TALCA Escuela de Arquitectura