Apostila PO I

Apostila de Exercícios da
Disciplina de Pesquisa
Operacional I
Luís Alberto Duncan Rangel
UFF – EEIMVR
Depto. de Engenharia de Produção de Volta Redonda
luisduncan@id.uff.br
Volta Redonda 09/03/2015

SUMÁRIO
3. Introdução à Pesquisa Operacional:
3.1 Histórico da Pesquisa Operacional
Sociedades de Pesquisa Operacional
3.2 Áreas da Pesquisa Operacional
Programação Linear
Programação Inteira
Programação Mista
Programação por Metas
Programação Não-Linear
Programação Dinâmica
Grafos
Simulação
Teoria das Filas

SUMÁRIO
Teoria das Filas
Tória dos Jogos
Inteligência Artificial
Redes Neurais Artificiais
Análise Envoltória de Dados
Apoio Multicritério à Decisão
3.3 Modelo
3.4 Introdução a Programação Linear (PL)
3.4.1 Hipóteses e Limitações da PL
Aditividade, Constantes, Proporcionalidade,
Divisibilidade
3.4.2 Definição de Conjuntos Convexos e Côncavos

SUMÁRIO
3.4.2 Definição de Conjuntos Convexos e Côncavos
3.4.3 Soluções viáveis e soluções ótimas
3.4.4 Variáveis de Decisão
3.4.5 Função Objetivo
3.4.6 Restrições Tecnológicas
3.4.7 Restrições de Não negatividades
3.4.8 Resumo dos Elementos de um PPL
3.5 Problemas de Programação Linear
3.5.1 Exemplo1: Problemas de Análise das Atividades
3.5.2 Exemplo2: Problemas de Análise das Atividades
3.5.3 Exemplo3: Problema da dieta . . . (fazer)

A pesquisa operacional tem como marco inicial, considerado por
pesquisadores, o período da segunda guerra mundial, quando
diversos profissionais e pesquisadores graduados em diversas
áreas foram reunidos em um grupo de pesquisa, para avaliar um
modo de abastecimento das frentes de batalha, uma vez que os
3. Introdução a Pesquisa Operacional I
modo de abastecimento das frentes de batalha, uma vez que os
recursos eram escassos.
Após a segunda guerra, pesquisadores e profissionais, que
pertenciam ao grupo de trabalho montado na segunda guerra,
foram trabalhar nas empresas, em universidades e em centros de
pesquisas, dando continuidades as pesquisas iniciadas
anteriormente.

Dantzig propôs em 1947 no método SIMPLEX para resolver
problemas de programação linear. Este método é considerado um
grande marco da área de pesquisa operacional. Em período
anterior a Dantzig, o pesquisador russo Kantorovitch (por volta de
1930) elaborou um modelo para alocação de recursos através do
1930) elaborou um modelo para alocação de recursos através do
planejamento econômico, mas somente publicou as suas
pesquisas anos depois, que Dantzig havia publicado as suas
pesquisas.
A pesquisa operacional vem apresentando um crescimento muito
grande em função do crescimento de utilização de computadores
que facilitam o desenvolvimento de programas e a capacidade de
processamento dos dados com maior quantidade de dados
velocidade de processamento dos dados utilizados nos programas.

Sabe-se que diversos estudos foram realizados por muitos
pesquisadores em muitas áreas, que hoje são consideradas como
sub-áreas da pesquisa operacional como é o caso dos estudos
realizados por Leonhard Euler em 1736 para atravessar as pontes
de Kronenberg (Könisgberg), que hoje é referência no estudo de
de Kronenberg (Könisgberg), que hoje é referência no estudo de
Grafos.
Hoje, os problemas abordados pela pesquisa operacional crescem
e exigem algoritmos cada vez mais eficientes na busca das
soluções. Assim, o campo da pesquisa operacional continua
crescendo e é extremamente dinâmico.

SOBRAPO – Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional. SBPO,
Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional.
ABEPRO – Associação Brasileira de Engenharia de Produção.
ENEGEP, Encontro Nacional de Engenharia de Produção.
ENEGEP, Encontro Nacional de Engenharia de Produção.
SIMPEP – Simpósio de Engenharia de Produção. Promovido pela
UNESP, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho.
SPOLM – Simpósio de Pesquisa Operacional e Logística da Marinha.
Promovido anualmente pela Marinha do Brasil.
REDM – Red Multicriterio. Promove periodicamente o Encontro de
Red Multicriterio de Evaluación y Decisión Multicriterio.

CLAIO - Congreso Latino-Iberoamericano de Investigación
Operativa. Este evento acontece de dois em dois anos e é
patrocinado pela ALIO - Asociación Latino-Iberoamericana de
Investigación Operativa.
INFORMS – Institute for Operations Research and the
Management Science.
Entre outras.

Revistas na Área de Pesquisa Operacional (Nacionais)
Pesquisa Operacional;Gestão & Produção; Produção; entre outras.
Revistas na Área de Pesquisa Operacional (Internacionais)
Journal of the Operational Research Society
Journal of the Operational Research Society
European Journal Operational Research
Annals of Operational Research
Mathematical Programming
Omega
Computers and Operations Research
Decision Support Systems
Management Science

Software na Área de Pesquisa Operacional
SOLVER / EXCEL
LINDO / LINGO
XPRESS
WINPLOT
GAMS
Matlab Optimization Toolbox

Programação Linear
Programação Inteira
Programação Mista
Programação por Metas
Programação Não-Linear
Programação Dinâmica
Grafos

Simulação
Teoria das Filas
Teoria dos Jogos
Inteligência Artificial
Redes Neurais Artificiais
Análise Envoltória de Dados
Apoio Multicritério à Decisão

3.3 Modelos
Os modelos são empregados para nos ajudar a abordar e
estruturar problemas complexos e a tratar incertezas que
eventualmente um problema de decisão possa ter.
A construção de modelos é a essência da abordagem de pesquisa
A construção de modelos é a essência da abordagem de pesquisa
operacional (Wagner, 1986).
Em suma, o termo modelo em Pesquisa Operacional é uma
maneira de obter uma visão bem-estruturada da realidade,
permitindo-nos uma abordagem “quase real” do problema de
decisão.

3.3 Modelos
Identificam-se diversos significados do termo modelo, tais como:
- uma miniatura de um prédio, de um carro ou de um avião são
modelos em tamanho reduzido do prédio, do carro e do avião;
- uma idealização da realidade, neste caso, busca-se um
simplificação da realidade permitindo a sua abordagem sem a
total complexidade do problema real.
Em Pesquisa Operacional, um modelo é quase sempre uma
representação aproximada da realidade, traduzida através de
formulações matemáticas. A figura 1 abaixo apresenta uma visão
da diferença entre o modelo e o problema do mundo real.

3.3 Modelos
M O D E L O
M U N D O R E A L

3.3 Modelos
O termo representação aproximado da realidade significa que
pequenos detalhes podem ser retirados ou descartados do
problema de decisão, sem perda para a sua abordagem. Outros,
que mais significativos para o problema abordado tem que ser
considerados no modelo.
considerados no modelo.
O modelo emprega símbolos matemáticos para serem associados
a determinadas características ou variáveis do problema
abordado. Estas variáveis são relacionadas por equações ou
inequações matemáticas que expressam o funcionamento do
sistema. A solução consiste em encontrar valores adequados das
variáveis de decisão que otimizem o desempenho do sistema,
segundo o critério desejado.

3.3 Modelos
Para a realização de uma análise quantitativa de um problema,
através da pesquisa operacional, é necessária a sua
fragmentação, identificando etapas para a sua abordagem, quais
sejam:

3.4 Introdução à Programação Linear
A Pesquisa Operacional primeiramente era associada à
Programação Linear, pois foi a primeira área da PO que teve uma
grande quantidade de aplicações. É ainda hoje uma das áreas
mais importantes da Pesquisa Operacional.
O termo linear impõe restrições matemáticas, da seguinte forma:
somente equações matemáticas lineares podem ser empregadas
para escrever ou representar um modelo matemático.
Se um modelo não puder ser escrito somente em termos de
equações lineares, outras técnicas da pesquisa operacional devem
ser empregadas e não a programação linear na abordagem deste
problema.

Hipóteses e Limitações da Programação Linear:
Além de somente poder tratar modelos matemáticos
representados através de equações lineares, conforme comentado
no parágrafo anterior, um Problema de Programação Linear deve:
no parágrafo anterior, um Problema de Programação Linear deve:
Aditividade; consideram-se as variáveis de decisão como sendo
totalmente independente uma das outras. Não permite que haja
interdependência entre as variáveis de decisão, (ex: X1 + 3X2).
Constantes; consideram-se os coeficientes a, b e c, que
multiplicam as variáveis de decisão ou limitam uma equação de
restrição, como sendo coeficientes constantes e na realidade
podem não ser.

Hipóteses e Limitações da Programação Linear:
Proporcionalidade; estes modelos, não consideram, por
exemplo, a economia de escala. Quanto mais produzimos de um
item mais reduzimos o custo de produção deste item. O lucro de
item mais reduzimos o custo de produção deste item. O lucro de
cada atividade é proporcional ao lucro unitário de um item. Esta
hipótese diz que o lucro unitário c independe do nível de produção
de x (não considera a economia de escala).
Divisibilidade: as soluções dos modelos de programação linear
podem apresentar valores fracionários e em muitos problemas as
variáveis de decisão não podem assumir valores fracionários.

Conjuntos Convexos e Não-Convexos:
Conjuntos Convexos:
Conjuntos Não-Convexos:

Soluções Viáveis:
O conjunto de todas as soluções viáveis de um problema de
programação linear é um conjunto convexo. Uma solução viável é
uma solução que respeita todas as restrições do modelo
uma solução que respeita todas as restrições do modelo
matemático.
Soluções Ótimas:
Diz-se que uma solução é ótima em um PPL quando as variáveis
assumem determinados valores que otimizam a função objetivo. A
solução ótima é uma solução pertencente ao conjunto de soluções
viáveis do PPL.

3.4 Introdução à Programação Linear (Elementos de um
modelo de PPL)
- Identificar as variáveis de decisão: VD (X1, X2, . . . , Xn);
- Definir a função objetivo do problema: FO (Z-Max ou Z-Min);
- Restrições tecnológicas: R1, R2, ..., Rn;
- Restrições de não-negatividade: X1>=0; X2 >=0,...,Xn>=0.

3.4 Programação Linear (Resumo de um PPL)
- VD (X1, X2, . . . , Xn);
- FO (Z-Max ou Z-Min);
- Restrições tecnológicas, restrições de não-negatividade;
- Escrever as restrições de não-negatividade:
- Escrever as restrições de não-negatividade:
Em PPL as hipóteses limitadoras são:
- Aditividade: as VD são independentes;
- Constantes: consideram-se “a, b, c” como constantes;
- Proporcionalidade: não considera a economia de escala;
- Divisibilidade: as VD assumem valores reais.
Em PPL os conjuntos de soluções viáveis são sempre conjuntos
convexos, e a solução ótima esta na fronteira deste conjunto.

3.5 Exemplos de Problema de Programação Linear
Ex.1 (Kolman, Introdução à Álgebra Linear com Aplicações, pg.301)
Um pequeno fabricante de produtos fotográficos prepara dois tipos
de reveladores de filme por dia. Fino e Extrafino, usando como
matéria-prima as soluções A e B. Suponha que cada litro do
matéria-prima as soluções A e B. Suponha que cada litro do
revelador Fino contém 2 medidas da solução A e 1 medida da
solução B, enquanto que o revelador Extrafino contém 1 medida da
solução A e 2 medidas da solução B. Suponha, também que o lucro
em cada litro do revelador Fino é de 8 centavos, enquanto que o
lucro em cada litro do revelador Extrafino é de 10 centavos. Se a
firma tem disponíveis 50 medidas da solução A e 70 da solução B por
dia, quantos litros ela deve produzir de cada tipo de revelador por
dia para maximizar o lucro (supondo que ela pode vender tudo que
produzir)?

- Variáveis de Decisão:
X1 - número de litros do revelador Fino a ser produzido por dia;
X2 - número de litros do revelador Extrafino a ser produzido por dia.
- Restrições Tecnológicas:
Restrição devido a solução A:
Cada litro do revelador Fino contém 2 medidas da solução A,
Cada litro do revelador Extrafino contém 1 medida da solução A,
A quantidade total da solução A necessária é:
2.X1 + X2.

Restrição devido a solução B:
Cada litro do revelador Fino contém 1 medidas da solução B,
Cada litro do revelador Extrafino contém 2 medida da solução B,
A quantidade total da solução B necessária é:
A quantidade total da solução B necessária é:
X1 + 2.X2.
A disponibilidade das soluções A e B, são 50 medidas da solução A e
70 medidas da solução B, assim temos:
2.X1 + X2 < 50 ===> (Restrição devido a solução A)
X1 + 2.X2 < 70 ===> (Restrição devido a solução B)

- Restrições de não-negatividade:
Como as soluções não podem ser negativas para produzir os
reveladores, temos:
X1 > 0
X1 > 0
X2 > 0
- Função Objetiva:
O lucro em cada litro dos reveladores Fino e Extrafino é de,
respectivamente, 8 e 10 centavos, o lucro total (em centavos) é:
FO Max: Z = 8.X1 + 10.X2

- Modelo Matemático do Ex. 1:
FO Max: Z = 8.X1 + 10.X2
FO Max: Z = 8.X1 + 10.X2
Sujeito à:
2.X1 + X2 < 50
X1 + 2.X2 < 70
X1 > 0
X2 > 0

Ex.2 (Kolman, Introdução à Álgebra Linear com Aplicações, pg.301)
Um fabricante de determinado produto químico tem duas fábricas
onde o produto é feito. A fábrica X pode fabricar no máximo 30
toneladas por semana, enquanto a fábrica Y pode fabricar no
toneladas por semana, enquanto a fábrica Y pode fabricar no
máximo 40 toneladas por semana. O fabricante quer fazer um total
de pelo menos 50 toneladas por semana. A quantidade de partículas
poluentes encontradas semanalmente na atmosfera de uma cidade
próxima às fábricas é de 20 quilos por cada tonelada fabricada em X
e de 30 quilos por cada tonelada fabricada em Y. Quantas toneladas
devem ser fabricadas em cada fábrica por semana de modo a
minimizar as partículas poluentes na atmosfera?

- Variáveis de Decisão:
X - número de toneladas fabricadas em X por semana;
Y - número de toneladas fabricadas em Y por semana.
- Restrições Tecnológicas:
1) Restrição devido a quantidade de toneladas fabricadas: X+Y>50
2) A fábrica X pode fabricar no máximo 30 toneladas: X < 30
3) A fábrica Y pode fabricar no máximo 40 toneladas: Y < 40
4) X não pode ser negativo: X > 0
5) Y não pode ser negativo: Y > 0

- Função Objetiva:
A quantidade total de partículas poluentes (em quilos) é:
FO Min: Z = 20.X + 30.Y
- Modelo Matemático do Ex. 1:
FO Min: Z = 20.X + 30.Y
Sujeito à:
X + Y > 50
X < 30
Y < 40
X > 0
Y > 0

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