метод зейделя

1. Линейные операторы.
Линейные ограниченные операторы.
Пусть E и F – линейные системы. Говорят, что на множестве DE задан оператор A со
значением F (оператор, действующий из D в F), если каждому элементу xD поставлен в
соответствие y = Ax F
Множество D называется областью определения оператора и обозначается D(A).
Совокупность всех элементов y из F, представимых в виду y = Ax (xD(A)) называется
областью значений оператора A и обозначается через R(A).
Пример в С(0.1).
Ax(t) = x2
(t).
Областью определения оператора служит все пространство С(0,1), - областью значений –
совокупность всех неотрицательных функций из С(0,1).
Этот же оператор в L2(0,1) будет отображать его в совокупность неотрицательных
функций в L1(0,1)
Оператор A называется линейным, если D(A) – линейное многообразие в E и для
x1,x2D(A)
A(1x1 + 2x) = 1Ax1 + 2Ax2
Примерами линейных операторов в любой линейной системе E служат:
 одиночный или множественный оператор I, ставящий в соответствие каждому
элементу из E сам этот элемент: Ix=x.
 оператор подобного преобразования :x = x ( - фиксированное число).
В конечномерном пространстве En примерами линейных операторов служат линейные
преобразования пространства. Такие операторы могут быть заданы с помощью
квадратной матрицы (aik): если
x = {1, 2,…n} и y = {1, 2,…n}, то


n
k
kiki a
1

Аналогами таких операторов в функциональных пространствах являются интегральные
операторы
y(t)=Ax(t)= 
1
0
)(),( dssxstK
Если, например, ядро K(t,s) непрерывно, то этот линейный оператор определен на всем
пространстве С(0,1) и отображает его в некоторую часть пространства С(0,1).

2. В пространстве С(0,1) можно рассматривать линейный оператор дифференцирования:
Ax(t)=x’(t), определенный на непрерывно дифференцируемых функциях D(A)=C1
(0,1).
Областью значений – все пространство С(0,1).
Если этот оператор расширить на совокупность абсолютных непрерывных функций, то
его областью значений будет пространство )1.0(1L .
Для линейных операторов, отображающих линейную систему E в линейную систему F,
естественным образом вводятся операции сложения и умножения на число. По
определению A = 1A1 + 2A2 есть оператор, для которого
Ax = 1A1x + 2A2x
Пусть E, F – два линейных нормированных пространства. Оператор A называется
непрерывным в точке x0D(A), если из xx0 xnD(A) следует
AxnAx0
Если оператор A определен и непрерывен в каждой точке пространства E, то его называют
просто непрерывным оператором из E в F.
Линейный оператор, определенный в E, называется ограниченным, если
AxF  CxF,
где С не зависит от выбора xE.
Наименьшее из чисел С называется нормой оператора A и обозначается AEF.
Если E совпадает с F, то пишут A
E
Fx
FE
x
A
Ex
A


sup