1. Στατικι Τριβι
•
•
•
•
•
Τι είναι;
Ρότε εμφανίηεται;
Ροιόσ είναι ο ρόλοσ τθσ και πόςο το ζργο τθσ;
Ροια είναι θ φορά τθσ;
Ρότε υπάρχει κφλιςθ χωρίσ ολίςκθςθ (ι ςπινάριςμα);
Κουκοφδθσ Βαςίλθσ

2. Τριβι ςτθ
μεταφορικι
κίνθςθ
Ρριν εξετάςουμε τθν ςτατικι τριβι ςτθν ςφνκετθ κίνθςθ ασ
κυμθκοφμε τθν τριβι ςτθν μεταφορικι. Ρότε εμφανίηεται; Τι τιμζσ
παίρνει;
Ν
Ν
Ν
+
+
F
W
F
F
T
F
T
W
W
Ζςτω ζνα ακίνθτο ςϊμα πάνω ς ζνα (όχι λείο) δάπεδο με ςυντελεςτι τριβισ ςϊματοσ-δαπζδου μ. Στο ςϊμα αςκείται το βάροσ του (w) και θ
αντίδραςθ του δαπζδου (Ν). Καμιά άλλθ εξωτερικι δφναμθ δεν αςκείται. Επειδι τα μζτρα των δυνάμεων είναι ίςα (w=N), το ςϊμα ιςορροπεί
ακίνθτο. Καμιά δφναμθ τριβισ δεν εμφανίηεται.
Αςκοφμε ςτο ςϊμα μια πολφ μικρι δφναμθ F. Ππωσ ξζρουμε από τθν εμπειρία μασ το ςϊμα παραμζνει ακίνθτο. Αυτό ςυμβαίνει διότι
εμφανίςτθκε θ τριβι (ςτατικι) με φορά αντίθετη τθσ F. Το μζτρο τθσ Τ είναι ίςο με τθσ F (T=F) γι αυτό και το ςϊμα εξακολουκεί να ιςορροπεί.
Αυξάνουμε ακόμθ λίγο το μζτρο τθσ F και το ςϊμα εξακολουκεί να ιςορροπεί. Άρα αυξικθκε και το μζτρο τθσ Τ ζτςι ϊςτε πάλι T=F. Τι
μποροφμε λοιπόν να ποφμε για το μζτρο τθσ T; Τίποτα, παρά μόνο ότι θ τιμι του αυξάνεται ϊςτε πάντα να ιςχφει T=F. Ράντα; Πχι ακριβϊσ.
Ππωσ ξζρουμε αν αυξιςουμε αρκετά το μζτρο τθσ F το ςϊμα κα αρχίςει να κινείται. Αυτό ςυμβαίνει γιατί το μζτρο τθσ T δεν μπορεί ποτζ να
ξεπεράςει τθν οριακι μζγιςτθ τιμι T=μΝ. Από τθν ςτιγμι που ζνα ςϊμα κινείται είτε με ςτακερι ταχφτθτα είτε επιταχυνόμενο είτε
επιβραδυνόμενο θ τιμι τθσ τριβισ ολίςκθςθσ είναι υπολογίςιμθ από τον τφπο:
Τ=μΝ

3. Ν
Συμπζραςμα
+
F
T
Στθ μεταφορικι κίνθςθ θ τριβι εμφανίηεται όταν:
Ζνα ςϊμα βρίςκεται ςε επαφι με μια
επιφάνεια, μεταξφ τουσ υπάρχει ςυντελεςτισ τριβισ
μ>0 και δφναμθ αντίδραςθσ μζτρου Ν>0.
F–T=Ma
T=μΝ
W
Ν
+
υ
T
–T=–Ma
T=μΝ
W
Επιπλζον αν (τριβι ολίςκθςθσ):
Το ςϊμα κινείται (είτε ςτακερά είτε επιταχυνόμενο
είτε επιβραδυνόμενο) ωσ προσ τθν επιφάνεια οπότε
ζχουμε τριβι ολίςκθςθσ με φορά αντίκετθ τθσ κίνθςθσ
και μζτρο T=μΝ
‘Η αν (ςτατικι τριβι):
Το ςϊμα είναι ακίνθτο ωσ προσ τθν επιφάνεια αλλά
του αςκείται δφναμθ που τείνει να το κινιςει ςε ςχζςθ
με τθν επιφάνεια αυτι εμφανίηεται ςτατικι τριβι. Στθ
περίπτωςθ αυτι το μζτρο τθσ Τ είναι T=F και 0<Τ≤μΝ.
Αν το ςϊμα κινείται, το ζργο τθσ τριβισ ολίςκθςθσ
είναι πάντα αρνθτικό αφοφ ςε κάκε περίπτωςθ
μετατρζπει τθν κινθτικι ενζργεια του ςϊματοσ ι το
κετικό ζργο μιασ άλλθσ δφναμθσ ςε κερμότθτα. (Μθ
ςυντθρθτικι δφναμθ).
Αν δεν κινείται το ζργο τθσ ςτατικισ τριβισ είναι
μθδενικό.

4. Ν
+
Wx
Wy
Στατικι Τριβι ςτθ ςφνκετθ κίνθςθ
Αν πάνω ςτθν λεία (μ=0) επιφάνεια ενόσ κεκλιμζνου επιπζδου αφιςουμε
ελεφκερθ μια ομογενι ςφαίρα, τότε αυτι κα ολιςκιςει χωρίσ περιςτροφι
και κα επιταχυνκεί από τθν ςυνιςτϊςα Wx του βάρουσ του κάνοντασ μόνο
μεταφορικι κίνθςθ. Αυτό είναι αναμενόμενο κακϊσ οι φορείσ όλων των
δυνάμεων τζμνουν τον άξονα περιςτροφισ ςτο κζντρο μάηασ τθσ ςφαίρασ
και επομζνωσ δεν υπάρχει καμιά ροπι δφναμθσ.
+
W
Μεταφορικι: Wx = M acm
Ν
+
M,I,R
T
Η κακθμερινι εμπειρία μασ όμωσ, λζει ότι θ ςφαίρα κα
κυλίςει. Αυτό ςυμβαίνει διότι ςυνικωσ υπάρχει
ςυντελεςτισ τριβισ μ>0. Τότε αναπτφςςεται ςτατικι
τριβι T θ οποία δίνει τθν απαραίτθτθ ροπι ϊςτε θ
Wy
ςφαίρα να κυλίςει περιςτρεφόμενθ.
Η φορά τθσ είναι όπωσ ςτο ςχιμα, αντίκετθ τθσ Wx και
ίδια με τθν φορά τθσ γωνιακισ επιτάχυνςθσ aγ .
Εφόςον παρατθροφμε κφλιςθ χωρίσ ολίςκθςθ, το μζτρο
W
τθσ είναι ακριβϊσ τόςο όςο χρειάηεται ϊςτε να
ικανοποιοφνται οι εξιςϊςεισ κφλιςθσ χωρίσ ολίςκθςθ.
Το μζτρο αυτό μπορεί να υπολογιςκεί από τισ
εξιςϊςεισ του διπλανοφ ςχιματοσ και θ τιμι του είναι πάντα 0<Τ≤μΝ.
Αυτό ςθμαίνει ότι ο μ ζχει αρκετά μεγάλθ τιμι.
Wx
Μεταφορικι: Wx – T = M acm
Στροφικι : T R = I aγ
Κφλιςθ χωρίσ
ολίςκθςθ : acm = aγ R
υ=ω R
x=κR

5. Ζργο τθσ Τ όταν θ μπάλα κυλίςει ςε απόςταςθ x:
WT = Wμετ + Wςτρ = -Τ x + τΤ κ = -Τ x + T R κ = -Τ R κ + Τ R κ = 0
Από τα παραπάνω καταλαβαίνουμε ότι θ ςτατικι τριβι ςυνολικά δεν παράγει οφτε καταναλϊνει ζργο παρά μόνο
μετατρζπει μζροσ τθσ μεταφορικισ κινθτικισ ενζργειασ τθσ ςφαίρασ ςε ςτροφικι κινθτικι ενζργεια.
+
Ν
+
Τι ςυμβαίνει όμωσ όταν υπάρχει μεν ςυντελεςτισ τριβισ μ>0, αλλά όχι
αρκετά μεγάλοσ; Στθ περίπτωςθ αυτι το ςϊμα κυλίεται με ολίςκθςθ
(υ>ωR) και το μζτρο τθσ Τ παίρνει τθν μζγιςτθ τιμι του Τ=μΝ. Και
φυςικά δεν ιςχφουν οι ςυνκικεσ κφλιςθσ χωρίσ ολίςκθςθ.
T
Wx
Wy
W
Ζργο τθσ Τ όταν θ μπάλα κυλίςει ςε απόςταςθ x:
WT = Wμετ + Wςτρ = -Τ x + τΤ κ = Τ x + T R κ =
= -μ Ν x + μ Ν R κ <0 (εδώ x > R κ)
Μεταφορικι: Wx – T = M acm
Στροφικι : T R = I aγ
Κφλιςθ με
ολίςκθςθ
: Τ=μΝ

6. Τα ίδια ιςχφουν και ςτθν κφλιςθ ςε οριηόντιο επίπεδο υπό τθν επίδραςθ μιασ οριηόντιασ δφναμθσ F ο φορζασ τθσ
οποίασ περνά από το κζντρο μάηασ (άρα τζμνει τον άξονα περιςτροφισ) τθσ ςφαίρασ. Εδϊ θ δφναμθ F αντικακιςτά
τον ρόλο τθσ ςυνιςτϊςασ Wx του βάρουσ (τθσ προθγοφμενθσ περίπτωςθσ).
Ν
+
Ν
+
F
T
+
M,I,R
F
T
Μεταφορικι: F – T = M acm
Στροφικι : T R = I aγ
W
Κφλιςθ χωρίσ
ολίςκθςθ : acm = aγ R
υ=ω R
x=κR
Ζργο τθσ Τ όταν θ μπάλα κυλίςει ςε απόςταςθ x:
WT = Wμετ + Wςτρ = -Τ x + τΤ κ = -Τ x + T R κ =
= -Τ R κ + Τ R κ = 0
+
Μεταφορικι: F – T = M acm
Στροφικι : T R = I aγ
W
Κφλιςθ με
ολίςκθςθ
: Τ=μΝ
Ζργο τθσ Τ όταν θ μπάλα κυλίςει ςε απόςταςθ x:
WT = Wμετ + Wςτρ = -Τ x + τΤ κ = Τ x + T R κ =
= -μ Ν x + μ Ν R κ <0 (εδώ x > R κ)

7. Ασ κεωριςουμε τϊρα ζνα τροχό ςτον οποίο εφαρμόηεται ζνα ηεφγοσ δυνάμεων F όπωσ ςτο ςχιμα. Ππωσ είναι γνωςτό το
ηεφγοσ δυνάμεων δεν ςυνειςφζρει κακόλου ςτθ μεταφορικι κίνθςθ.
Ν
d
+
+
M,I,R
F
F
T
Μεταφορικι: T = M acm
Στροφικι : F d - T R = I aγ
W
Κφλιςθ χωρίσ
ολίςκθςθ : acm = aγ R
υ=ω R
x=κR
Ζργο τθσ Τ όταν θ ρόδα κυλίςει ςε απόςταςθ x:
WT = Wμετ + Wςτρ = Τ x - τΤ κ = Τ x - T R κ =
=ΤRκ-ΤRκ=0
Σε ποια δφναμθ οφείλεται θ μεταφορικι του κίνθςθ;
Φυςικά ςτθν ςτατικι τριβι θ οποία ς αυτι τθ περίπτωςθ
ζχει φορά τθν φορά τθσ κίνθςθσ.
Εφόςον παρατθροφμε κφλιςθ χωρίσ ολίςκθςθ, το μζτρο
τθσ είναι ακριβϊσ τόςο όςο χρειάηεται ϊςτε να
ικανοποιοφνται οι εξιςϊςεισ κφλιςθσ χωρίσ ολίςκθςθ.
Το μζτρο αυτό μπορεί να υπολογιςκεί από τισ εξιςϊςεισ
του διπλανοφ ςχιματοσ και θ τιμι του είναι πάντα
0<Τ≤μΝ. Αυτό ςθμαίνει ότι ο μ ζχει αρκετά μεγάλθ τιμι.
Το ςυνολικό ζργο τθσ ςτατικισ τριβισ είναι και πάλι
μθδενικό. Σ αυτι τθ περίπτωςθ αφαιρεί περιςτροφικι
κινθτικι ενζργεια από αυτι που προςφζρει θ ροπι του
ηεφγουσ δυνάμεων και τθν μετατρζπει ςε μεταφορικι
κινθτικι ενζργεια.
Τι ςυμβαίνει όμωσ όταν υπάρχει μεν ςυντελεςτισ τριβισ
μ>0, αλλά όχι αρκετά μεγάλοσ; Στθ περίπτωςθ αυτι το
ςϊμα κυλίεται με ςπινάριςμα (υ<ωR) και το μζτρο τθσ Τ
παίρνει τθν μζγιςτθ τιμι του Τ=μΝ. Και φυςικά δεν
ιςχφουν οι ςυνκικεσ κφλιςθσ χωρίσ ολίςκθςθ.
Μεταφορικι: T = M acm
Στροφικι : F d - T R = I aγ
Κφλιςθ με ολίςκθςθ : Τ = μ Ν

8. Άρα λοιπόν ς ζνα ποδιλατο που κινείται επιταχυνόμενο θ
ςτατικι τριβι ςτθν πίςω ρόδα ζχει φορά τθν φορά τθσ
κίνθςθσ ενϊ ςτθν μπροςτινι ρόδα αντίκετθ!
Ν
d
Ν
+
+
m,I,R
F’’
F’
F
T
F
T’
W
W
Η Fϋ είναι θ δφναμθ που αςκεί το ςϊμα του ποδθλάτου ςτθν
μπροςτινι ρόδα. Αντίκετθ αλλά με ίδιο μζτρο δφναμθ αςκεί θ
μπροςτινι ρόδα ςτο ςϊμα. Η F’’ είναι θ αντίδραςθ του ςϊματοσ
του ποδθλάτου πάνω ςτθν πίςω ρόδα θ οποία «ςπρϊχνει» το
ςϊμα με αντίκετθ δφναμθ ίδιου μζτρου F’’. Οι δυνάμεισ αυτζσ
πάνω ςτο ςϊμα του ποδθλάτου φαίνονται ςτο παρακάνω ςχιμα.
F’’
F’
Η ςυνιςταμζνθ τουσ επιταχφνει το ςϊμα του ποδθλάτου δθλαδι μια
επιπλζον εξίςωςθ που πρζπει να ιςχφει και μπορεί να επιβεβαιϊςει
τουσ υπολογιςμοφσ μασ είναι: F’’- F’ = (M -2m) acm
Αν Μ θ ςυνολικι μάηα του ποδθλάτου μαηί με τον
αναβάτθ, m θ μάηα τθσ κάκε ρόδασ και Ι θ ροπι αδράνειάσ
τθσ (για απλοποίθςθ τισ κεωροφμε ίςεσ) θ λφςθ που
περιγράφει τθν κίνθςθ του ποδθλάτου με κφλιςθ χωρίσ
ολίςκθςθ είναι:
Δεδομζνα: M, m, I, R, d, F
Ηθτοφμενα: T, T’, F’, F’’, acm, aγ (6)
Εξιςώςεισ (6):
Ποδιλατο
Μεταφορικι: T - T’ = M acm
Εμπρόσ ρόδα
Μεταφορικι: F’ - T’ = m acm
Στροφικι:
T’ R = I aγ
Πίςω ρόδα
Μεταφορικι: T - F’’ = m acm
Στροφικι:
F d - T R = I aγ
Κφλιςθ
χωρίσ ολίςκθςθ: acm = aγ R
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

9. +
Ν
+
+
Ν
T
+
Wx
Wy
+
Ν
+
T
Wx
Wy
υ=ωR
W
W
W
Ασ ξαναγυρίςουμε τϊρα ςτθν ςφαίρα που ξεκινά να κυλά κατεβαίνοντασ ζνα κεκλιμζνο επίπεδο ςυνεχίηει ςε οριηόντιο και ανεβαίνει πάλι ςε
κεκλιμζνο. Θεωροφμε ότι ο ςυντελεςτισ τριβισ μ είναι αρκετά μεγάλοσ ϊςτε να δίνει όςθ ςτατικι τριβι χρειάηεται. Τι κίνθςθ κάνει θ ςφαίρα
και ποια θ φορά τθσ ςτατικισ τριβισ; Είδαμε ςτα προθγοφμενα πωσ όταν θ ςφαίρα κατεβαίνει θ φορά τθσ ςτατικισ τριβισ είναι αντίκετθ τθσ
κίνθςθσ. Η ςφαίρα επιταχφνεται κυλιόμενθ χωρίσ ολίςκθςθ (acm = aγ R) και φτάνει ςτο οριηόντιο επίπεδο με γραμμικι ταχφτθτα υ ενϊ
περιςτρζφεται με γωνιακι ταχφτθτα ω τισ οποίεσ ςυνδζει θ ςχζςθ υ=ωR. Στο οριηόντιο επίπεδο δεν υπάρχει δφναμθ που κα μποροφςε να
τθν επιταχφνει γραμμικά. Αυτομάτωσ και θ ςτατικι τριβι μθδενίηεται (Τ=0) και θ ςφαίρα ςυνεχίηει να κυλίεται χωρίσ ολίςκθςθ διατθρϊντασ
ςτακερζσ τισ υ και ω που απζκτθςε (υ=ωR). Ρράγματι αν υφίςτατο ςτατικι τριβι μζτρου Τ≠0, αν θ φορά τθσ ιταν προσ τα δεξιά (ομόρροπθ
τθσ υ) κα ζδινε γραμμικι επιτάχυνςθ θ οποία κα αφξανε το μζτρο τθσ υ. Η ροπι τθσ όμωσ κα ζδινε γωνιακι επιβράδυνςθ που κα μείωνε το
μζτρο τθσ ω πράγμα αδφνατο! Ακριβϊσ το αντίκετο κα γινόταν αν θ φορά τθσ ιταν προσ τα αριςτερά. Η υ κα μειϊνονταν ενϊ κα αυξάνονταν
θ ω! Άρα λοιπόν δεν υπάρχει ςτατικι τριβι ςε μια κυλιόμενθ ςφαίρα θ οποία με κάποιο τρόπο ζχει αποκτιςει υ και ω με υ=ωR και θ
ςυνιςταμζνθ δφναμθ και θ ςυνιςταμζνθ ροπι δυνάμεων που τθσ αςκοφνται είναι μθδενικζσ. Η ςφαίρα ςυνεχίηει και αρχίηει να ανεβαίνει
επιβραδυνόμενθ το απζναντι κεκλιμζνο επίπεδο. Η ςυνιςτϊςα Wx προκαλεί τθν γραμμικι επιβράδυνςθ, ενϊ θ ςτατικι τριβι εμφανίηεται
πάλι προκαλϊντασ τθν γωνιακι επιβράδυνςθ και φυςικά ιςχφει (acm = aγ R) κακϊσ προχποκζςαμε αρκετά μεγάλο μ ϊςτε να μθν υπάρχει
ολίςκθςθ (θ ςπινάριςμα για τθν προκειμζνθ περίπτωςθ).

10. Συμπζραςμα
Θ ςτατικι τριβι εμφανίηεται όταν:
Ζνα ςϊμα (ςφαίρα, δίςκοσ, δακτφλιοσ, κφλινδροσ) βρίςκεται ςε επαφι με μια επιφάνεια, μεταξφ τουσ υπάρχει
ςυντελεςτισ τριβισ μ>0 και δφναμθ αντίδραςθσ μζτρου Ν>0.
Επιπλζον:
Ή
Στο ςϊμα αςκείται ςυνιςταμζνθ δφναμθ θ οποία τείνει να το επιταχφνει (ι επιβραδφνει) γραμμικά. Η φορά τθσ
ςτατικισ τριβισ είναι τζτοια ϊςτε να δϊςει τθν αντίςτοιχθ γωνιακι επιτάχυνςθ (ι επιβράδυνςθ). Αν ο ςυντελεςτισ
τριβισ μ είναι αρκετά μεγάλοσ το μζτρο τθσ Τ κα πάρει τθν κατάλλθλθ τιμι ϊςτε τα μζτρα των επιταχφνςεων (ι
επιβραδφνςεων) να ςυνδζονται με τθ ςχζςθ acm = aγ R και το ςϊμα κα κυλίεται χωρίσ ολίςκθςθ (ι ςπινάριςμα). Αν
όχι, θ τριβι κα πάρει τθν μζγιςτθ δυνατι τιμι τθσ Τ=μΝ (ςτθν πραγματικότθτα δεν χαρακτθρίηεται πλζον ωσ ςτατικι
αλλά ωσ τριβι ολίςκθςθσ) και το ςϊμα κα κυλίεται ολιςκαίνοντασ (ι ςπινάροντασ).
ι
Στο ςϊμα αςκείται ςυνιςταμζνθ ροπι θ οποία τείνει να το επιταχφνει (ι επιβραδφνει) γωνιακά. Η φορά τθσ ςτατικισ
τριβισ είναι τζτοια ϊςτε να δϊςει τθν αντίςτοιχθ γραμμικι επιτάχυνςθ ι επιβράδυνςθ. Αν ο ςυντελεςτισ τριβισ μ είναι
αρκετά μεγάλοσ το μζτρο τθσ Τ κα πάρει τθν κατάλλθλθ τιμι ϊςτε τα μζτρα των επιταχφνςεων (ι επιβραδφνςεων) να
ςυνδζονται με τθ ςχζςθ acm = aγ R και το ςϊμα κα κυλίεται χωρίσ ςπινάριςμα (ι ολίςκθςθ). Αν όχι, θ τριβι κα πάρει τθν
μζγιςτθ δυνατι τιμι τθσ Τ=μΝ (ςτθν πραγματικότθτα δεν χαρακτθρίηεται πλζον ωσ ςτατικι αλλά ωσ τριβι ολίςκθςθσ)
και το ςϊμα κα κυλίεται ςπινάροντασ (ι ολιςκαίνοντασ ).
Αν το ςϊμα κινείται χωρίσ ολίςκθςθ (ι ςπινάριςμα), το ςυνολικό ζργο τθσ ςτατικισ τριβισ είναι μθδζν. Η ςτατικι τριβι
απλϊσ μετατρζπει μεταφορικι κινθτικι ενζργεια ςε ςτροφικι ι το αντίςτροφο. Αν όμωσ το ςϊμα κυλίεται με ολίςκθςθ
(ι ςπινάριςμα) το ςυνολικό ζργο είναι αρνθτικό διότι εκτόσ από τθν μετατροπι μεταφορικισ κινθτικισ ενζργειασ ςε
ςτροφικι (ι το αντίςτροφο) ζνα μζροσ τθσ κινθτικισ ενζργειασ μετατρζπεται ςε κερμότθτα.
Ωςτόςο δεν τελειϊςαμε ακόμα με τθν ςτατικι τριβι… 

11. Μζχρι τϊρα είδαμε περιπτϊςεισ όπου υπάρχουν μόνο δυνάμεισ ι μόνο ροπζσ δυνάμεων. Τι ςυμβαίνει όμωσ ςτισ
περιπτϊςεισ που ταυτόχρονα ζχουμε δφναμθ και ροπι δφναμθσ; Ρωσ εκδθλϊνεται θ ςτατικι τριβι;
Ν
+
+
M,I,R
F
T
Στθ πραγματικότθτα
αποδείχκθκε πωσ θ T
είναι μθδενικι.
Μεταφορικι: F – T = M acm
Στροφικι : F R + T R = I aγ
W
Κφλιςθ χωρίσ
ολίςκθςθ : acm = aγ R
υ=ω R
x=κR
Ασ υποκζςουμε ότι ςε ομογενι δακτφλιο (Ι=ΜR2)
εφαρμόηουμε δφναμθ F ςτθν περιφζρειά του θ
οποία δίνει και ροπι, όπωσ ςτο διπλανό ςχιμα.
Επίςθσ ο ςυντελεςτισ τριβισ μ είναι αρκετά μεγάλοσ
ϊςτε ςε κάκε περίπτωςθ να ζχουμε κφλιςθ χωρίσ
ολίςκθςθ ι ςπινάριςμα. Η F και θ ροπι τθσ τείνουν
να μετακινιςουν και να ςτρζψουν τον δακτφλιο με
acm και aγ που ζχουν ςυμβατζσ μεταξφ τουσ φορζσ.
Ραρόλα αυτά δεν είναι ςίγουρο ότι ιςχφει acm =aγ R.
Αν θ ιςότθτα αυτι ικανοποιείται τότε δεν κα
εμφανιςτεί ςτατικι τριβι (T=0). Στθν αντίκετθ
περίπτωςθ κα εμφανιςτεί και κα ζχει τζτοια φορά
και τζτοιο μζτρο όςο ακριβϊσ απαιτείται για να
κυλίςει ο δακτφλιοσ χωρίσ ολίςκθςθ (acm=aγR).
(Αρκεί βζβαια ο μ να ζχει τζτοια τιμι ϊςτε θ
απαιτοφμενθ τιμι του μζτρου τθσ Τ να είναι Τ<μΝ.)
Υποκζτουμε πωσ υπάρχει ςτατικι τριβι με φορά
όπωσ ςτο ςχιμα. Τότε:
F-T=Macm
FR+TR=MR2aγ
acm=aγR
F-T=MaγR
(F+T)R=MR2aγ
F-T=(F+T) άρα
Τ=0
Διαπιςτϊνουμε λοιπόν πωσ ςτθν περίπτωςθ του ομογενοφσ δακτυλίου δεν αναπτφςςεται ςτατικι τριβι αφοφ θ
δφναμθ και θ ροπι τθσ δίνουν από μόνεσ τουσ τζτοιεσ επιταχφνςεισ ϊςτε να ιςχφει θ ςυνκικθ κφλιςθσ acm = aγ R .

12. Θα ςυνζβαινε το ίδιο και ςε ζναν ομογενι δίςκο;
Ν
+
+
M,I,R
F
T
Στθ πραγματικότθτα
αποδείχκθκε πωσ θ
φορά τθσ T είναι θ
αντίκετθ από αυτι.
Ασ υποκζςουμε ότι ςε ομογενι δίςκο (Ι=ΜR2/2)
εφαρμόηουμε δφναμθ F ςτθν περιφζρειά του θ
οποία δίνει και ροπι, όπωσ ςτο διπλανό ςχιμα.
Επίςθσ ο ςυντελεςτισ τριβισ μ είναι αρκετά μεγάλοσ
ϊςτε ςε κάκε περίπτωςθ να ζχουμε κφλιςθ χωρίσ
ολίςκθςθ ι ςπινάριςμα. Η F και θ ροπι τθσ τείνουν
να μετακινιςουν και να ςτρζψουν τον δίςκο με acm
και aγ που ζχουν ςυμβατζσ μεταξφ τουσ φορζσ.
Ραρόλα αυτά δεν είναι ςίγουρο ότι ιςχφει acm =aγ R.
Υποκζτουμε πωσ υπάρχει ςτατικι τριβι με φορά
όπωσ ςτο ςχιμα. Τότε:
Μεταφορικι: F – T = M acm
Στροφικι : F R + T R = I aγ
W
F-T=Macm
FR+TR=MR2aγ/2
acm=aγR
Κφλιςθ χωρίσ
ολίςκθςθ : acm = aγ R
υ=ω R
x=κR
Διαπιςτϊνουμε λοιπόν πωσ ςτθν περίπτωςθ του
ομογενοφσ δίςκου αναπτφςςεται ςτατικι τριβι αφοφ
θ δφναμθ και θ ροπι τθσ δίνουν από μόνεσ τουσ
τζτοιεσ επιταχφνςεισ που δεν ικανοποιοφν τθ
ςυνκικθ κφλιςθσ acm = aγ R . Διαπιςτϊνουμε επίςθσ
πωσ θ φορά τθσ είναι αντίκετθ από αυτιν που
αρχικά υποκζςαμε και βάλαμε ςτο ςχιμα αφοφ με
τθν φορά αυτι βρικαμε αρνθτικό μζτρο (T = -F/3).
F-T=MaγR
(F+T)R=MR2aγ/2
F-T=2(F+T) άρα
T = -F/3
Πςο για τον ςυντελεςτι τριβισ μ, για να μθν ζχουμε ολίςκθςθ αυτόσ πρζπει να ζχει τζτοια τιμι ϊςτε
Τ<μΝ  F/3<μMg 
μ>F/(3Mg).

13. Εδϊ νομίηω πωσ τελειϊςαμε.
Ευχαριςτϊ για τθν προςοχι ςασ και ελπίηω να
λφκθκαν όλεσ οι τυχόν απορίεσ ςασ για τθν
ςτατικι τριβι.
Κουκοφδθσ Βαςίλθσ
Η μιπωσ όχι;…

14. Ξεχάςαμε τθν περίπτωςθ του ποδθλάτθ που κάνει
πετάλι, δζχεται αντίςταςθ του αζρα και κινείται με
ςτακερι ταχφτθτα (acm=0, aγ=0).
Ν
d
m,I,R
Δεδομζνα: R, d, Fα
Ηθτοφμενα: T, T’, F (3)
Ν
+
+
Fα
F’’
F
T
F
W
Εξιςώςεισ (3):
Εμπρόσ ρόδα
Κάνει ευκφγραμμθ ομαλι κίνθςθ ενϊ κυλίεται χωρίσ
ολίςκθςθ ι ςπινάριςμα επομζνωσ δεν εμφανίηει ςτατικι
τριβι και θ ςυνιςταμζνθ δφναμθ και ροπι δυνάμεων είναι
μθδενικζσ. Άρα:
Τ’ = 0
(1)
Ποδιλατο
Μεταφορικι: T - Fa = 0  T = Fα
(2)
Πίςω ρόδα
Μεταφορικι: T - F’’ = 0  T = F’’
Στροφικι:
Fd-TR=0F=TR/d
(3)
W
Η Fα είναι θ αντίςταςθ του αζρα θ οποία μεταφζρεται ςτο ςϊμα
του ποδθλάτου. Η F’’ είναι θ αντίδραςθ του ςϊματοσ του
ποδθλάτου πάνω ςτθν πίςω ρόδα θ οποία «ςπρϊχνει» το ςϊμα
με αντίκετθ δφναμθ ίδιου μζτρου F’’. Οι δυνάμεισ αυτζσ πάνω ςτο
ςϊμα του ποδθλάτου φαίνονται ςτο παρακάνω ςχιμα.
F’’
Fα
Η ςυνιςταμζνθ τουσ είναι μθδενικι αφοφ το ςϊμα του ποδθλάτου
δεν επιταχφνεται ι επιβραδφνεται.
Άρα F’’=Fα
Τζλοσ παρουςίαςθσ
(Επιτζλουσ)