La transformada de Laplace es una técnica matemática que convierte una función en el dominio del tiempo en otra función en el dominio complejo. Se puede usar para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales mediante la conversión de una función en otra variable llamada "s". Explica que la transformada de Laplace involucra una integral impropia y cambia una función de una variable de entrada a otra función de otra variable.
2. TRANSFORMADA DE LA PLACE
La Transformada de Laplace, es una técnica matemática
que forma parte de ciertas transformadas integrales como
la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la
Transformada de Mellin entre otras.
Estas transformadas están definidas por medio de una
integral impropia y cambian una función en una variable de
entrada en otra función en otra variable
Dr. Alejandro N. Salas Begazo
3. ¿PARA QUÉ SIRVE LA
TRANSFORMADA DE LA PLACE
La Transformada de Laplace, puede ser usada para
resolver:
1. Ecuaciones diferenciales
2. Lineales
3. Ecuaciones Integrales.
Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con
coeficientes variables, en general se aplica a problemas
con coeficientes constantes.
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8. NOTAS
La letra “s” representa una nueva variable, que para el
proceso de integración se considera una constante.
La transformada de Laplace convierte una función en la
variable “s”
Condiciones para la existencia de la transformada de una
función:
a) De orden Exponencial
b) Continua a trozos.
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10. DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA
La Transformada Inversa de una función en “s” digamos F(s) es
una función de “t” cuya transformada es precisamente F(s), es
decir:
𝐋−𝟏
𝐅(𝐬) = 𝐟(𝐭)
Si es que acaso:
𝐋 𝐟(𝐭) = 𝐅(𝐬)
Esta definición obliga a que se cumpla:
𝑳 𝑳−𝟏
𝑭(𝒔) = 𝐅(𝐬) 𝑳−𝟏
𝑳 𝐟(𝐭) = 𝐟(𝐭)
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12. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t( y
g(t) son funciones que poseen la Transformada de Laplace.
1. LINEALIDAD
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas
y saca constantes que multiplican.
𝐋 𝐚 𝐟 𝐭 + 𝐛 𝐠(𝐭) = 𝐚 𝐋 𝐟(𝐭) + 𝐛 𝐋 𝐠(𝐭)
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13. 2. PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en
una traslación en la variable “s”.
𝑳 𝒇 𝒕 𝒆𝒂𝒕
= 𝑭(𝒔 − 𝒂)
Donde:.
𝑳 𝒇 𝒕 = 𝑭(𝒔)
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14. TEOREMA DE TRASLACIÓN
𝑳 𝒆𝟐𝒕
𝒕𝟑
Primero vamos a desarrollar la función 𝒕𝟑
𝑳 𝒆𝟐𝒕𝒕𝟑 =
𝟑!
𝒔𝟒
=
𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏𝒙𝟎!
𝒔𝟒
𝑳 𝒆𝟐𝒕𝒕𝟑 =
𝟔
(𝒔 − 𝟐)𝟒
El valor de “s” va a ser reemplazado por :
(s-(exponente de “e” parte numérica, con su signo))
15. Ejemplo
𝑳 𝒆−𝟔𝒕
𝒕
Primero vamos a desarrollar la función t
𝑳 𝒆−𝟔𝒕
𝒕 =
𝟏!
𝒔𝟐
=
𝟏𝒙𝟎!
𝒔𝟐
El valor de “s” va a ser reemplazado por :
(s-(exponente de “e” parte numérica, con su signo))
𝑳 𝒆−𝟔𝒕
𝒕 =
𝟏
(𝒔 − (−𝟔))𝟐
𝑳 𝒆−𝟔𝒕 𝒕 =
𝟏
(𝒔 + 𝟔)𝟐
16. 3. TEOREMA DE LA TRANSFORMADA DE LA DERIVADA
La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por
la variable “s”.
𝑳 𝒇′ 𝒕 = 𝒔𝑳 𝒇(𝒕) − 𝒇(𝟎))
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18. 4. TEOREMA DE LA TRANSFORMADA DE LA INTEGRAL
𝑳
𝒔
𝒕
𝑳 𝒇(𝒕) 𝒅𝒕 =
𝟏
𝟐
𝑳 𝒇(𝒕)
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19. 5. TEOREMA DE LA INTEGRAL DE LA TRANSFORMADA
𝑳 𝒇(𝒕) = 𝑳
𝒔
+∞
𝑳 𝒇(𝒕) 𝒅𝒔
Siempre y cuando exista:
𝐥𝐢𝐦
𝒇(𝒕)
𝒕
t tiende a 0
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20. 6. TEOREMA DE LA DERIVADA DE LA TRANSFORMADA
𝑳 𝒕𝒏
𝒇(𝒕) = (−𝟏)𝒏
𝒅𝒏
𝒅𝒔𝒏
𝑳 𝒇(𝒕)
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21. 7. SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN
𝑳 𝒇 𝒕 𝑼𝒂(𝒕) = (𝒆)−∝𝒔
𝑳 𝒇(𝒕 + 𝒂)
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22. TÉCNICAS PARA LA TRANSFORMADA INVERSA
Separación de Fracciones.
Primer Teorema de Traslación.
Fracciones Parciales.
Segundo teorema de Traslación
Convolución.
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