1. TK 412 Transport Phenomena
Modul 6: Penyelesaian Soal Latihan
Penyelesaian:
Idealisasi model
Untuk selanjutnya, penyelesaian dilakukan terhadap tinjauan sistem berupa model ter-
idealisasi.
Kasus berupa gabungan antara peristiwa perpindahan momentum (terdapat aliran
fluida) dan perpindahan panas (terdapat beda temperatur pada bulk fluida, T0 dan Tb).
Analisis kasus (untuk perpindahan panas)
1. Sistem koordinat yang sesuai: rektanguler (sumbu: x, y, z)
2. Jenis mekanisme perpindahan energi (panas) yang terlibat:
* Perpindahan panas konduktif, terlibat (pada arah sumbu x)
* Perpindahan momentum konvektif, terlibat (pada arah sumbu z)
* Terdapat generasi atau produksi panas sebagai akibat volumetric viscous heat
dissipation sebesar SV.
Asumsi-asumsi (untuk perpindahan panas)
1. Gradien atau distribusi temperatur hanya terjadi pada arah sumbu-x, sebagai
dampak aliran fluida dalam daerah laminar
2. Konduktivitas termal, k, dan cp cairan, konstan (diambil sebagai k dan cp rata-rata)
3. Steady-state
Penentuan ukuran, ilustrasi, dan eksistensi perpindahan panas pada shell
• Ukuran shell (shell ditentukan di bulk fluida, ingat mengenai teori shell)
Pada arah sumbu-x = ∆x
sumbu-z = L
1 | P a g e
Kasus 1. Heat Conduction with a Viscous Heat Source
Ditinjau fluida jenis incompressible fluid ditempatkan pada sistem mekanik,
yaitu diantara dua silinder coaxial dengan panjang sama sebesar L. Jarak
antar kedua dinding silinder adalah b. Sistem mekanik beroperasi dengan
cara menggerakkan silinder bagian luar dengan kecepatan tinggi sebesar Ω
(kecepatan anguler), sedangkan silinder bagian dalam dijaga stasioner.
Sistem mekanik dioperasikan sedemikian rupa sehingga temperatur fluida di
kedua dinding silinder besarnya konstan,yaitu T0 (di dinding silinder
dalam) dan Tb (di dinding silinder luar). Akibat fluida bergerak dengan
kecepatan tinggi tersebut, energi mekanik terdegradasi secara steady
menjadi energi termal, dengan nilai volumetric viscous heat dissipation
sebesar Sv. Dengan idealisasi model melalui pengubahan sistem koordinat
dari koordinat silinder menjadi koordinat rektanguler, turunkan persamaan
untuk mengetahui:
a. Distribusi temperatur pada bulk fluida
b. Posisi pencapaian temepratur tertinggi pada bulk fluida
Jawaban:
a.
−
+
=
−
−
b
x
b
x
Br
b
x
TT
TT
b
1
2
1
0
0
; dengan
( )0
2
TTk
V
Br
b −
=
µ
adalah Brinkman
Volume shell, Vshell
= WL∆x
Ω
b
Original model
(cylindrical coordinate)
Idealized model
(rectangular coordinate)
V=Ωb
+r
Θ
T0
Tb T0
Tb
z
x
y
x = 0
x = b
2. sumbu-y = W
• Ilustrasi shell dan eksistensi perpindahan panas pada shell
Penyusunan shell thermal energy balance
Neraca panas disusun pada shell sebesar WL∆x, kondisi steady-state sebagai berikut:
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ...0 +−∆+−−−∆+− ===∆+= Lzrefpzxxxzrefpzxxxx TTcvxWqWLTTcvxWqWL ρρ
0... =∆⋅+ xWLSV
Penyusunan ulang, kemudian dibagi WL∆x akan diperoleh:
( ) ( ){ } 0
0
=+−−−+
∆
−
==
∆+==
VLzrefzref
pzxxxxxxx
STTTT
L
cv
x
qq ρ
...(a)
dengan
2
+=
−=
dx
dv
S
dx
dv
S z
V
z
xzV µτ :Newtonfluidauntuk' …(a-1)
Substitusi pers. (a-1) ke pers. (a), diperoleh:
0
2
=
+
∆
− ∆+==
dx
dv
x
qq zxxxxxxx
µ …(a-2)
Pe-limit-an pers. (a-2) pada limit ∆x→0 akan diperoleh persamaan diferensial berikut:
( ) 0
2
=
+−
dx
dv
dx
qd zx
µ …(b)
Parameter qx pada persamaan (b) merupakan fluks perpindahan panas konduktif yang
nilainya didekati dengan persamaan Fourier pada arah sumbu-x. Oleh karena itu:
dx
dT
kqx −= …(c)
Substitusi pers. (c) ke pers. (b):
0
2
=
+
−
−
dx
dv
dx
dx
dT
kd
z
µ
. Karena nilai k tetap, maka persamaan terakhir menjadi:
00
22
=
+
=
+
dx
dv
kdx
dx
dT
d
dx
dv
dx
dx
dT
d
k zz µ
µ atau
…(d)
Penyelesaian PD pada pers. (d)
Penyelesaian diawali dengan cara menyatakan ekspresi gradien kecepatan vz ke dalam
bentuk yang mengandung parameter-parameter konstan. Sehingga pada akhirnya,
ekspresi pers. (d) hanya mengandung parameter T sebagai variabel terikat dengan x
sebagai variabel bebas.
Untuk maksud tersebut, diperlukan penyelesaian pada bagian peristiwa perpindahan
momentumnya dari kasus ini.
Berdasarkan analisis kasus dan asumsi yang ditentukan dengan pendekatan standar,
dapat disusun neraca momentum pada shell sebesar WL∆x kondisi steady-state sebagai
berikut:
2 | P a g e
x = x
x = x+∆x
qx
, in
qx
, out
Qconvective
,
in
Qconvective
,
out
z = 0 z = L
z
x
y
W
3. ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } 00 =∆+−−∆+− ===∆+= Lzzzxxxzzzzxxxxz vvxWWLvvxWWL ρτρτ …(d-1)
Susun ulang pers. (d-1), kemudian dibagi dengan WL∆x akan diperoleh:
( ) 0lim
0
=−→
∆
− ∆+==
→∆ dx
d
x
xzxxxxzxxxz
x
τττ
…(d-2)
Penyelesaian pers. (d-2):
( ) 10 cd xzxz =→= ∫∫ ττ …(d-3)
Untuk fluida Newton:
dx
dvz
xz µτ −= …(d-3’)
Substitusi pers. (d-3’) ke pers. (3) akan diperoleh:
1c
dx
dvz
=−µ atau
µ
1c
dx
dvz
−= …(d-4)
Untuk mengevaluasi nilai c1, tidak ada BC yang tersedia. Penyelesaian dilanjutkan
dengan menyelesaikan pers. (d-4) sebagai berikut:
2
11
cx
c
vdx
c
dv zz +−=→−= ∫∫ µµ
…(d-5)
Kondisi-kondisi batas: pada x = 0 → vz = 0 dan pada x = b → vz = V
Substitusi kedua BC ke pers. (d-5) akan diperoleh: c2 = 0 dan
b
Vc
=−
µ
1
Berdasarkan pers. (d-4), sehingga akan diperoleh:
b
V
dx
dvz
= …(d-6)
Akhirnya pen-substitusi-an pers. (d-6) ke pers. (d) diperoleh hubungan:
0
2
=
+
b
V
kdx
dx
dT
d
µ …(e)
Kemudian penyelesaian pers. (e) menjadi lebih mudah, sebagai berikut:
3
22
cx
b
V
kdx
dT
dx
b
V
kdx
dT
d +
−=→
−=
∫∫
µµ
…(f)
Integrasi lanjutan terhadap pers. (f) diperoleh:
43
2
2
3
2
2
cxcx
b
V
k
Tdxcx
b
V
k
dT ++
−=→
+
−=∫∫
µµ
…(g)
Persamaan (g) adalah persamaan distribusi temperature pada bulk fluida (berupa kurva
parabolic). Untuk mengevaluasi c1 dan c2 diperlukan 2 (dua) BC. Kedua BC yang dapat
dimunculkan adalah:
Pada x = 0 → T = T0; dan pada x = b → T = Tb
Substitusi kedua BC ke pers. (g), kemudian dilakukan penyusunan ulang, akan diperoleh
distribusi temperatur seperti persamaan yang ditampilkan pada jawaban soal a tersebut
di atas.
−
+
=
−
−
b
x
b
x
Br
b
x
TT
TT
b
1
2
1
0
0
, dengan
( )0
2
TTk
V
Br
b −
=
µ
3 | P a g e
4. Sedangkan untuk menentukan di posisi mana dalam bulk fluida akan dicapai temperatur
tertinggi, posisi tersebut ditentukan dengan menerapkan ketentuan matematika tentang
titik belok (titik stasioner).
Penyelesaian:
Ilustrasi peristiwa perpindahan
Analisis kasus
1. Kasus berupa peristiwa perpindahan panas melalui dinding pipa bagian dalam yang
berupa pipa komposit terdiri dari 3 lapisan pipa yang dipasang coaxial, sebagai akibat
perbedaan temperatur fluida panas (Ta) dan temperatur fluida dingin (Tb), Ta>Tb
2. Sistem koordinat yang sesuai: cylindrical coordinate (sumbu: r, z, Θ)
3. Jenis mekanisme perpindahan energi (panas) yang terlibat:
* Perpindahan panas konduktif, terlibat (pada arah sumbu x)
* Perpindahan momentum konvektif, tidak terlibat
* Tidak terdapat generasi maupun konsumsi panas pada sistem yang ditinjau
4. Telah dicapai kondisi steady-state
Asumsi-asumsi
4 | P a g e
Kasus 2. Heat Conduction through Composite Cylindrical Walls
Pada sebuah alat penular panas berupa double pipe HE ingin ditinjau
fenomena perpindahan panasnya pada bagian dinding pipa bagian dalamnya
(inner cylinder). Pipa bagian dalam tersebut berupa pipa komposit yang
tersusun dari 3 jenis pipa dari bahan berbeda. Pada pelaksanaannya,
temperature fluida yang mengalir di dalam dan di luar pipa komposit
tersebut dijaga konstan, masing-masing sebesar Ta (at inside tube) dan Tb
(at outside tube), dengan Ta>Tb. Panjang pipa composite diketahui sebesar
L, dengan ketebalan dari masing-masing pipa penyusun berbeda-beda. Data-
data lain yang diketahui adalah: koefisien perpindahan panas antar fasa
dari fluida panas ke dinding dalam pipa komposit adalah ha, koefisien
perpindahan panas antar fasa dari dinding luar pipa komposit ke fluida
dingin adalah hb, dan konduktivitas termal masing-masing pipa penyusun pipa
komposit secara berturutan adalah k01, k12, dan k23.
Turunkan persamaan pada kondisi steady state yang dapat digunakan untuk
menghitung:
a. Laju perpindahan panas Q0
b. Overall heat transfer coefficient U0
Jawaban:
a.
( )
++++
−
=
ba
ba
hrk
rr
k
rr
k
rr
hr
TTL
Q
3
23
23
12
12
01
01
0
0
1lnlnln1
2π
;
r
z
Θ
Fluida
dingin, Tb
Fluida
panas, Ta
Pipa dalam
berupa komposit
L
+
Ta
Fluida
dingin
(Tb
, hb
)
ha
T0
T1
T2
T3
qr
k01
k12
k23
5. 1. Fluida panas memiliki temperatur homogen sebesar Ta dan fluida dingin memiliki
temperatur homogen sebesar Tb selama perpindahan panas ditinjau, sehingga gradien
atau distribusi temperatur hanya terjadi pada arah sumbu-r.
2. Nilai konduktivitas termal masing-masing pipa komposit, tetap (k01
, k12
, dan k23
)
Penentuan ukuran, ilustrasi, dan eksistensi perpindahan pada shell
Pada arah sumbu-r = ∆r
sumbu-z = L
sumbu-Θ = 2π rad.
Karena tiap dinding pipa komposit memiliki nilai k berbeda-beda, maka shell dan
dampaknya pada penyusunan neraca panas, harus ditetapkan dan dilakukan di setiap
dinding pipa komposit tersebut.
Namun karena bentuk dan ukuran shell di setiap dinding pipa komposit identik, maka
penyusunan neraca panas juga mirip. Sehingga penyusunan neraca panas cukup
dilakukan satu kali pada salah satu dinding pipa komposit. Ekspresi/hasil peneracaan
panas di dinding pipa-pipa komposit yang lain akan analog.
Misal, shell ditetapkan pada dinding pipa komposit ke-1 (dinding: 0→1).
Penyusunan neraca panas pada shell sebesar 2πr∆r L kondisi steady-state (dilakukan
pada dinding pipa komposit ke-1, 0→1)
( ) ( ) 022 0101
=−
∆+== rrrrrrr qrLqrL ππ …(a)
Pers. (a) dibagi dengan 2π∆rL, diperoleh:
0
0101
=
∆
−
∆+==
r
qrqr
rrrrrrr
…(b)
Pe-limit-an pers. (b) pada limit ∆r→0, diperoleh:
( ) ( ) 00 01
01
==− r
r
rqd
dr
rqd
atau …(c)
Penyelesaian PD
Penyelesaian persamaan diferensial pada pers. (c):
( ) 1
0101
0 crqrqd rr =→= ∫∫ …(d-1)
Dengan cara analog akan diperoleh hasil neraca panas di dinding pipa komposit ke-2
(1→2) dan di dinding pipa komposit ke-3 (2→3) sebagai berikut:
2
12
crqr = …(d-2); dan 3
23
crqr = …(d-3)
Dalam kasus ini, nilai c1 = c2 = c3, yaitu ditentukan di posisi yang akan dievaluasi dengan
disesuaikan pada parameter yang ditanyakan. Berdasarkan parameter yang ditanyakan,
nilai c1, c2, dan c3 dievaluasi di posisi ‘0’ (dinding dalam dari pipa komposit ke-1).
Sehingga diperoleh:
c1 = c2 = c3 = r0 q0
Oleh karena itu, pers. (d-1), (d-2), dan (d-3) dapat dituliskan dalam bentuk:
00
01
qrrqr = …(d-1’)
00
12
qrrqr = …(d-2’)
5 | P a g e
Volume shell, Vshell
= 2πr∆r L
+
r
r=rr=r+∆r
qr
01
,
in qr
01
,
out
∆r
Panjang pipa
silinder ke arah
sb-z = LΘ
6. 00
23
qrrqr = …(d-3’)
Kemudian telah diketahui bahwa:
dr
dT
kqr −= . Jika persamaan Fourier ini diaplikasikan
pada pers. (d-1’) sampai dengan (d-3’), akan diperoleh persamaan-persamaan berikut:
( )
=−→=−→=− ∫∫
=
=
=
= 0
1
01
00
1001
0001
00
01
01
ln
11 1
0
1
0
r
r
k
qr
TTdr
rk
qr
dT
r
qr
dr
dT
k
rr
rr
TT
TT
…(e-1)
( )
=−
1
2
12
00
21 ln
r
r
k
qr
TT …(e-2)
( )
=−
2
3
23
00
32 ln
r
r
k
qr
TT …(e-3), dimana: T0>T1>T2>T3
Jika pers. (e-1), (e-2), dan (e-3) dijumlahkan, akan diperoleh:
+
+
=−
2
3
23
1
2
12
0
1
010030 ln
1
ln
1
ln
1
r
r
kr
r
kr
r
k
qrTT …(f)
Arah penyelesaian dari soal a adalah memunculkan hubungan antar besarnya laju
perpindahan panas di posisi ‘0’ dengan parameter-parameter yang tersedia (Ta, Tb,
konduktivitas termal masing-masing komposit, dan koefisien-koefisien perpindahan panas
antar fase). Hubungan tersebut diawali dari hubungan dasar berikut:
( )LrqQ 000 2π= …(g)
Langkah berikutnya adalah menurunkan persamaan q0 sebagai fungsi parameter-
parameter tersebut di atas.
Ditinjau perpindahan panas antar fase dari fluida panas ke dinding ‘0’ dan dari dinding ‘3’
ke fluida dingin. Berdasar hokum pendinginan Newton, di kedua daerah tersebut dapat
dirumuskan fluks perpindahan panas-nya masing-masing sebagai berikut:
( )
a
aaa
h
q
TTTThq 0
000 =−−= atau …(h)
( )bb TThq −= 33 , sedangkan: 0
3
0
30033 q
r
r
qqrqr == atau . Sehingga diperoleh:
( )
b
bbb
h
q
r
r
TTTThq
r
r 0
3
0
330
3
0
⋅=−−= atau …(i)
Penjumlahan pers. (f), (h), dan (i) akan diperoleh:
+
+
+
+=−
ba
ba
hrr
r
kr
r
kr
r
khr
qrTT
32
3
23
1
2
12
0
1
01
0
00
1
ln
1
ln
1
ln
11
, atau:
+
+
+
+
−
=
ba
ba
hrr
r
kr
r
kr
r
khr
TT
qr
32
3
23
1
2
12
0
1
01
0
00
1
ln
1
ln
1
ln
11 …(j)
Substitusi pers. (j) ke pers. (g) akan diperoleh jawaban dari soal a berikut:
6 | P a g e
7. ( )
+
+
+
+
−
=
ba
ba
hrr
r
kr
r
kr
r
khr
TTL
Q
32
3
23
1
2
12
0
1
01
0
0
1
ln
1
ln
1
ln
11
2π
…(k)
Penyelesaian soal b:
Penurunan persamaan Uo = f(ha, k01
, k12
, k23
, hb)
( )( )ba TTLrUQ −= 000 2π …(l)
Substitusi pers. (k) ke pers. (l), kemudian disusun ulang akan diperoleh:
( )( ) ( )
+
+
+
+
−
=−
ba
ba
ba
hrr
r
kr
r
kr
r
khr
TTL
TTLrU
32
3
23
1
2
12
0
1
01
0
00
1
ln
1
ln
1
ln
11
2
2
π
π
+
+
+
+=
ba hr
r
r
r
k
r
r
r
k
r
r
r
k
r
hU 3
0
2
3
23
0
1
2
12
0
0
1
01
0
0
lnlnln
11
Penyelesaian:
Ilustrasi peristiwa perpindahan
Sistem yang ditinjau adalah fluida cair yang dipanaskan
Analisis kasus
1. Sistem koordinat yang sesuai: cylindrical coordinate (r, z, Θ)
7 | P a g e
Kasus 4. Forced Convection for Laminar Flow of Newtonian Fluid in Circular
Tube Heat Exchanger
Fluida Newton cair ingin dipanaskan dengan menggunakan sebuah alat penukar
panas berupa pipa silinder beradius dalam R dan panjang L. Penukar panas
tersebut dipasang secara horisontal, dan dilengkapi dengan sumber panas
listrik dengan konstruksi tertentu di sepanjang dinding luar pipa sehingga
fluks panas dapat dipasok secara konstan dan seragam sebesar qS. Akibat
selalu kontak dengan panas dari sumber panas selama mengalir di dalam pipa,
fluida dengan temperatur awal T0 tersebut akhirnya akan meningkat
temperaturnya sampai dicapai temperatur tertentu. Data properties dari
fluida tersebut adalah: k (konduktivitas thermal), cP (kapasistas panas
jenis pada P konstan, µ (viskositas) dan ρ (densitas).
a. Turunkan rumusan yang mengekspresikan distribusi temperatur fluida di
dalam alat penukar panas tersebut!
b. Buktikan bahwa pada perpindahan panas secara konveksi paksa, bilangan
Prandtl (NPr) dan bilangan Reynold (NRe) merupakan 2 bilangan tak
berdimensi yang sangat berpengaruh
z
r
Θ
Electrical
jacket heater
Tubular
pipe
Cold liquid
inlet,
T0 Hot
liquid outlet,
T
r = 0
r = R
L
z = 0 z = L
8. 2. Jenis fluida berupa Newtonian fluid, dampaknya terhadap momentum transport adalah
terhadap rumusan shear stress-nya
3. Panas dipindahkan dari electrical jacket heater ke fluida cair dengan fluks panas
konstan di sepanjang arah aksial dari tubular tube
4. Keterlibatan jenis mekanisme perpindahan panas:
* Perpindahan panas konduktif terlibat, yaitu pada arah sumbu-r (radial) dan
sumbu-z (aksial). Hal tersebut menunjukkan bahwa terdapat gradien temperatur
pada kedua arah sumbu tersebut
* Perpindahan panas konvektif terlibat, yaitu pada arah sumbu-z, sesuai dengan arah
fluida mengalir secara laminer ke arah sumbu tersebut
* Tidak ada keterlibatan energi panas dalam bentuk tergenerasi maupun
terkonsumsi.
Asumsi-asumsi
1. Pada energy transport
* Nilai k dan cP fluida cair konstan (ditentukan sebagai nilai rata-rata)
* Telah dicapai kondisi steady-state
2. Pada momentum transport
* Fluida mengalir secara laminer, dampaknya terhadap mom. transpt:
a. Fluida mengalir ke satu arah saja, yaitu pada arah sumbu-z
b. Gradien dan distribusi kecepatan vz hanya terjadi pada satu arah, sumbu-r.
* dan seterusnya (sesuai dengan materi yang telah dipelajari di Part 1).
Penentuan ukuran, ilustrasi, dan eksistensi perpindahan panas pada shell
1. Berdasarkan analisis kasus dan asumsi-asumsi yang telah ditentukan, ukuran shell
pada fenomena thermal energy transport adalah:
Pada arah sumbu-r = ∆r; sumbu-z = ∆z; sumbu-Θ = 2π rad.
Volume shell, Vshell = 2πr∆r∆z
2. Ilustrasi dan eksistensi perpindahan panas pada shell
Penyusunan neraca panas pada shell sebesar 2πr∆r∆z kondisi steady-state
( ) ( ) ( ) ( ){ } ...222 −−∆+−∆+−∆ =∆+=∆+= zzrefpzzzzzrrrr TTcvrrqrrqzr πρππ
( ) ( ) ( ) ( ){ } 0222 =−∆+−∆+−∆ ∆+=== zzzrefpzzzzrrr TTcvrrqrrqzr πρππ
Penyusunan ulang:
( ) ( )
0=
∆
−−−
⋅+
∆
−
+
∆
− ∆+==∆+==∆+==
z
TTTT
cvr
z
qrqr
r
qrqr zzzrefzzref
pz
zzzzzzzrrrrrrr
ρ
, atau:
0=
∆
−
⋅+
∆
−
+
∆
− ∆+==∆+==∆+==
z
TT
cvr
z
qrqr
r
qrqr zzzzz
pz
zzzzzzzrrrrrrr
ρ …(a)
Pe-limit-an persamaan (a) pada batas limit ∆r→0 dan ∆z→0 diperoleh:
8 | P a g e
9. ( ) 0=
∂
∂
⋅−
∂
∂
−
∂
∂
−
z
T
cvr
z
q
r
r
qr
pz
zr
ρ , atau:
( ) 0=
∂
∂
⋅+
∂
∂
+
∂
∂
z
T
cvr
z
q
r
r
qr
pz
zr
ρ …(b)
Dengan qr dan qr adalah fluks perpindahan panas konduktif ke arah sumbu-r dan sumbu-
z, atau:
r
T
kqr
∂
∂
−= dan
z
T
kqz
∂
∂
−= , sehingga persamaan (b) dapat diubah menjadi:
0=
∂
∂
⋅+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
z
T
cvr
z
z
T
kr
r
r
T
kr
pzρ
, untuk k konstan akan diperoleh:
02
2
=
∂
∂
⋅+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
z
T
cvr
z
T
kr
r
r
T
r
k pzρ
, atau:
0
1
2
2
=
∂
∂
⋅−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
z
T
k
cv
z
T
r
r
T
r
r
pzρ
…(c)
Persamaan (c) dapat diubah menjadi:
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
2
1
z
T
r
r
T
r
r
k
z
T
cv pzρ
Penyelesaian terhadap fenomena perpindahan momentum dari kasus ini, akan diperoleh
rumusan dari vz pada pers. (c-1) tersebut, yaitu:
−=
2
, 1
R
r
vv makszz
, sehingga persamaan (c-1) dapat diubah menjadi:
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
− 2
22
,
1
1
z
T
r
r
T
r
r
k
z
T
R
r
vc makszpρ
Dengan pendekatan logika terhadap perbandingan nilai antara gradien temperatur ke arah
sumbu-r dan sumbu-z, dapat diambil pendekatan bahwa 02
2
≈
∂
∂
z
T
, sehingga pers. (c-2)
dapat diubah menjadi:
r
r
T
r
r
k
z
T
R
r
vc makszp
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
−
1
1
2
,ρ …(d)
Kondisi batas yang ada berdasarkan pernyataan pada kasus ini adalah:
BC 1: pada z = 0 dan pada semua r → T = T0
BC 2: pada r = 0 → T = finite (tertentu)
BC 3: pada r = R dan pada semua z → ( )konstans
Rr
q
r
T
k =
∂
∂
−
=
Penyelesaian persamaan diferensial pada persamaan (d)
Persamaan diferensial pada pers. (d) merupakan PD parsial orde 2. Penyelesaian PD
tersebut dapat dilakukan secara numerik ataupun analitik. Pada kesempatan ini akan
diselesaikan dengan pendekatan secara analitik.
9 | P a g e
…(c-1)
…(c-2)
10. Agar penyelesaian secara analitik lebih mudah, PD parsial pada pers. (d) diubah menjadi
PD ordiner. Salah satu caranya adalah dengan mengubah persamaan (d) menjadi bentuk
hubungan antar parameter tak-berdimensi.
Parameter-parameter tak-berdimensi tersebut yang dapat dimunculkan adalah sebagai
berikut:
2
,
0
;;
Rvc
zk
R
r
kRq
TT
makszps ρ
ζξ ==
−
=Θ (pada prosesnya muncul terakhir)
Dengan manipulasi matematika, mengacu pada parameter-parameter tak-berdimensi
tersebut, persamaan (d) akan menjadi:
( )
∂
Θ∂
∂
∂
=
∂
Θ∂
−
ξξξζ
ξ
1
1 2
...(e)
Kondisi batas PD pers. (e), mengacu ke BC pada pers. (d):
BC 1: pada 00 =Θ→=ζ
BC 2: pada finite=Θ→= 0ξ
BC 3: pada 11 =
∂
Θ∂
−→=
ξ
ξ
Dari pers. (e) diketahui bahwa ( )ξζ,Θ=Θ . Oleh karena itu, untuk mencapai perubahan
menjadi PD ordiner, perlu dimunculkan hubungan ketiga parameter tersebut. Bentuk
hubungan ketiga parameter tersebut ditentukan dengan mengacu atau berdasar pada
analisis bahwa pemanasan dengan fluks panas konstan sebagai sumber panas di
sepanjang dinding pipa berdampak terhadap perubahan temperatur pada fluida secara
linier ke arah aksial (sumbu-z) dan perubahan temperatur pada fluida dengan tingkatan
yang lebih tinggi (dibandingkan ke arah aksial) ke arah radial (sumbu-r). Sehingga dapat
dimunculkan hubungan berikut:
( )ξζ Ψ+=Θ 0C …(f)
Jika persamaan (f) dikaitkan dengan ketiga BC dari persamaan (e), dapat disimpulkan
bahwa tidak semua BC mencukupi terhadap hubungan pada pers. (f). Nampak bahwa BC
1 tidak mencukupi, sedangkan BC 2 dan BC 3 dapat dikatakan relatif mencukupi.
Sehingga BC 1 harus dievaluasi agar dapat mencukupi hubungan pers. (f). BC 1 ter-
evaluasi yang dapat dimunculkan adalah:
BC 1’: ( )∫ ∫
=
=
=
=
−=−
πθ
θ
θρπ
2
0 0
02
Rr
r
zPs drdrTTvcqzR …(f-1)
( )∫
−Θ=−
1
0
2
1
1, ξξ
ξ
ζξζ d …(f-2)
Substitusi pers. (f) ke pers. (e) diperoleh:
( )2
0 1
1
ξ
ξ
ξ
ξξ
−=
Ψ
C
d
d
d
d
…(g)
Penyelesaian terhadap pers. (g) akan dihasilkan:
21
42
00 ln
164
CCCC ++
−+=Θ ξ
ξξ
ζ …(h)
Substitusi BC 2 ke pers. (h) diperoleh C1 = 0
Substitusi BC 3 ke pers. (h) diperoleh C0 = -4
Substitusi BC 1 ke pers. (h) diperoleh C2 = 7/24
Pensubstitsian ketiga nilai konstanta ke pers. (h) diperoleh:
10 | P a g e
11. 24
7
4
1
4 42
++−−=Θ ξξζ …(i)
Persamaan (i) merupakan persamaan distribusi temperatur yang diekspresikan dalam
bentuk hubungan antar parameter-parameter tak-berdimensi.
Sedangkan untuk membuktikan bahwa pada perpindahan panas konveksi paksa, bilangan
Reynolds dan Prandelt merupakan 2 bilangan tak-berdimensi yang sangat berperanan,
dapat dibuktikan dengan berawal dari parameter tak-berdimensi yang telah dimunculkan
sebelumnya. Dalam hal ini adalah parameterζ .
PrRe
1
=
=
R
z
c
k
vDR
z
pz µρ
µ
ζ …(j)
Dengan:
k
cDv pz µ
µ
ρ
== PrRe dan
11 | P a g e
