yukicoderの出題問題です。

1. yukicoder No. 140
みんなで旅行
出題/解説 kmjp
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2. 問題
• N組の夫婦(2×N)人を幾つかのグループに分け
る
• 各グループに最低１組は夫婦ペアで含まれる
ような分け方は何通りあるか？
A A B B C C D D E E F F
例：６組の夫婦を３つのグループに分ける場合
A A
B B
C C D DE E FF
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3. 解法(1)
• 夫婦で同じグループに入る組を先に分けると楽
• 𝐹 𝑥, 𝑦 を 夫婦同じグループに入る夫婦が𝑥組で
グループ数が𝑦となる組み合わせとする
• 𝐹 𝑥, 𝑦 =
1 (𝑥 = 𝑦 = 0)
0 (𝑥 < 𝑦 𝑜𝑟 𝑦 ≤ 0)
𝐹 𝑥 − 1, 𝑦 − 1 + 𝑦 × 𝐹 𝑥 − 1, 𝑦 (𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒)
• 𝐹 𝑥, 𝑦 はDPで列挙できる
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(𝑥 − 1)組がすでに(𝑦 − 1)グループ
を作っていて、𝑥組目は新たな𝑦個目
のグループを作る場合
(𝑥 − 1)組がすでに𝑦グループを
作っていて、𝑥組目はそのどれ
かに入る場合

4. 解法(2)
• 𝐹 𝑥, 𝑦 を計算できると後は簡単
• 𝑁組中𝑥組の夫婦が同じグループで、計𝑦グルー
プ作る組み合わせは:
𝑁 𝐶 𝑥 × 𝐹 𝑥, 𝑦 × 𝑦 × (𝑦 − 1) 𝑁−𝑥
• 上記式を各𝑥, 𝑦に対して計算して総和を取る
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前スライドの通り
夫婦が同じグループ
に入る𝑥組の選び方
夫婦が別々のグループに分かれる
残り(𝑁 − 𝑥) 組の夫婦の分かれ方

5. 元ネタ・所感
• ARC009 C を解いていて思いついた問題
• yukicoderに数え上げ問題少ないなと
思って作ってみました
– 間に門松列ブームで大量の数え上げ問題が
出てしまいちょっと今更感
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