Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.

1vectors

4.197 Aufrufe

Veröffentlicht am

  • Loggen Sie sich ein, um Kommentare anzuzeigen.

  • Gehören Sie zu den Ersten, denen das gefällt!

1vectors

  1. 1. 315 102 General Physics I อ. ดร. ศรีประจักร์ ครองสุ ข เวกเตอร์ (Vectors) Vectors) • บทนํา • การรวมเวกเตอร์ • เวกเตอร์ หนึงหน่วย • การแยกเวกเตอร์ • ผลคูณสเกลาร์ และเวกเตอร์ • ผลคูณสเกลาร์ ของสามเวกเตอร์ 1 6/4/2008
  2. 2. บทนํา (Introduction) ปริ มาณทีวัดในทางฟิ สิ กส์แบ่งออกเป็ น 2 ประเภทคือ • ปริ มาณสเกลาร์ (scalar quantity) คือ ปริ มาณทีระบุขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น อุณหภูมิ, ปริ มาตร, มวล, เวลา เป็ นต้น • ปริ มาณเวกเตอร์ (vectors) คือ ปริ มาณทีต้องระบุทงขนาดและทิศทางพร้อมกัน เช่น ั การกระจัด, ความเร็ ว, ความเร่ ง, แรง, สนามแม่ไฟฟ้ าและสนามแม่เหล็ก เป็ นต้น A B θB N A θA อุณหภูมิ E B ปริ มาณสเกลาร์ ปริ มาณเวกเตอร์2 6/4/2008
  3. 3. การรวมเวกเตอร์สมบัติของเวกเตอร์(1) การเท่ากันของสองเวกเตอร์ ถ้าเวกเตอร์ A และเวกเตอร์ B เท่ากัน จะต้องมีขนาดเท่ากัน (A = B) และมีทิศทางเดียว กันด้วย A A B B A=B A≠B A A B B A ≠ B แต่ A = -B A≠B 6/4/20083
  4. 4. การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)(2) การบวกเวกเตอร์ โดยใช้วธีเรขาคณิ ต (geometric method) ิ • การบวกสองเวกเตอร์ A R=A+B R B B θ A • การบวกเวกเตอร์ ทีมีมากกว่าสองเวกเตอร์ ขึนไป R=A+B+C C C 120° B R 60° B θ A A4 6/4/2008
  5. 5. การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)การบวกของสองเวกเตอร์ สามารถเขียนในอีกแบบหนึ ง ซึ งเรี ยกว่าการบวกเวกเตอร์แบบสร้างรู ปสี เหลียมด้านขนาน (parallelogram) B B R A A(3) การสลับทีของการบวก (commutative law of addition) A A+B=B+A R B B A5 6/4/2008
  6. 6. การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)(4) การเปลียนกลุ่มของการบวก (associative law of addition) A + (B + C) = (A+ B) + C C C B+C A+B B B A A(5) เวกเตอร์ ทีติดลบ (Negative of a vector) A + (-A) = 0 เวกเตอร์ A และ –A มีขนาดเท่ากันแต่มีทิศตรงข้าม(6) การคูณปริ มาณสเกลาร์ (m) กับเวกเตอร์ B = mA เวกเตอร์ B ยาวเป็ นจํานวน m เท่าของเวกเตอร์ A6 6/4/2008
  7. 7. การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)(7) การลบเวกเตอร์ A – B = A + (– B ) B R=A-B A B -B A R=A-B7 6/4/2008
  8. 8. คําถาม (question)? จงหาเวกเตอร์ลพธ์ ั C R = A+B+C+D+E D D C E B E R B A A8 6/4/2008
  9. 9. การหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลพธ์ ั ขนาดของเวกเตอร์ ลพธ์ ั β R R 2 = ( A + B cos θ ) 2 + ( B sin θ ) 2 B R 2 = A2 + 2 AB cos θ + B 2 cos 2 θ + B 2 sin 2 θ α γ θ R = A2 + B 2 + 2 AB cos θ (1.2) A ทิศของเวกเตอร์ ลพธ์ ั สมการที 1.2 และ 1.3 เรี ยกว่า กฎของโคไซน์ (cosine’s law) นอกจากนียังสามารถหาค่าเหล่านี B sin θ ได้โดยใช้กฎของไซน์ (sine’s law) tan α = A + B cos θ  B sin θ α = tan −1   (1.3) R = A = B (1.4)  A + B cos θ  sin γ sin β sin α9 6/4/2008
  10. 10. เวกเตอร์หนึงหน่วย เวกเตอร์ หนึงหน่ วย (unit vectors) คือ เวกเตอร์ ทีมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย ซึ งถูกกําหนดโดย A eA = (1.1) A A = Ae A A eA ัในระบบพิกดแบบคาทีเซี ยน (cartesian coordinates system) เวกเตอร์ หนึ งหน่วยในแนวแกนx, y, และ z แทนด้วยสัญลักษณ์ i, j, k ตามลําดับ z k j y i10 x 6/4/2008
  11. 11. การแตกเวกเตอร์ ั ่ เวกเตอร์ใดสามารถแตกเป็ นองค์ประกอบทีตังฉากกัน สําหรับระบบพิกดแบบคาร์ทีเซี ยนจะได้วา A = Ax + Ay + Az = Axi + Ayj + Azk z จากรู ปจะเห็นว่า Ax = A sin θ cos φ Ay = A sin θ sin φ Az A Az = A cos θ θ eA A ดังนันขนาดของเวกเตอร์ A k j y Ax i y A = Ax2 + Ay + Az2 2 φ x และมีเวกเตอร์ หน่วย eA e A = sin θ cos φ i + sinθsinφ j + cosθ k11 6/4/2008
  12. 12. การแตกเวกเตอร์ (ต่อ)ในกรณี ทีแตกเวกเตอร์ บนระนาบ (2 มิติ) จะได้ A = Ax + Ay = Ax i + Ay j y โดยที Ax = A cos θ Ay A Ay = A sin θ j eA θ o i Ax x ดังนันขนาดของเวกเตอร์ A และ เวกเตอร์ หน่วย A = Ax2 + Ay , 2 e A = cos θ i + sinθ j12 6/4/2008
  13. 13. การรวมเวกเตอร์ดวยวิธีแยกองค์ประกอบ ้ y จากรู ปจะเห็นว่า A1 = A1x i + A1y j A1 A2 = -A2x i + A2y j A2 A3 = -A3x i - A3y j x A3 ดังนันเวกเตอร์ ลพธ์ของสามเวกเตอร์ คือ ั R = A1 + A 2 + A 3 R = ( A1x − A2 x − A3 x )i + ( A1 y + A2 y − A3 y ) j R = Rx i + R y j y ขนาดและทิศทางของ R คือ R Ry R = Rx + R y 2 2 θ x Rx  Ry 13 θ = tan −1     6/4/2008  Rx 
  14. 14. การรวมเวกเตอร์ดวยวิธีแยกองค์ประกอบ ้ถ้ามีเวกเตอร์ จานวนมาก การรวมเวกเตอร์ ในแต่ละองค์ประกอบจะเป็ นดังนี ํ Rx = ∑ Rix ผลบวกแบบพีชคณิ ตของเวกเตอร์ องค์ประกอบตามแกน x i =1 R y = ∑ Riy ผลบวกแบบพีชคณิ ตของเวกเตอร์ องค์ประกอบตามแกน y i R = Rx i + R y j14 6/4/2008
  15. 15. ตัวอย่าง 1 กําหนดให้ A1 = 3i + 5 j − k จงหา (1) R = A1 + A 2 A 2 = i − 4 j + 3k (2) R = A1 − A 2 วิธีทา ํ (1) (2) R = (3 + 1)i + (5 − 4) j + (−1 + 3)k R = (3 − 1)i + (5 − (−4)) j + (−1 − 3)k R = 4i + j + 2k R = 2i + 9j - 4k R = 4 2 + 12 + 2 2 = 21 R = 2 2 + 9 2 + (−4) 2 = 10115 6/4/2008
  16. 16. ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์มี 2 แบบ คือ • การคูณแบบสเกลาร์ (scalar product) ปริ มาณสเกลาร์ • การคูณแบบเวกเตอร์ (vector product) ปริ มาณเวกเตอร์ ผลคูณแบบสเกลาร์ A.B = AB cos θ (1.2) โดยที B θ 0 ≤ θ ≤ 180o A16 6/4/2008
  17. 17. ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ) สมบัติการคูณแบบสเกลาร์ (1) A.B = B.A (2) A.(B + C) = A.B + A.C (3) m(A.B) = (mA).B = A.( mB) = (A.B)m (4) i.i = j.j = k.k = 1 i.j = j.k = k.i = 0 (5) A = Ax i + Ay j + Az k , B = Bx i + B y j + Bz k A.B = Ax Bx + Ay B y + Az Bz A.A = A2 = Ax + Ay + Az2 2 2 B.B = B 2 = Bx2 + B y + Bz2 2 (6) A.B = 0 if A ≠ 0, B ≠ 0 then A ⊥ B17 6/4/2008
  18. 18. ตัวอย่าง 2 จงแสดงให้เห็นว่า i.i = j.j = k.k = 1 และ i.j = j.k = k.i = 0 วิธีทา ํ จากนิยามของการคูณแบบสเกลาร์ A.B = AB cosθ เนืองจากเวกเตอร์ หนึ งหน่วย i, j และ k ทํามุมตังฉากกันคือ θ = 90° ดังนัน i.j = ij cos 90 = 0, j.k = jk cos 90 = 0, k.i = ki cos 90 = 0 ส่ วน i.i = j.j = k.k = 1 เนืองจากเวกเตอร์ มีทิศเดียวกัน18 6/4/2008
  19. 19. ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ) ผลคูณแบบเวกเตอร์ A×B อ่านว่า “A cross B” A×B โดยมีขนาดเป็ น A × B = AB sin θ (1.3) θ B จากรู ปแสดงให้เห็นว่า A A × B = −B × A B× A19 6/4/2008
  20. 20. ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ)สมบัติการคูณแบบเวกเตอร์ (1) A × B = - B × A (2) A × (B + C) = A × B + A × C (3) m (A × B) = ( mA) × B = A × ( mB) = (A × B) m (4) i × i = j × j = k × k = 0 i× j =k j× k = i k ×i = j (5) A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + B y j + Bz k i j k A × B = Ax Ay Az Bx By Bz = ( Ay Bz − Az B y )i + ( Az Bx − Ax Bz ) j + ( Ax B y − Ay Bx )k20 6/4/2008
  21. 21. การคูณของสามเวกเตอร์ การคูณของสามเวกเตอร์ มี 2 แบบ คือ • การคูณสามชันแบบสเกลาร์ (scalar triple product) • การคูณสามชันแบบเวกเตอร์ (vector triple product) การคูณสามชันแบบสเกลาร์ ได้ผลลัพธ์เป็ นปริ มาณสเกลาร์ ซึงมีนิยามดังนี Ax Ay Az A.(B × C) = Bx By Bz (1.4) Cx Cy Cz การคูณสามชันแบบเวกเตอร์ ได้ผลลัพธ์เป็ นปริ มาณเวกเตอร์ ซึงมีนิยามดังนี A × B × C = ( A.C)B − (A.B)C (1.5)21 6/4/2008
  22. 22. คําถาม? กําหนดให้ A = 2i + j − 3k B = i − 2j + k C = −i + j − 4k จงหา (1) A.B (2) A × B (3) A.(B × C) (4) A × (B × C)22 6/4/2008

×