Programmmazione lineare (disequazioni in due variabili)

1. Svolgimento di un problema di Ricerca Operativa
“Programmazione Lineare”
Docente: Libero Cancelliere
Supponiamo che l'analisi un problema di Ricerca Operativa porti alla Modello Matematico:
soluzione del sistema di disequazioni:
Per prima cosa si ricavano le rette che corrispondono nel piano
x y ≥30 a 
cartesiano alle condizioni imposte dal problema.
5⋅x −2⋅y ≤10 b Quindi si ha:
a  x y≥30 y≥−x 30
x≥10 c
5
y≥5 d  b 5⋅x −2⋅y ≤10 −2⋅y≤−5⋅x10 y ≥ ⋅x−5
2
per (c) e (d) le relazioni sono già in forma elementare.
Il passo successivo per arrivare ad una soluzione del sistema è disegnare le rette che
corrispondono alle situazioni limite delle disequazioni indicate, esse ovviamente sono:
a  y =−x30 5 c x=10 d  y=5
b y= ⋅x−5
2
Siccome con un comune righello è possibile tirare una riga con precisione saputi solo 2 suoi
punti, quindi dobbiamo individuare almeno due punti a cui appartengono; procediamo con ciò e
calcoliamo la (a) in x = 0 e x = 4, e così anche la (b), ricavando le relative coordinate y:
a  y=−x30 y=−030 quindi per x=0  y =30
a  y=−x30 y=−430 quindi per x=4  y=26
5 5
b y= ⋅x−5= ⋅0−5=−5 quindi per x=0  y=−5
2 2
5 5 20 20 10 20−10 10
b y= ⋅x−5= ⋅4−5= −5= − = = quindi per x=4  y=5
2 2 2 2 2 2 2
Quindi la retta (a) può essere tracciata utilizzando i punti p1a(0,30) e p2a(4,26), mentre la retta
1 A. Veneziani – Rianalisi di un esercizio di R.O.

2. (b) può essere tracciata utilizzando i punti p 1b(0,5) e p2b(4,5); la posizione ed il disegno delle
rette (c) e (d) sono viceversa immediati e non necessitano di particolari calcoli. x = 10
corrisponde ad una retta verticale all'asse y e y = 5 è la retta orizzontale che passa ad altezza
5, ossia intercetta l'asse y in +5.
Il disegno di tutte le rette di vincolo risulta nel complesso:
Individuiamo ora se esiste
un'area che rappresenti una
soluzione del problema posto
(il problema potrebbe anche
essere impossibile),
tracciando prima di tutto i
semipiani sui quali le
disequazioni date sono
verificate, e poi incrociando
(sovrapponendo) tali
semipiani tra loro.
Per chiarezza traccio qua sotto
i grafici1 di tutte e quattro le
disequazioni e successivamente di quello soluzione risultante dalla sovrapposizione:
1 I grafici qui rappresentati sono stati tutti generati integralmente con il software di calcolo simbolico Derive 6.
2 A. Veneziani – Rianalisi di un esercizio di R.O.

3. Il grafico soluzione risulta quindi, come detto dalla sovrapposizione delle quattro aree
(semipiani) indicate, ossia:
3 A. Veneziani – Rianalisi di un esercizio di R.O.