1. 5.3 Μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx2+βx+γ 157
3. Οι διαστάσεις x, y ενός ορθογωνίου μεταβάλλονται, έτσι ώστε η περίμε-
τρός του να παραμένει σταθερή και ίση με 20 μ .
i) Να εκφράσετε το y συναρτήσει του x και στη συνέχεια να βρείτε τον
τύπο Ε = f ( x) που δίνει το εμβαδόν E του ορθογωνίου συναρτήσει του
x.
ii) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν μεγιστοποιείται για x = 5 και να βρείτε
τη μέγιστη τιμή του.
4. 'Ένα σημείο Μ κινείται πάνω στο ευθύγραμμο
τμήμα ΑΒ  6cm . Με πλευρές τα ΜΑ και ΜΒ
κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα. Για ποια
θέση του Μ το άθροισμα των εμβαδών των
δύο τριγώνων είναι ελάχιστο;
5. Ένας κτηνοτρόφος έχει σύρμα 200m
και θέλει να περιφράξει δύο συνεχόμε-
νους ορθογώνιους υπαίθριους χώρους
με διαστάσεις x και y, όπως φαίνεται
στο διπλανό σχήμα. Για ποιες τιμές
των x και y το εμβαδόν και των δύο
χώρων μεγιστοποιείται;
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
I. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α,
αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι
ψευδής.
1. Αν η παραβολή y  αx , α  0 διέρχεται από το σημείο
2
Α Ψ
A(1, 2) , τότε βρίσκεται στο 3ο και 4ο τεταρτημόριο. (1ο και 2ο τετ)
2. Αν το τριώνυμο f ( x)  αx  βx  γ, α  0 έχει ρίζες τους
2
αριθμούς x1  1 και x2  3 , τότε έχει άξονα συμμετρίας την Α Ψ
ευθεία x  1 .
3. Για οποιουσδήποτε α, β   η παραβολή y  αx 2 και η υ-
β Α Ψ
περβολή y  έχουν ένα και μοναδικό κοινό σημείο.
x
1
4. H υπερβολή y  και η ευθεία y   x τέμνονται. Α Ψ
x
(η y=1/x με x ≠0 στο 1 και 3 τεταρτημόριο ενώ η y=-x στο 2 και 4 άρα δεν τέμνονται)
ΤΣΟΥΚΑΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΛΕΩΝΙΔΙΟ

2. 158 5. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
II. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω δύο περιπτώσεις με τα σύμβολα
της ισότητας ή της ανισότητας.
1. Αν το τριώνυμο f  x   2 x 2  βx  γ έχει ρίζες τους αριθμούς x1  1 και
x2  3 , τότε θα ισχύει: S=-β/α=3-1=2 άρα β=-2α=-4 P=γ/α=-3 άρα γ=-6<0
f  5  … 0 ,
> f 1 … 0 ,
< f 5 … 0 ,
> <
γ …0 =
β … 4 .
2. Αν το τριώνυμο f  x    x 2  βx  γ έχει ρίζες τους αριθμούς x1  3 και
x2  1 , θα ισχύει: S=-β/α=-3+1=-2 άρα β=2α=-2 P=γ/α=-3 άρα γ=3>0
f  5  … 0 ,
< f  2  … 0 ,
> f 5 … 0 ,
< >
γ …0 , =
β … 2 .
III. Δίνεται το τριώνυμο f  x   αx 2  βx  γ , α  0 . Να επιλέξετε τη σωστή
απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:
1. Αν α  2 και το τριώνυμο f έχει κορυφή το σημείο Κ 1, 3 , τότε
Α) f  x   2  x  1  3 Β) f  x   2  x  1  3
2 2
Γ) f  x   2  x  1  3 Δ) f  x   2  x  1  3 .
2 2
2. Αν f 1  0 , f  3  0 και f  5   0 , τότε
Α) Δ  0 και α  0 Β) Δ  0 και α  0 Γ) Δ  0 και α  0 .
3. Αν το τριώνυμο έχει κορυφή το σημείο Κ 1, 2  και α  0 , τότε:
Α) Δ  0 Β) Δ  0 Γ) Δ  0 Δ) γ  0 .
4. Αν το τριώνυμο έχει κορυφή το σημείο Κ 1, 0  , τότε
Α) β  0 Β) Δ  0 Γ) Δ  0 Δ) Δ  0 .
IV. Οι παρακάτω καμπύλες C1, C2, C3 και C4 είναι οι γραφικές παραστάσεις των συ-
ναρτήσεων f1 ( x)  x 2  4 x  γ1 , f 2 ( x)  2 x 2  8 x  γ2 , f 3 ( x)   x 2  4 x  γ3 και
f 4 ( x)  2 x 2  8 x  γ4 , όχι όμως με την ίδια σειρά. Να αντιστοιχίσετε καθεμιά
από τις παραπάνω συναρτήσεις με τη γραφική της παράσταση.
f1 f2 f3 f4
C2 C4 C1 C3
Κορυφή για x=-β/2α άρα f1 και f2 είναι 4/2=8/4=2 f1→C2 & f2 →C4 ίδιο x μεγαλύτερο y
f3 και f4 είναι 4/(-2)=8/(-4)=-2 f3→C1 & f4 →C3 ίδιο x μεγαλύτερο y
(λόγω του διπλάσιου συντελεστή στα x και x 2)
ΤΣΟΥΚΑΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΛΕΩΝΙΔΙΟ