อินทิเกรต

บทที่ 3
การอินทิเกรต ( ปฏิยานุพันธ์ )
ในเรื่องอนุพันธ์ ได้กล่าวถึงการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะ ใดๆ อนุพันธ์
ของฟังก์ชัน รวมทั้งบทประยุกต์ของอนุพันธเช่น การหาความเร็วและความเร่งเมื่อกาหนดสมการการเคลื่อนที่
มาให้ ถ้าเราทราบความเร็วและความเร่งในการเคลื่อนที่ของวัตถุ และต้องหาระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ หรือ
ถ้าทราบความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ ต้องการหาสมการเส้นโค้งเป็นต้น กระบวนการที่ใช้ในการหาฟังก์ชัน
เดิมเมื่อทราบอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นคือโอเปอเรชันตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ เรียกโดยทั่วไปว่า
3.1 การหาปฏิยานุพันธ์หรืออินทิเกรต ( antiderivative or integration ) อินทิเกรตเป็นโอเปอเรชันตรงข้าม
กับการหาอนุพันธ์ เพื่อหาฟังก์ชันเดิมเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจานวนจริง
และ F/
(x) = f (x) สาหรับ ที่อยู่ในโดเมนของ อินทิกรัลไม่จากัดเขตของฟังก์ชัน เขียนแทนด้วย  dxxf )(
โดยที่  dxxf )( = F (x) + c เมื่อ เป็นค่าคงตัวใดๆ ว่าการอินทิเกรต
สัญลักษณ์  เรียกว่าอินทิกรัล
เรียก  dxxf )( ว่าการอินทิเกรต
f (x) ว่าตัวถูกอินทิเกรต
dx เป็นสัญลักษณ์ที่บอกว่า การอินทิเกรตนี้เทียบกับตัวแปร x
3.2 อินทิกรัลไม่จากัดเขต ( ปริพันธ์ไม่จากัดเขต)
ตัวอย่างเปรียบเทียบเรื่องอนุพันธ์กับการอินทิเกรต
ฟังก์ชัน อนุพันธ์ อินทิเกรต
1. y = x3
dx
dx 3
= 3x2  dxx 2
3 = x3
+ c
2. y = x4
dx
dx 4
= 4x3  dxx 3
4 = x4
+ c
สูตรการอินทิเกรต
สูตรที่ 1  dxx n
=
1
1


n
x n
+ c
สูตรที่ 2  dxxkf )( = k dxxf )(
สูตรที่ 3   dxxgxf )]()([ =  dxxf )(   dxxg )(

2
แบบที่ 1 อินทิกรัลจากัดเขตของฟังก์ชันต่างๆ
1.1 เมื่อ n เป็นจานวนเต็มบวก
ตัวอย่าง 1.1 จงหา  dxx4
5
วิธีทา  dxx4
5 =
14
5 14


x
+ c
=
5
5 5
x
+ c
= x5
+ c
1.3 เมื่อ n เป็นจานวนเศษส่วนบวก
ตัวอย่าง 1.3 จงหา  dxx
วิธีทา  dxx =  dxx2
1
=
2
3
1
2
1

x
+ c
= 2
3
3
2
x + c
= xx
3
2
+ c
1.2 เมื่อ n เป็นจานวนเต็มลบ
ตัวอย่าง 1.2 จงหา  dx
x3
1
วิธีทา  dx
x3
1
= 

dxx 3
=
2
13


x
+ c
=
2
2


x
+ c
= 2
2
1
x
 + c
1.4 เมื่อ n เป็นจานวนเศษส่วนลบ
ตัวอย่าง 1.4 จงหา  dx
x2
1
วิธีทา  dx
x2
1
= 

2
1
2
1
x
=
2
12
1
1
2
1

x
= 2
1
x + c
แบบที่ 2 อินทิกรัลไม่จากัดเขตของฟังก์ชันต่างๆในรูปผลคูณและผลหาร
ตัวอย่าง 2.1   dxxxx )56( 23
วิธีทา

3
x ( 6x2
- 5x)dx = dxxx )56( 45

= dxxdxx   45
56
= c
xx

5
5
6
6 56
= x cx  56
ตัวอย่าง 2.2 dx
x
x


2
4
)23(
วิธีทา
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
)
23
(
)23(
22
4
2
4



= dxxdxx )23( 22



= dxxdxx 

 22
23
= 3 dxxdxx 

 22
2
= c
xx




1
)(2
3
3 13
= x c
x
 2
3 2

3
ตัวอย่าง 2.3  x (x x2
)dx
วิธีทา
 x (x x2
)dx =  2
1
x ( x 2
1
2
x )dx
= dxxx )( 2
5

=   xdxdxx2
5
= c
xx

2
2
7
22
7
= c
xx

27
2 22
7
= c
x
x
x

27
2 23
ตัวอย่าง 2.4 dx
x
xx
)
4
(
23


วิธีทา
dxxxxdx
x
xx
)4()
4
( 232
123




= dxxx )4( 2
3
2
5

= dxxdxx   2
3
2
5
4
= c
xx

2
5
4
2
7
2
5
2
7
= cx
x
 2
52
7
)
5
2
(4
7
2
= cxxx
x
 2
3
5
8
7
2
แบบที่ 3 การอินทิเกรตโดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปร (Integration by subsitution)
ขั้นที่ 1 กาหนดให้ u = f(x)
ขั้นที่ 2 )(/
xf
dx
du

ขั้นที่ 3 จัดรูป du = f dxx)(/
ขั้นที่ 4 ใช้สูตร c
n
u
duu
n
n




 1
1
ตัวอย่างที่ 1 จงหา dxx  3
)12(
วิธีทา ให้ u = 2x-1
2
dx
du
dxdu 
2
1
แทนค่าจะได้ว่า
duudxx )
2
1
()12( 33
 
=  duu3
2
1
=
42
1 4
u
+ c
= 4
)12(
8
1
x + c
ตัวอย่างที่ 2 จงหา   dxxxx )32()62( 52
วิธีทา ให้ u = 2x2
– 6x
dx
du
= 4x – 6 = 2( 2x - 3)
dxxdu )32(
2
1

  dxxxx )32()62( 52
= duu )
2
1
(5
=  duu5
2
1
=
62
1 6
u
+ c
= 62
)62(
12
1
xx  + c

4
ตัวอย่างที่ 3 จงหา   dxx32
วิธีทา ให้ u = 2 – 3x
du = - 3 dx
du
3
1
 = dx
  dxx32 = duu )
3
1
(2
1

= 2
3
)
3
2
(
3
1
u + c
= uu
9
2
 + c
= xx 32)32(
9
2
 + c
ตัวอย่างที่ 4 จงหา  
dx
x3
12
2
วิธีทา  
dx
x3
12
2
= dxx 3
1
)12(2

 
ให้ u = 2x – 1
du = 2 dx
du
2
1
= dx
 
dx
x3
12
2
= 

3
1
2 u du)
2
1
(
= 3
2
)
2
1
(2 u + c
= 3 2
)12( x + c
4. โจทย์เกี่ยวกับการอินทิเกรต
4. 1 สมการเส้นโค้ง y = f (x)
กาหนดความชันของเส้นโค้ง f /
(x) ที่จุด ( x , y ) คืออนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง dxxf )(/
ขั้นตอนการคานวณ
1. อินทิเกรต dxxf )(/
= f (x) + c
2. หาค่า c แทนค่า x , y ในสมการเส้นโค้ง y = f (x) + c
ตัวอย่างที่ 4.1 จงหาสมการเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( - 2 , 1 ) และมีความชันของเส้นโค้งที่จุด ( x , y ) ใดๆ
เป็น 2x
วิธีทา ให้ y = f (x) เป็นสมการเส้นโค้ง
ความชัน f /
(x) = 2x
สมการเส้นโค้ง f (x) = dxxf )(/
=  dxx)2(
= x2
+ c
ผ่านจุด ( - 2 , 1 ) แทนค่า x = - 2 , y = 1 ในสมการเส้นโค้ง
1 = (- 2)2
+ c
- 3 = c
ดังนั้นสมการเส้นโค้ง คือ y = x2
– 3

5
ตัวอย่างที่ 4.2 จงหาสมการเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 3 , - 2 ) และมีความชันของเส้นโค้งที่จุด ( x , y ) ใดๆ เป็น 8x
(x) = 8x
สมการเส้นโค้ง f (x) = dxxf )(/
=  dxx)8(
f (x) = 4x2
+ c ……………
ผ่านจุด ( 3 , - 2 ) แทนค่า x = 3 , y = - 2 ในสมการเส้นโค้ง
- 2 = (3)2
+ c
- 2 - 9 = c , - 11 = c
ดังนั้นสมการเส้นโค้ง คือ y = 4x2
– 11
4.2 อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน f //
(x ) คือ อนุพันธ์อันดับที่สอง
ขั้นตอนการคานวณ
1. หาความชัน dxxf )(//
= f /
(x) + c1
2. หาสมการเส้นโค้ง dxxf )(/
= f (x) + c2
ตัวอย่างที่ 4.2 ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเส้นโค้งที่จุด ( x , y ) ใดๆ เป็น 24x2
จงหาสมการของเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 0 , - 9 ) และ ( 2 , 1 )
อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน คือ f //
(x ) = 24x2
(x) = dxxf )(//
=  dxx2
24
จะได้ f /
(x) = 8x3
+ c1
เส้นโค้ง f (x) = dxxf )(/
= dxcx  )8( 1
3
จะได้ f (x) = 2x4
+ c1x + c2 ……………………….(1)
เส้นโค้งผ่านจุด ( 0 , - 9 ) แทนค่า x = 0 , y = - 9 ในสมการ (1)
- 9 = 2(0) + c1(0) + c2
- 9 = c2
เส้นโค้งผ่านจุด ( 2 , 1 ) แทนค่า x = 2 , y = 1 และ c2 = - 9 ในสมการ(1)
1 = 2 (2)4
+ 2 c1 - 9
1 = 32 + 2 c1 - 9
1 – 23 = 2 c1
- 11 = c1
แทนค่า c1 = - 11 และ c2 = - 9 ในสมการ(1) จะได้สมการเส้นโค้ง คือ f (x) = 2x4
- 11 x – 9

6
4.3 สมการของการเคลื่อนที่
ให้ S = f (t) เป็นสมการของการเคลื่อนที่
1. ความเร็ว (v ) หรือ f /
(t) หรือ
dt
ds
สมการของการเคลื่อนที่ S = vdt
=  dttf )(/
= f (t) + c
2. ความเร่ง (a ) หรือ f //
(t) หรือ 2
2
dt
sd
2.1 ความเร็ว (v ) หรือ f /
(t) = adt
=  dttf )(//
= f /
(t) + c1
2.2 สมการของการเคลื่อนที่ S = vdt
=   dtctf ])([ 1
/
= f (t) + c1x+ c2
ตัวอย่างที่ 4.3 วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่จากจุดเริ่มต้น ถ้าความเร่ง (a ) ของวัตถุ ในขณะเวลา t ใดๆ
เท่ากับ 6t – 4 เมตร /วินาที2
และ เมื่อ t = 1 จะได้ระยะทาง ( S ) เท่ากับ 2 เมตร จงหา
1) ความเร็ว (v) ของวัตถุขณะ เวลา t = 3 วินาที
2) ระยะทาง (S) เมื่อ t = 3 วินาที
วิธีทา
1) ความเร็ว (v) ของวัตถุขณะเวลา t = 3 วินาที
ถ้าความเร่ง (a) มีค่าเท่ากับ 6t – 4 เมตร/วินาที2
หาความเร็ว (v) = adt
=   dtt )46(
= 1
2
43 ctt  ……(1)
ถ้าจากจุดเริ่มต้น แสดงว่า t = 0 , v = 0
แทนค่าในสมการ (1) 1c = 0
จะได้ v(t) = tt 43 2

2. ความเร็ว (v) ของวัตถุขณะ เวลา t = 3 วินาที
v(3) = 3(3)2
– 4(3)
= 27 – 12
= 15
ดังนั้น ความเร็ว (v) ของวัตถุขณะ เวลา t = 3 วินาที
เท่ากับ 15 เมตร/วินาที
2) ระยะทาง (S) เมื่อ t = 3 วินาที
S = vdt
=   dttt )43( 2
S = t3
– 2t2
+ c2 ………………..(2)
เมื่อ t = 1 จะได้ระยะทาง ( S ) เท่ากับ 2 เมตร
แทนค่าในสมการที่ (2)
2 = 13
– 2(1)2
+ c2
2 = 1 – 2 + c2
3 = c2 แทนค่าในสมการที่ (2)
สมการของการเคลื่อนที่ คือ S = t3
– 2t2
+ 3
ระยะทาง (S) เมื่อ t = 3 วินาที
S = 33
– 2(3)2
+ 3
= 27 – 18 + 3 = 12
ดังนั้น ระยะทาง (S) เมื่อ t = 3 วินาที
เท่ากับ 12 เมตร
ตัวอย่างที่ 4. 4 ในเวลา t วินาที รถไฟวิ่งด้วยความเร่ง a ฟุตต่อ(วินาที)2
โดยที่ 2
12 6 10a t t   ถ้า
0t  วินาที รถไฟวิ่งได้ระยะทาง 10 ฟุต ด้วยความเร็วศูนย์ฟุตต่อวินาที

7
จงหาระยะทาง s ของรถไฟ เมื่อ 5t  วินาที
วิธีทา a = 2
12 6 10t t 
หรือ dv
dt
= 2
12 6 10t t 
v = 2
12 6 10t dt tdt dt   
v =
3 2
1
12 6
10
3 2
t t
t C   เมื่อ 1C เป็นค่าคงที่
v = 3 2
14 3 10t t t C  
เมื่อ 0t  วินาที, v = 0 ฟุตต่อวินาที แทนค่าได้ 1 0C 
v = 3 2
4 3 10t t t 
หรือ ds
dt
= 3 2
4 3 10t t t 
s = 3 2
4 3 10t dt t dt tdt   
s =
4 3 2
2
4 3 10
4 3 2
t t t
C   เมื่อ 2C เป็นค่าคงที่
s = 4 3 2
25t t t C  
เมื่อ 0t  วินาที, s = 10 ฟุต แทนค่าได้ 2 10C 
s = 4 3 2
5 10t t t  
เมื่อ 5t  วินาทีs = 4 3 2
(5) (5) 5(5) 10  
= 625 + 125 + 125 + 10
= 885 ฟุต
ตัวอย่างที่ 3 รถไฟขบวนหนึ่งแล่นออกจากสถานีด้วยความเร่ง 1
(20 )
4
t เมตร/(วินาที)2
หลังจากนั้น 20 วินาที
รถไฟกาลังแล่นด้วยความเร็วเท่าใด และต่อจากนั้นรถไฟแล่นด้วยความเร็วนั้นโดยตลอด หลังจากออก
จากสถานี 30 วินาที รถไฟจะอยู่ห่างจากสถานีเป็นระยะทางเท่าใด
วิธีทา a = 1
(20 )
4
t
หรือ dv
dt
= 5
4
t

v = 1
5
4
dt tdt 
=
2
15
8
t
t C  เมื่อ 1C เป็นค่าคงที่
เมื่อ 0t  วินาที, v = 0 เมตรต่อวินาที แทนค่าได้ 1 0C 
v =
2
5
8
t
t  เมตรต่อวินาที
เมื่อ t = 20 วินาที ได้ v = 5(20) -
8
)20( 2
= 100 - 50 = 50 เมตรต่อวินาที

8
หลังจาก 20 วินาที รถไฟแล่นด้วยความเร็ว 50 เมตรต่อวินาที
ดังนั้น รถไฟแล่นด้วยความเร็ว 50 เมตรต่อวินาที เป็นเวลา 10 วินาที
คิดเป็นระยะทาง = 50  10 = 500 เมตร
ส่วนเวลา 20 วินาทีแรก รถไฟแล่นด้วยความเร็ว v = 5t -
8
2
t
เมตร / วินาที
 v = 5t -
8
2
t
หรือ
dt
ds
= 5t -
8
2
t
s = 5tdt -
8
1
dtt
2

=
2
5 2
t
-
24
3
t
+ c2 เมื่อ c2 เป็นค่าคงที่
เมื่อ t = 0 วินาที s = 0 เมตร แทนค่าได้ c2 = 0
s =
2
5 2
t
-
24
3
t
ฟุต
เมื่อ t = 20 วินาที ได้ s =
2
5
(20)2
-
24
1
(20)3
= 1000 -
3
1000
=
3
2000
เมตร
 หลังจากรถไฟออกจากสถานีได้ 30 วินาที รถไฟแล่นได้ระยะทางทั้งสิ้น
= 500 +
3
2000
=
3
3500
= 1166
3
2
เมตร
3.3 อินทิกรัลจากัดเขต ( ปริพันธ์จากัดเขต )
ทฤษฏีบทหลักมูลฐานของแคลคูลัส

9
กาหนด f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ a , b ] ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f แล้ว

b
a
f (x) dx = F(b) - F (a) เขียนแทนด้วย F(x)
b
a
ตัวอย่างที่ 1 จงหา 
3
1
(2 - x)dx
วิธีทา 
3
1
(2 - x)dx = (2x -
2
2
x ) 
3
1
F(3) = [2(3) -
2
3 2
)( ] = 6 -
2
9 =
2
3
F(1) = 2(1)-
2
1 2
)( ] = 2 -
2
1 =
2
3
F(3) - F(1) =
2
3 -
2
3
= 0
ตัวอย่างที่ 2 จงหา 
2
0
(3x2
-2x)dx
วิธีทา  f(x) = 3x2
-2x
 f(x)dx =  (3x2
- 2x)dx
= 
3
3 3
x
2
2 2
x
 F(x) = x3
- x2
a = 0 , b = 2
 F(0) = 03
- 02
= 0
F (2)= 23
-22
= 8-4
= 4
 F(2) – F (0) = 4-0
= 4
หรือ 
2
0
(3x2
-2x)dx = (x3
- x2
) 
2
0
= (23
-22
) - (03
-02
)
= (8 – 4) – 0
= 4
ตัวอย่างที่ 3 จงหา 
3
3
( 2x -3 ) dx
วิธีทา  
3
3
( 2x -3 ) dx = ( x2
- 3x )
3
3

10
= [32
- 3 (3 )] – [(-3)2
- ( 3 )( - 3 )]
= ( 9 - 9 ) - ( 9 + 9 )
= 0-18
= -18
ตัวอย่างที่ 4 จงหา
2
1
( x2
- 3x) dx
วิธีทา  
2
1
( x2
- 3x) dx = (
3
x 3
-
2
2
3x
) 2
1
= [ ]
2
)1(3
3
)1(
[]
2
)2(3
3
)2(
2323




= )
2
3
3
1
()
2
12
3
8
( 
=
6
11
3
10

=
6
11
6
20
 =
6
9
 =
2
3

คุณสมบัติบางประการเกี่ยวกับอินทริกรัลจากัดเขต
1.  
a
a
dxxf 0)(
เช่น 
2
2
xdx = a
a
x
2
2
=
22
22
aa

= 0
2. 
b
a
f (x)dx = -
a
b
f (dx)
เช่น 
3
1
(2x+1)dx = -
1
3
(2x+1)dx
 
3
1
(2x+1)dx = (x2
+x)
3
1
= (33
+3)-(12
+1)
= (9+3)-(1+1)
= 12-2
= 10
และ -
1
3
(2x+1)dx = -(x2
+x) 
1
3
= -[(12
+1)-(32
+3)]

11
= -[2-12]
= -(-10)
= 10
3. 
b
f
f(x)dx = 
c
a
f(x)dx + 
b
c
f(x)dx +
b
f
f(x)dx เมื่อ c [a,b]
เช่น 
2
2
(2x+3)dx = 
0
2
(2x+3)dx + 
2
0
(2x+3X)dx
 
2
2
(2x+3)dx = (x2
+3x)
2
2
= [22
+3(2)] – [(-2)2
+3(-2)]
= (4+6) - (4-6)
= 10-(-2)
= 12

0
2
(2x+3)dx = (x2
+3x)
0
2
= [(0) 2
+3(0)] – [(-2)2
+3(-2)]
= 0-(-2)
= 2

2
0
(2x+3)dx = (x2
+3x)
0
2
= [22
+(3) (2)] – (02
+3(0)]
= 4+6
= 10
 
0
2
(2x+3)dx+
2
0
(2x+3)dx = 2+10
= 12
= 
2
2
(2x+3)dx
4. dxxkf
b
a
)( = k
b
a
f(x)dx เมื่อ k เป็นค่าคงตัว
เช่น 
b
a
2xdx = 2
3
1
xdx
 
3
1
2xdx. = x2

3
1
= 32
- 12
= 8
2
3
1
xdx = 2( )
2
2
x

3
1
= x2

3
1

12
= 32
-12
= 8
 
3
1
2xdx. = 2
3
1
xdx
5. 
b
a
kdx = k (b-a)
เช่น 
5
2
3dx = 3x
5
2
= 3(5) – 3 (2)
= 3(5-2) = 9
6. 
b
a
[f(x) + g (x) ] dx = 
b
a
f(x) dx+ 
b
a
g(x)dx
เช่น 
2
1
(3x2
+2x)dx = 
3
1
3x2
dx+
3
1
2xdx
 
3
1
(3x2
+2x)dx = (x
3
+ x2
) 
3
1
= (33
+32
) - (13
+ 12
)
= (27 + 9 ) - (1+1)
= 36 – 2 = 34
3.4 พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
การหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ y = f (x) จาก x = a ถึง x = b
สามารถหาโดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท เมื่อ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ a , b ] และ A เป็นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ y = f (x)
จาก x = a ถึง x = b
1. ถ้า x สาหรับทุกค่าของ f (x)  0 ที่อยู่ในช่วง [ a , b ] และ A เป็นพื้นที่เหนือแกน X แล้ว
A = 
b
a
f (x)dx
2. ถ้าx สาหรับทุกค่าของ f (x)  0 ที่อยู่ในช่วง [ a , b ] และ A เป็นพื้นที่ใต้แกน X แล้ว
A = - 
b
a
f (x)dx
การหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง มี 2 วิธี
วิธีที่ 1 ใช้สูตรการหาพื้นที่ ( ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู)
วีธีที่ 2 ใช้อินทิกรัลจากัดเขต

13
2
22
ก. พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยสมการเส้นตรง
ตัวอย่างที่ 1 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง y = x + 4 จาก x = - 4 ถึง x = 2
วิธีทา y = x + 4
จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 ) คือ ( -4 , 0 )
จุดตัดแกน Y ( แทนค่า x = 0 ) คือ ( 0 , 4 )
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x  = x+4
วิธีที่ 1 ใช้สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม
พื้นที่สามเหลี่ยม =
2
1
x สูง x ฐาน
=
2
1
x 6 x 6
= 18 ตารางหน่วย
วิธีที่ 2 ใช้อินทิกรัลจากัดเขต
ให้ A เป็นพื้นที่เหนือแกน X
A = 
2
4
(x+4) dx
= (
2
x
+ 4x)
F(2) – F(-4) = (
2
2
+4(2)] – [
2
)4(
+ 4(-4)]
= ( 2 + 8 ) - ( 8 – 16 )
= 10 - ( - 8) = 18 ตารางหน่วย
ตัวอย่างที่ 2 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง y = x + 4 จาก x = - 2 ถึง x = 6
วิธีทา y = x + 4
จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 ) คือ ( -4 , 0 )
2
-4

14
2
จุดตัดแกน Y ( แทนค่า x = 0 ) คือ ( 0 , 4 )
14
12
10
8
6
4
2
-2
-15 -10 -5 5 10 15
f x  = x+4
วิธีที่ 1 ใช้สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู
พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู =
2
1
x ผลบวกด้านคู่ขนานสูง x ฐาน
=
2
1
x (2+10) x 8
A = 
6
2 (x+4) dx
= (
2
x
+ 4x)
F(-2) = (
2
)2( 2

+ 4(-2) = 2 – 8 = - 6
F(6) =
2
)6( 2
+ 4(6) = 18 + 24 = 42
F(-2) – F(6) = 42 - ( -6 ) = 48 ตารางหน่วย
ตัวอย่างที่ 3 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง y = - x – 3 จาก x = -3 ถึง x = 2
วิธีทา y = - x – 3
จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 ) คือ (- 3 , 0 )
6
-2

15
จุดตัดแกน Y ( แทนค่า x = 0 ) คือ (0 , - 3 )
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x  = -x-3
วิธีที่ 1 ใช้สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม
พื้นที่สามเหลี่ยม =
2
1
 สูง  ฐาน
=
2
1
 5  5
= 12.5 ตารางหน่วย
ให้ A เป็นพื้นที่เหนือแกน x
A = - 
2
3
( -x - 3 ) dx = -(-
2
2
x
-3x )
2
3
= (
2
2
x
+3x )
2
3
F(-3) - F(2 ) = [
2
22
+ 3(2) ] - [
2
)3( 2

+ 3 (-3) ]
= [( 2 + 6 ) – ( 4.5 - 9 )]
= [8 + 4.5 ]
= 12.5 ตารางหน่วย
ข. พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยสมการพาราโบลา
ตัวอย่างที่ 1 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 4 - x2
จาก x = - 2 ถึง x = 2
วิธีทา y = 4- x2
1 ) จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 ) คือ ( 2 , 0 ) และ ( 2 , 0 )

16
2 ) จุดศูนย์กลาง จัดรูป y = a( x – h )2
+ k ได้ดังนี้ y = -( x - 0)2
+ 4
จะได้จุดศูนย์กลาง คือ ( 0 , 4 ) เป็นจุดต่าสุดเพราะ a < 0
P1
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 15
พื้นที่ P1 = 10.57 ซม.2
f x  = 4-x2
A = 
2
2
( 4 – x2
) dx
= ( 4x –
3
3
x
)
2
2
F(2) - F(-2 ) = ( 4(2) -
3
23
] – [ 4 (-2 ) -
3
)2( 3

]
= ( 8 -
3
8
) – [- 8 -
3
)8(
]
= 8 -
3
8
- (- 8 +
3
8
)
= 8 -
3
8
+ 8 -
3
8
= 16 -
3
16
=
3
1648
=
3
32
=
3
2
10 ตารางหน่วย
ตัวอย่างที่2 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x² - 4x จาก x = 2 ถึง x = 4
วิธีทา y = x² - 4x
1. จุดตัดแกน X ( แทนค่า y = 0 )
0 = x² - 4x
0 = x (x – 4 ) ……ดึงตัวร่วม x
จะได้ x = 0 หรือ 4
2. จุดต่าสุด ใช้วิธีหาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง
y = = x² - 4x
dx
dy
= 2x – 4

17
ดังนั้นจุดตัดแกน X คือ (0 , 0) และ (4 , 0 ) 0 = 2x – 4
x = 2 แทนค่าในสมการเส้นโค้ง
y = 22
- 4 (2) = -4
จะได้จุดต่าสุด คือ ( 2 , - 4 )
เป็นจุดต่าสุด เพราะ a > 0
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x  = x2-4x
ค. พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของสมการดีกรีสาม
ตัวอย่างที่ 1 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 4x3
จาก x = - 2 ถึง x = 2
วิธีทา y = 4x3
A = )4(
4
2
2
xx   dx
= 4
2
3
22
3
3
2)2
3
(
x
xx
x

F (4) – F(2) = [2(4)2
-
3
43
]- [2(2)2
-
3
23
]
= (32 )
3
8
8()
3
64

= 32-
3
8
8
3
64

= 24-
3
56
=
3
5672 
=
3
1
5
3
16
 ตารางหน่วย

18
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
ให้ A เป็นพื้นที่ทั้งหมด A1 เป็นพื้นที่เหนือแกน X และ A2 เป็นพื้นที่ใต้แกน X
A = A1 + A2
A = - 
0
2
3
)4( x dx + 
2
0
3
)4( x dx
= - x4
0
2 + x4
2
0
F(2) - F(-2 ) = [- ( 0 – (-2 )4
] + ( 2 4
– 0 )
= - ( - 16 ) + ( 16 )
= 16 + 16
ตัวอย่างที่ 2 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = ( x -2 )3
จาก x = 2 ถึง x = 4
วิธีทา y = ( x -2 )3
y = 4x3

19
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 15
f x  = x-2 3
A = 
4
2
( x - 2 ) 3
dx
=
4
1
( x - 2 )4
4
2
F(2) - F(-2 ) = {
4
1
( 4 – 2 )4
} – {
4
1
( 2 – 2 )4
}
=
4
1
 16 - 0
ตัวอย่างที่ 3 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x3
– 6x2
+ 8x กับ แกน X
วิธีทา y = x3
– 6x2
+ 8x

20
จุดตัดแกน x คือ (0 , 0 ) และ ( 2 , 0 ) และ ( 4 , 0 )
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x  = x3-6x2 +8x
ให้ A1 เป็นพื้นที่เหนือแกน x
A2 เป็นพื้นที่ใต้แกน x
A1+A2 =  
2
0
23
-8x)dx6x-x(  
4
2
23
8x)dx6x-(x
= (
4
4
x
-2x3
+4x2
) - (
4
4
x
-2x3
+4x2
)
= [(4-16+16)-0]-[(64-128+64)-(4-16+16)]
= 4 - (- 4)
ตัวอย่างที่ 4 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x2
+ 2x + 1 ตัดกับเส้นตรง y = x+3
จาก x = - 2 ถึง x = 1
2
0
4
2

21
วิธีทา
สมการ y = x2
+ 2x + 1
จุดตัดแกน X คือ (-1 , 0)
จุดตัดแกน Y คือ (0 , 1)
จุดต่าสุดคือ (-1 , 0)
สมการ y = x+3
จุดตัดแกน X คือ (-3 , 0)
จุดตัดแกน Y คือ (0 , 3)
จุดตัดกันของกราฟทั้งสอง คือ (- 2 , 1) และ ( 1 , 4)
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
g x  = x+3
f x  = x2+2x+1
พื้นที่ (A) = dxxxx )]12)3[( 2
1
2

= dxxxx )]12)3[( 2
1
2

= dxxx )]2[(
1
2
2

= )2
23
(
23
x
xx

= )42
3
8
()2
2
1
3
1
( 
= 6
3
8
2
2
1
3
1

= 8
2
1
3
8
3
1
 = 8-3-
2
1
= 5-
2
1
=
2
9
= 4
2
1
แบบฝึกหัด 3.1 อินทิกรัลไม่จากัดเขต
1
- 2

22
ชุดที่ 1
จงหา
1. 4
5x dx
2. 5
4x dx
3. 4
x dx

4. 4
3
dx
x
5. x xdx
6. 3
4 xdx
7. 1
dx
x
8. 1
2
dx
x
ชุดที่ 2 การคูณและการหาร
จงหา
9. 3 2
( 4 )x x x dx
10. dxxxx  )46( 32
11.
5
3
3 2
( )
x
dx
x


12. 4
3 1
( )
2
dx
x x

13. 3 5
2 3
( )dx
x x

ชุดที่ 3 อินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร
14. 2xdx
15. 3
4 9xdx
16. 4
(3 1)x dx
17. 5
(3 4 )x dx
18. 2 1x dx
19. 2 5xdx
ชุดที่ 4 อินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร
20. dx)x()xx( 36
62
 
21. 3 5 2
( 3 ) ( 1)x x x dx 
22. 3 5 2
( 6 ) ( 2)x x x dx 
23. 2 4
( 4 ) ( 2)x x x dx 
24. 2 3
1x x dx
25. 2
3
x
dx
x 

ชุดที่ 5 ระคน
26. 4
15(3 1)x dx
27. 3
2x
dx
x


28. 5
(3 4 )x dx
29. 3
6xdx
30. 3 1x dx
31. 3 4
( 9 ) ( 3)x x x dx 
32.
2
3
1
x
dx
x 

แบบฝึกหัด 3.2 โจทย์อินทิกรัลไม่จากัดเขต

23
ก. สมการเส้นโค้ง
1. จงหาสมการเส้นโค้ง y = f(x) เมื่อกาหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด (x,y) ใดๆ และจุดที่เส้น
โค้งผ่านดังนี้
1) 2 5
dy
x
dx
  ที่จุด (3 ,- 2)
2) 2
3 2
dy
x x
dx
  ที่จุด (- 4 , 3)
3) 2
2 3
dy
x x
dx
   ที่จุด (3 , 1)
4) 3
4 3 1
dy
x x
dx
   ที่จุด (2 , 1)
2. ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเส้นโค้ง ณ จุด (x,y) ใดๆ เป็น 2
12x จงหาสมการเส้นโค้งเมื่อ
เส้นตรงที่ผ่านจุด (0, 2) และ (3, -1)
3. ให้ ( ) 12f x x  จงหาสมการเส้นโค้ง y = f(x) ซึ่งผ่านจุด (1,-2) และเส้นสัมผัสที่จุด P ขนานกับ
เส้นตรง 4x - 2y = 0
ข. สมการการเคลื่อนที่
4. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงจากจุดเริ่มต้น ถ้าความเร่งของวัตถุ ในขณะเวลา t ใดๆ
มีค่าเท่ากับ 12t - 4 และเมื่อ t = 1 จะได้ระยะทาง S = 2 เมตร จงหา
1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา t = 2
2) ระยะทาง เมื่อ t = 2
5. โยนวัตถุขึ้นไปในอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 112 – 32t ฟุต/วินาที กาหนด จงหา
1) สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ
2) วัตถุขึ้นไปได้สูงสุดเมื่อเวลาใด
3) ระยะทางที่วัตถุขึ้นไปได้สูงสุด
4) เมื่อใดที่วัตถุอยู่สูง 96 ฟุต
6. ยอดตึกซึ่งสูงจากพื้นดิน 400 ฟุต ก้อนหินก้อนหนึ่งถูกหย่อนลงมาจงหา
1) เมื่อใดที่ก้อนหินจะตกถึงพื้นดิน
2) ความเร็วขณะที่ก้อนหินตกกระทบพื้นดิน
ค. กาไร-ขาดทุน

24
7. การผลิตสินค้าเพื่อไปจาหน่ายของบริษัทแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไรเมื่อเทียบกับ
จานวนสินค้าที่ผลิตไปจาหน่ายเท่ากับ 46 – 4x เมื่อ x คาจานวนชิ้นของสินค้า ถ้าในการผลิตสินค้าไป
จาหน่าย 5 ชิ้น บริษัทได้กาไร 1,100 บาท จงหากาไรที่บริษัทจะได้รับในการผลิตสินค้าไปจาหน่าย 10 ชิ้น
8. ในการลงทุนผลิตสินค้าของโรงงานแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนต่อจานวนสินค้า
เท่ากับ 4x – 30 บาท เมื่อ x คือจานวนชิ้นของสินค้าที่ผลิตได้ถ้าในขณะที่ยังไม่ได้ทาการผลิตต้องมีต้นทุน
คงที่เท่ากับ 40000 บาท (ต้นทุนดังกล่าวเป็นค่าเครื่องมือ เครื่องจักรต่างๆ) จงหาต้นทุนในการผลิตสินค้า
จานวน 10 ชิ้น
9. (Ent’33) บริษัทแห่งหนึ่งขายสินค้า 100 ชิ้น ได้กาไร 6800 บาท โดยมีอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไร
เทียบกับจานวนสินค้าที่ขายได้ของบริษัทคือ 78 - 0.08x เมื่อ x คือจานวนสินค้าที่ขายได้ในการผลิตสินค้านี้
จะมีโอกาสได้กาไรมากที่สุดเท่ากับเท่าไร
10. ตัวแทนจาหน่ายของบริษัทแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไรต่อจานวนสินค้าเท่ากับ 120 + 4x
เมื่อ x คือ จานวนสินค้าที่ผลิตได้ในการจาหน่ายสินค้าตัวแทนจะได้กาไร 100 บาท
เมื่อจาหน่ายสินค้า 2 ชิ้น จงหากาไรที่ตัวแทนจาหน่ายจะได้รับ ถ้าจาหน่ายสินค้า 10 ชิ้น
แบบฝึกหัด 3.3 เรื่อง อินทิกรัลจากัดเซต
1. อินทิกรัลจากัดเซตของฟังก์ชัน
ชุดที่ 1
จงหา
ชุดที่ 2 สมบัติของอินทิกรัล
จงหา

25
1. 
4
2
)2( x dx
2. 

3
3
)42( x dx
3. 

2
2
2
)23( xx dx
4.  
3
1
2
)2( xx dx
5.  
4
1
2
)6( xx dx
6. 

2
1
2
)12( xx dx
7. 
5
2
)4( dx
8.  
2
2
)32( x dx
9.  
1
3
2
)2( xx dx
10. 

0
3
)42( x dx +  
3
0
)42( x dx
11. 

3
3
)42( x dx
12. 

1
3
2
)423( xx dx
2.พื้นที่ใต้โค้ง
ชุดที่ 3 เส้นตรง
จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง
13. y = x จาก x = -4 ถึง x = -2
14. y = x + 5 จาก x = -5 ถึง x = 0
15. y = x – 3 จาก x = -3 ถึง x = 3
16. y = -x + 3 จาก x = -3 ถึง x = 0
17. y = 1 – 2x จาก x = -6 ถึง x = -2
18. y = |x| จาก x = -4 ถึง x = 4
ชุดที่ 4 พาราโบลา
จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
19. y = x2
- 4 จาก x = -2 ถึง x = 2
20. y = 4x - x2
21. y = x2
- 4x + 3 จาก x = -1 ถึง x = 2
22. y = 3 + 2x - x2
จาก x = -1 ถึง x = 2
23. y = 4 - x2
กับแกน x
24. y = x2
- 4x จาก x = 2 ถึง x = 4
ชุดที่ 5 สมการเส้นโค้ง
จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
25. y = x3
26. y = (x + 2)3
27. y = (x – 2)3
จาก x = -4 ถึง x = -2
28. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x2
และเส้นตรง y = x + 3
29. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 2 - x2
และเส้นตรง y = -x จาก x = -2 ถึง x = 2
และเส้นตรง y = x จาก x = -2 ถึง x = 1
และเส้นตรง y = x + 2 จาก x = -2 ถึง x = 2
32. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 3x3
– x2
– 10x และเส้นตรง y = -x2
+ 2x จาก x = -2 ถึง x = 2
บรรณานุกรม

26
กมล เอกไทยเจริญ , ( ..........) . อินทิกรัลแคลคูลัส INTEGRAL CALCULUS . กรุงเทพมหานคร :
สานักพิมพ์สุวีริยสาส์น.
ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2548). คู่มือการจัดการเรียนรู้ กลุ่มสาระ
การเรียนรู้ คณิตศาสตร์. กรุงเทพมหานคร: สกสค. ลาดพร้าว.
. (2552). หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้ เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช
2544. กรุงเทพมหานคร : สกสค. ลาดพร้าว.
. (2552). คู่มือครู สาระการเรียนรู้ เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 - 6 ตามหลักสูตร
แกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพมหานคร : สกสค. ลาดพร้าว.
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน. (2554). คู่มืออบรมครูวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์
โลก ดาราศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนปลายคณิตศาสตร์ โครงการพัฒนาครูวิทยาศาสตร์
คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย. กรุงเทพมหานคร : สกสค. ลาดพร้าว.

27
แบบฝึกทักษะ การแยกตัวประกอบของพหุนาม
ตอนที่ 1 จงเติมคาตอบ
จงหาค่าของพหุนามต่อไปนี้โดยวิธีดึงตัวร่วม
1. 4x + 16 = ………………………………….
2. x2
y – xy2
= ………………………………….
3. 2x4
y4
+ 4x3
y2
= ………………………………….
4. 3x2
– 6x = ………………………………….
5. 3x3
+ 3x2
+ 75x = ………………………………...
แบบที่ 1 x2
 bx + c
6. จงแยกตัวประกอบของ x2
+ 10x + 24
ตอบ………………………………............................
+ 11x + 24
ตอบ………………………………............................
- 8x + 12
ตอบ………………………………............................
- 7x + 12
ตอบ………………………………............................
- 10x + 25
ตอบ………………………………............................
แบบที่ 2 x2
 bx - c
+ 4x - 12
ตอบ………………………………............................
- 4x - 12
ตอบ………………………………............................
+ 5x - 24
ตอบ………………………………............................
- 5x - 24
ตอบ………………………………............................
+ x - 20
ตอบ………………………………............................
แบบที่ 3 ax2
 bx + c
16. จงแยกตัวประกอบของ 12x2
+ 31x + 9
ตอบ………………………………............................
+56 + 9
ตอบ………………………………............................
- 23x + 12
ตอบ………………………………............................
- 48x + 64
ตอบ………………………………............................
- 22x + 15
ตอบ………………………………............................
แบบที่ 4 ax2
 bx - c
+ x - 12
ตอบ………………………………............................
- x - 12
ตอบ………………………………............................
- 8x - 15
ตอบ………………………………............................
- 2x - 15
ตอบ………………………………............................
25. จงแยกตัวประกอบของ -12x2
+ 7x + 10
ตอบ………………………………............................
แบบที่ 5 กาลังสองสมบูรณ์
+ 6x + 9
ตอบ………………………………............................
- 6x + 9
ตอบ………………………………............................
+ 48x + 64
ตอบ………………………………............................
- 48x + 64
ตอบ………………………………............................
- 20x + 25
ตอบ………………………………............................

28
แยกตัวประกอบของพหุนาม(ต่อ)
แบบที่ 6 ผลต่ากาลังสอง
- 1
ตอบ………………………………............................
- 4
ตอบ………………………………............................
- 25
ตอบ………………………………............................
- 9
ตอบ………………………………............................
- 10x2
+ 9
ตอบ………………………………............................
แบบที่ 7 ผลบวกและผลต่างกาลังสาม
7.1 x3
+ y3
= (x + y)(x2
– xy + y2
)
7.2 x3
- y3
= (x - y)(x2
+ xy + y2
)
+ 1
ตอบ………………………………............................
- 8
ตอบ………………………………............................
- 64
ตอบ………………………………............................
+ 1
ตอบ………………………………............................
- 8
ตอบ………………………………............................
แบบที่ 8 การแยกตัวประกอบรูปแบบอื่นๆ
8.1 ถ้าพหุนามมี 4 พจน์
จัดกลุ่มเป็นวงเล็บๆละ 2 พจน์ แล้วดึงตัวร่วม
ตอนที่ 2 จงแสดงวิธีทา
+ x3
– x + 1
………………………………............................
………………………………............................
………………………………............................
………………………………............................
………………………………............................
+ x2
– 4x – 64
………………………………............................
………………………………............................
………………………………............................
………………………………............................
………………………………............................
8.2 กาลังสองสมบรณ์และผลต่ากาลังสอง
บวกเข้าและลบออก
+ x2
+ 1
………………………………............................
………………………………............................
………………………………............................
………………………………............................
………………………………............................
- 7x2
+ 9
………………………………............................
………………………………............................
………………………………............................
………………………………............................
………………………………............................

29
ความชันและสมการของเส้นโค้ง
ชื่อ..................................................ชั้นมัธยมศึกษาปีที่..................เลขที่..................
ข้อที่............
ให้ y = …………………………..... เป็นสมการของเส้นโค้ง ที่ผ่านจุด ( 2 , - 1 )
จงหา 1. ความชันของเส้นโค้ง
2. สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
3. สมการของเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................ ...................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

30
แบบฝึกทักษะ1 คน 1 ข้อ ชุดที่ 2.1 ความชันและสมการของเส้นโค้ง โดยครูรัศมี ธัญน้อม
ให้ y = f(x) เป็นสมการของเส้นโค้ง ที่ผ่านจุด ( 2 , - 1 ) จงหา
1. ความชันของเส้นโค้ง
2. สมการของเส้นสัมผัสโค้ง
3. สมการของเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
*********************************************************************
1. y = x2
+ x
2. y = x2
- x
3. y = x2
+ 2x
4. y = x2
- 2x
5. y = x2
+ 3x
6. y = x2
- 3x
7. y = x2
+ 5x
8. y = x2
- 5x
9. y = x2
+ 6x
10. y = x2
- 6x
11. y = 2x2
+ x
12. y = 2x2
– x
13. y = 2x2
+ 3x
14. y = 2x2
– 3x
15. y = 2x2
+ 5x
16. y = 2x2
- 5x
17. y = 3x2
+ x
18. y = 3x2
- x
19. y = 3x2
+ 2x
20. y = 3x2
- 2x
21. y = 3x2
+ 4x
22. y = 3x2
- 4x
23. y = 3x2
+ 5x
24. y = 3x2
- 5x
25. y = 4x2
+ x
26. y = 4x2
- x
27. y = 4x2
+ 2x
28. y = 4x2
- 2x
29. y = 4x2
+ 3x
30. y = 4x2
- 3x
31. y = 4x2
+ 5x
32. y = 4x2
- 5x
33. y = 5x2
+ x
34. y = 5x2
- x
35. y = 5x2
+ 2x
36. y = 5x2
- 2x
37. y = 5x2
+ 3x
38. y = 5x2
- 3x
39. y = 5x2
+ 4x
40. y = 5x2
- 4x
41. y = 6x2
+ x
42. y = 6x2
- x
43. y = 6x2
+2x
44. y = 6x2
- 2x
45. y = x2
+ 2x - 3
46. y = x2
- 2x + 3
47. y = x2
+ 3x - 2
48. y = x2
- 3x + 2
49. y = (2x - 1)2
50. y = (1 - 3x)2

31
แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อ ชุดที่ 2.2 เรื่อง จุดต่าสุดหรือจุดสูงสุด
จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของฟังก์ชันต่อไปนี้
( ทาแบบฝึกทักษะเรียงตามเลขที่ )
1. y = x2
+ 2x
2. y = x2
- 2x
3. y = x2
+ 4x
4. y = x2
- 4x
5. y = x2
+ 6x
6. y = x2
- 6x
7. y = x2
+ 8x
8. y = x2
- 8x
9. y = x2
+ 10x
10. y = x2
- 10x
11. y = 2x - x2
12. y = 4x - x2
13. y = 6x - x2
14. y = 8x - x2
15. y = 10x - x2
16. y = x2
+ 2x + 1
17. y = x2
- 2x + 1
18. y = x2
+ 4x + 4
19. y = x2
- 4x + 4
20. y = x2
+ 6x + 9
21. y = x2
- 6x + 9
22. y = x2
+ 8x + 16
23. y = x2
+ 8x + 16
24. y = x2
+ 10x + 25
25. y = x2
- 10x + 25
26. y = x2
+ 8x + 12
27. y = x2
- 8x + 12
28. y = x2
+ 4x - 12
29. y = x2
- 4x – 12
30. y = x2
+ 4x + 3
31. y = x2
- 4x + 3
32. y = x2
+ 6x + 5
33. y = x2
- 6x + 5
34. y = x2
+ 6x + 8
35. y = x2
- 6x + 8
36. y = x2
+ 10 x + 9
37. y = x2
- 10x + 9
38. y = x2
+ 2x - 15
39. y = x2
- 2x - 15
40. y = x2
+ 4x - 24
41. y = x2
- 4x - 24
42. y = x2
+ 6x - 16
43. y = x2
- 6x - 16
44. y = x2
+ 10x - 24
45. y = x2
- 10 x - 24
46. y = 2x2
- 8 x - 3
47. y = - 3x2
- 12 x - 5
48. y = 12x - x2
49. y = x2
+ 8x + 7
50. y = x2
- 8x + 7

32
แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อ เรื่อง ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด
การหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ สมการ y = ax2
+ bx + c
ชื่อ.....................................................................ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ..............เลขที่........

ข้อที่........
จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ.......................................................................................................
ฟังก์ชัน จุดตัดแกน X จุดตัดแกน Y
y =
วิธีที่.....................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
วิธีที่...................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

33
แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อชุดที่ 2.3 เรื่องพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง
วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 6 ( ค33202) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 โดยครูรัศมี ธัญน้อม
***********************************************************
จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรงของสมการต่อไปนี้ โดยใช้อินทิกรัลจากัดเขตและสูตรของพื้นที่
1. สมการ y = x + 2 จาก x = - 2 ถึง x = 2
6. สมการ y = x - 2 จาก x = - 1 ถึง x = 2
8 สมการ y = x - 2 จาก x = - 3 ถึง x = 2
10. สมการ y = x - 2 จาก x = - 6 ถึง x = - 2
11. สมการ y = - x + 2 จาก x = - 2 ถึง x = 2
15. สมการ y = - x + 2 จาก x = - 6 ถึง x = - 4
16. สมการ y = - x - 2 จาก x = - 2 ถึง x = 2
20. สมการ y = - x - 2 จาก x = 0 ถึง x = 6
39 สมการ y = - x - 4 จาก x = - 2 ถึง x = 4
40. สมการ y = - x - 4 จาก x = - 4 ถึง x = - 2
46. สมการ y = - x + 5 จาก x = 0 ถึง x = 5

34
วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 6 ( ค33202) ( แคลคูลัส ) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
เรื่อง อินทิกรัลจากัดเขต ( พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง )
ชื่อ....................................................................ชั้นมัธยมศึกษาปีที่................เลขที่...........
จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรงของสมการ
y = …………………………… x = ถึง x =
โดยใช้อินทิกรัลจากัดเขตและสูตรของพื้นที่
จุดตัดแกน X คือ ...............................
จุดตัดแกน Y คือ ...............................
วิธีที่ 1 ใช้อินทิกรัลจากัดเขต วิธีที่ 2 ใช้สูตรพื้นที่
.....................................................................................
.....................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
......................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
......................................................................................

35
แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อชุดที่ 2.4 เรื่องพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง
วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 6 ( ค33202) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 โดยครูรัศมี ธัญน้อม

จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของฟังก์ชันต่อไปนี้
( ทาแบบฝึกทักษะเรียงตามเลขที่ )
1. y = x2
+ 2x จาก x = - 2 ถึง x = 0
2. y = x2
- 2x จาก x = 0 ถึง x = 2
3. y = x2
+ 4x จาก x = - 4 ถึง x = 0
4. y = x2
- 4x จาก x = 0 ถึง x = 4
5. y = x2
+ 6x จาก x = - 6 ถึง x = 0
6. y = x2
- 6x จาก x = 0 ถึง x = 6
7. y = x2
+ 8x จาก x = - 8 ถึง x = 0
8. y = x2
- 8x จาก x = 0 ถึง x = 8
9. y = x2
+ 10x จาก x = - 10 ถึง x = 0
10. y = x2
- 10x จาก x = 0 ถึง x = 10
11. y = 2x - x2
12. y = 4x - x2
13. y = 6x - x2
14. y = 8x - x2
15. y = 10x - x2
16. y = 1 - x2
จาก x = - 1 ถึง x = 1
17. y = 4 - x2
จาก x = - 1 ถึง x = 2
18. y = 9 - x2
จาก x = - 3 ถึง x = 3
19. y = 16 - x2
จาก x = - 4 ถึง x = 4
20. y = 25 - x2
จาก x = - 5 ถึง x = 5
21. y = x2
+ 2x + 1 จาก x = - 1 ถึง x = 1
22. y = x2
- 2x + 1 จาก x = - 1 ถึง x = 1
23. y = x2
+ 4x + 4 จาก x = - 2 ถึง x = 0
24. y = x2
- 4x + 4 จาก x = 0 ถึง x = 2
25. y = x2
+ 6x + 9 จาก x = - 3 ถึง x = 0
26. y = x2
- 6x + 9 จาก x = 0 ถึง x = - 3
27. y = x2
+ 8x + 16 จาก x = - 4 ถึง x = 0
28. y = x2
+ 8x + 16 จาก x = 0 ถึง x = 4
29. y = x2
+ 10x + 25 จาก x = - 5 ถึง x = 0
30. y = x2
- 10x + 25 จาก x = 0 ถึง x = 5
31. y = x2
+ 8x + 12 จาก x = - 6 ถึง x = - 2
32. y = x2
- 8x + 12 จาก x = 2 ถึง x = 6
33. y = x2
+ 4x – 12 จาก x = - 6 ถึง x = 2
34. y = x2
- 4x – 12 จาก x = - 2 ถึง x = 6
35. y = x2
+ 4x + 3 จาก x = - 3 ถึง x = - 1
36. y = x2
- 4x + 3 จาก x = 1 ถึง x = 3
37. y = x2
+ 6x + 5 จาก x = - 5 ถึง x = 1
38. y = x2
- 6x + 5 จาก x = 1 ถึง x = 5
39. y = x2
+ 6x + 8 จาก x = - 4 ถึง x = 2
40. y = x2
- 6x + 8 จาก x = 2 ถึง x = 4
41. y = x2
+ 10 x + 9 จาก x = - 9 ถึง x = - 1
42. y = x2
- 10x + 9 จาก x = 1 ถึง x = 9
43. y = x2
+ 2x – 15 จาก x = - 5 ถึง x = 3
44. y = x2
- 2x – 15 จาก x = - 3 ถึง x = 5
45. y = x2
+ 2x - 24 จาก x = - 6 ถึง x = 4
46. y = x2
- 2x - 24 จาก x = - 4 ถึง x = 6
47. y = x2
+ 6x - 16 จาก x = - 8 ถึง x = 2
48. y = x2
- 6x - 16 จาก x = - 2 ถึง x = 8
49. y = x2
+ 10x + 24 จาก x = - 6 ถึง x = 4
50. y = x2
- 10 x + 24 จาก x = 4 ถึง x = 6

36
แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อ เรื่อง อินทิกรัลจากัดเขต
พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ของพาราโบลา
วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 6 รหัสวิชา ค43202 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
ชื่อ.....................................................................ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ..............เลขที่........

ข้อที่........
จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ
y = ………………………………………….. x = ถึง x =
จุดตัดแกน X คือ ..................................................................
จุดตัดแกน Y คือ ..................................................................
จุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดคือ........................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
.......................................... ..................................................................................................................................

อินทิเกรต

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie อินทิเกรต

Ähnlich wie อินทิเกรต (20)

Mehr von krurutsamee

Mehr von krurutsamee (20)

อินทิเกรต