LIMITI - ANALISI MATEMATICA

1. Matematica – dalle lezioni del 25 e 26 -1-2011 – Classe 5E tur
del prof. L.G. Cancelliere
Esercizio – Controllare se il valore 7 è effettivamente il limite della espressione 1:
x 23x−10
lim =7
x 2 x−2
In questo tipo di limiti per calcolare il limite stesso basta sostituire alla variabile x il valore
2 2
numerico a cui la x tende; la funzione
x 3x−10 2 3 2−10 46−10 0
lim = = = =? però ha un punto di discontinuità in 2:
x2 x−2 2−2 0 0
Tra l'altro 0/0 è una forma indeterminata
calcolare questo tipo di limiti quindi non è banale, se non applicando opportune regole.
In classe è stato mostrato un metodo empirico che permette di ricavare il risultato tabulando la
funzione medesima nei dintorni del punto di limite:
{...[1,97;6,97] [1,98;6,98] [1,99;6,99] [2;?] [2,01;7,01] [2,02;7,02]...}
1 Questo limite è del tipo limite di x che tende ad un valore finito con risultato finito (dove tende la y)
Pagina 1 A. Veneziani – ri-analisi esercizi svolti a lezione

2. Controlliamo se è veramente così utilizzando il
∣ ∣
2
x 3x−10
teorema: −7  ove 0≪1
x−2
la scrittura qui sopra stà ad indicare che epsilon è preso maggiore di zero ma molto piccolo, un
valore considerato piccolo a piacere.
Verifichiamo se la disequazione vale per x che cade in un intorno del valore di 2, come dovrebbe
essere (viceversa il risultato del limite vuol dire che è errato):
∣ ∣ ∣ ∣
2 2
x 3x−10−7x14 x −4x4
 
x−2 x−2
scomponiamo x 2−4x4=0 ora la parte superiore, ossia troviamo i fattori dell'equazione di
secondo grado al numeratore. il polinomio di secondo grado è il risultato del quadrato di (x – 2) 2.
∣ ∣
2
In questo senso risulta quindi che:  x−2
=∣ x−2∣
x−2
Lo sviluppo di questa disequazione comporta la discussione di due casi:
se ciò che è in mezzo al valore assoluto è > 0, allora: x−2
viceversa se questa quantità dovesse essere < 0, allora: x−2−
L'intervallo ± è l'intorno che stiamo considerando.
Per cadere nell'intorno devono valere entrambe le condizioni e quindi:
x2 e quindi come indicato, data la soluzione 7
x−2
risulta che il valore di x per questo limite
x−2− cade effettivamente in un intorno di 2, → I(2)
x2−
si conclude che è vero che 7 è il risultato per il limite assegnato.
Esercizio - Verificare il limite2:
2x5
lim =2
x  ∞ x4
Siccome il limite è per x che tende ad infinito, si può considerare che le parti di grado inferiore sia
al numeratore che al denominatore non contano.
Le due quantità al numeratore e denominatore risultano quasi una il doppio dell'altra, per x grandi,
e quindi il rapporto vale presto un numero sempre più prossimo a 2, al salire del valore di x.
Verifichiamo comunque che il limite è corretto tramite la solita formula relativa ad un noto
teorema:
Questa
∣
∣ f  x−l∣= 2x5 −2 
x4 ∣ condizione indica che è vero che il limite è l, nel
2 Questo limite è del tipo limite a valore infinito con risultato un valore finito
Pagina 2 A. Veneziani – ri-analisi esercizi svolti a lezione

3. nostro caso 2, infatti preso un qualunque ε piccolo a piacere, osserviamo che è possibile
trovare una x tale per cui la differenza tra f(x) ed l sia inferiore di ε, ossia questo vuol dire
che la f(x) si avvicina ad l quanto si vuole, e quindi tende ad l. Se questo dunque si
verifica, è effettivamente vero che l è il limite di f(x), per x che tende ad un opportuno
valore, che è il valore limite.
Verifichiamo quindi che:
∣ 2x5
x4
−2 ∣ ∣ 2x5−2 x4
x4
 ∣ ∣ 2x5−2x−8
x4
 ∣
effettuiamo il reciproco della disequazione, invertendo quindi il segno della
∣ ∣ −3
x4

stessa3:
data la disequazione, studiamo
∣ ∣
x4 1
−3


le condizioni per cui viene soddisfatta, che sono 2:
• Se x4 allora questa quantità dovrà essere maggiore del valore di 1/ ε e
0
−3 quindi dovrà essere: x4 1

−3 
x4
• Se 0 allora questa quantità dovrà essere maggiore del valore di 1/ ε e
−3
quindi dovrà essere: x4 1
−
−3 
Infatti l'indicazione ∣ ∣
x4 1
−3

 con l'uso di valori assoluti significa in altre parole che:
1 x4 1 essa rappresenta lo scarto in più o in meno dal valore limite, che
−  
deve
 −3  essere riducibile a piacere.
Risulta quindi:
x4 1 3 3
 x4− x−4−
−3   
U U U
x4 1 3 3
− x4 x−4
−3   
risulta a questo punto evidente che l'intervallo di x in cui viene soddisfatto il teorema è un intorno
di infinito, infatti, sull'asse x, esso risulta:
-3/ε -4 +3/ε X
3 Effettuare un reciproco dei due membri in una disequazione comporta sempre il cambio del verso della stessa. Si pensi alla
disequazione 3 > 2, che comporta anche 1/3 < 1/2 (reciproci dei valori precedenti)
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4. In effetti al diminuire di ε i valori sottratti e sommati a 4 divengono sempre più grandi e quindi in
questo caso l'intorno non è l'intorno di un punto specifico sulla retta x, ma invece l'intorno di
infinito. L'intervallo attorno a 4, in questo caso, si allarga e si “stringe” attorno al valore infinito.
Quindi ciò conferma che ∞ è il punto di limite per il limite calcolato, e che il risultato
calcolato per il limite è corretto.
La conferma ci viene anche dal calcolatore, ad esempio tracciando il grafico della funzione
di cui si è fatto il limite, ossia: 2x5 che per x tendente ad infinito (sia da
y=
valori positivi che da valori x4 negativi) converge al valore y = 2.
2x5
GRAFICO DELLA FUNZIONE y=
x4
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