3. 2. * Completa (a) la diferencia esencial entre relación y función es ……………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………… .. ( b) el dominio de una funcion es ……………………………………………………………………… ( C) el rango de una función es es ……………………………………………………………………… ( d) toda relación es una función ?cierto? ………………………………………………………….. ( e) toda relación es una función ?cierto? ………………………………………………………….. ( f) una función es inyectiva si ………………………………………………………………………….. ( g) una función es suryectiva si …………………………………………………………………………. ( h) una función es biyectiva si ………………………………………………………………………….. 1. 2 3. 4 .a .b .c .d .e es una función Inyectiva ya que ………………. ……………………… 1. 2 3. 4. 5. .a .b .c 1. 2 3. 4 .a .b .c .d es una función Suryectiva por que ………………. ……………………… es una función biyectiva por que ………………. ………………………

5. 5.- En                Son funciones: a.- (i) y (ii) b.- ( i) (iii) c.- (ii) y (iii) d.- solo (iii) e.- ninguno es una función inyectiva que: a. todo elemento de X tiene imagen b. todo elemento de Y es imagen de algún elemento de X c. elemento diferentes en X tienen imágenes diferentes d. X e Y tienen un número igual de elementos e N.A.       X Y ( i ) ( ii ) ( iii )

7. b.- Caso particular.- La función Identidad. Es una función donde a = 1 y b = 0. Por consiguiente f =  (x, y) / y = x } Ejemplo: Graficar f:  -3 , 4  R X Y -3 -3 0 0 4 4 Solución Observa que la función lineal Identidad pasa por el origen De coordenadas y corta al 1er Y 3er cuadrante del plano Cartesiano en este caso es llamado bisectriz. Además D f =  -3, 4  y Rf =  -3, 4     Y 4 -3 -2 -1 -0 -1 -2 -3 Gráfica -3 -2 -1 1 2 3 4 X

8. c.- Caso Particular. La función constante.- Es una función donde a = 0 Por consiguiente f =  (x, y) / y = b  Ejemplo: Graficar f:  -5, 6  R X f (x) = + X Y -5 0 3 Tabla de valores Solución -2 -1 y = Y -1 -2 -3 -4 -5 0 1 2 3 4 5 6 x Observa que la recta es paralela

9. 1.- En las siguientes cuestiones determina el dominio y rango de las funciones Gráfica las funciones ( a) f : R R ( b) f: R R f: (x) = 6x+3 f (x) = 1 x + 2 ( c) f :  0,1  R (d) f :  -1,1  R f: (x) = 8 x+4 f (x) = x -2 2.- Grafica las funciones f ( x) = x ( a) f : R R (b) f:  0,6  R ( c) f :  -3,0  R (d) f:  - ,  R 3.- Gráfica las funciones ( a) f : R R ( b) f: R R x f ( x) = 1 x f (x) = 3 ( c) f :  -1,2  R (d) f:  0,12  R x 10 x

10. LAS FUNCIONES VALOR ABSOLUTO Y CUADRATICA a. La función valor absoluto.- Dada función f: R R defina por x f (x) =  x  Esta función hace corresponder a cada número real, su valor absoluto Recuerda que: ( x  = x si x  0 ( x  = - x si x < 0 Ejemplo 1: Gráfica f =  ( x, y) / y =  x   Solución Gráfico Observa que la gráfica de esta función son dos rayos que tienen su origen común en el eje X, Además Df = R Rf = reales positivos ( 0  ) X Y … .. … .. -3 3 -2 2 -1 1 0 1 2 0 1 2 … .. … .. Y =  x  3 2 1 Y -3 -2 -1 0 1 2 3 X

12. Ejemplo 1: Gráfica f (x) = x 2 Solución a = 1 b = 0 c = 0 (x y ) = ( 0 0) PORQUE si y = 0 entonces x 2 = 0, que indica x = 0 X Y … .. … .. -3 9 -2 4 -1 1 0 1 2 0 1 4 Tabla de valores 3 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1   -1 0 1 2 -2   -3 3   Y Y = x 2 X

15. b) R : A B defina por a = 3b, es R = { (9, 3), (12, 4), (15, 5)} a = 3b 9. 12. 9. .3 .4 .5 D 2 = {9, 12,15} R 2 = {3, 4, 5} c) R : A B defina por a + b = 14 R = { (4, 10), (8, 6) a + b = 14 2. 4. 8. .6 .8 .10 D 2 = {4, 8} R 2 = {6, 10}

17. VI. {x, y ) / -3  x  3, 0  y  2  D R = {-3; 2; -1, 0, 1, 1, 3  R R = { 0, 1, 2  3 2 1 0   -1 1 2 -2   -3 3 Y X -1          

18. VII. En el conjunto de los números enteros, tenemos que: 3 2 1 0 -1 -2 -3  -3 - 2 -1 1 X Y                 D R = {0, -1, -2, -3} R R = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }

19. R = { (0,0), (-1,0), (-2,0), (-3,0), (-1,1), (-1,-2) (-1,3), (2,-2), (-3,-3), (-1,1), (-2,1), (-3,1, (-2,2), (-3,2), (-3,3) } VIII. El diagrama, la relación R, el dominio y el rango es: R 1. 3. 5. 7. D 2 = {3, 5} R 2 = {2, 4} 1. 2. 3. 4. A B Diagrama Sagital 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. PAR IMPAR PRIMO “ es un número” R = { (1,I), (3,I), (5,I), (5,I), (7,I), (2,PA) (4,PA), (6,PA), (2,PR), (3,PR), (3,PR), (5,PR), (7PR) }

20. X. Gráfica, dominio y rango de la relación en el conjunto de los números reales R = {(x, y) / y = 2 x  Solución   Y 4 -2 1 0 1 2 3 Gráfica -2 -1 1 2 3 X y = 2x ACTIVIDAD Nº 2 Recuerda que R significa “no relacionado” 1.- Sea A = {a, b, c  ; R = {(a , a), (b , b), (c , c)  a) Si es reflexiva porque a R a. b R b. c R c. b) no es simétrica porque no se cumple a R b implica que b R a c) no es transitiva porque no se cumple a R b y b R c entonces a R c d) no es antisimetrica porque no se cumple a R b implica b R a D (R) = R (NÚMEROS REALES) R (R) = R (NÚMEROS REALES)

21. 2. En las figuras el recorrido de las fechas se cumple: relación reflexiva: 1 R 1, 2 R 2, 3 R 3 relación simétrica: 3 R 4 4 R 3, 4 R 5 5 R 4, 3 R 5 5 R 3 3 R 6 6 R 3, 6 R 7 7 R 6 , 3 R 7 7 R 3 relación transitiva: 3 R 4, 4 R 5 3 R 5; 3 R 6, 6 R 7 3 R 7 relación antisimétrica: no se cumple porque hay flechas de ida y vuelta 3. Una relación R es de equivalencia porque se cumple las propiedades: . Reflexiva: 1 R 1, 2 R, 3 R 3, 4 R, 5 R .Simétrica: 4 R 5, entonces 5 R 4 . Transitiva: 5 R 4, 4 R 5 entonces 5 R 5 Por tanto es una relación de Equivalencia. 4. R : A A, defina a = b ó “ a divide b” R = {(6, 6), (12, 12), (18, 18), (6, 12), (6, 18)  a divide b Ésta relación R: es reflexiva, porque: 6R, 12 R12, 18R18 es antisimetrica, porque 6R 12 pero 12 R 6 6R18 pero 18 R 6 no es simétrica: aRb no cumple bRa no es transitiva: no cumple aRb, bRSc y aRC por tanto no es relación de equivalencia ni de orden 6. 12. 18. .6 .12 .18

22. 5). R: A A, definida por a ≥ b R = {(4, 3), (4, 2), (4, 1), (3, 2), (3, 1), ( 2,1), (4,4), (3,3), (2,2), (1,)  Diagrama sagital: a ≥ b 4. 3. 2. 1. .4 .3 .2 .1 A A Una relación R, se cumple las propiedades siguientes: Reflexiva 4 R 4 3 R 3, 2 R 2. 1 R 1 Antisimetrica: 4 R 3 pero 3 R 4 Transitiva: 4 R 2, 2 R 4 R 1 3 R 2, 2 R 1 3 R 1 Por tanto es una relación de orden porque es reflexiva, antisimetrica y transitiva EVALUACIÓN 2: 1.d 2.b. 3c. 4d. 5e. 6.c EVALUACIÓN 3: Las relaciones dadas

23. En (b) si es función todo elemento del dominio tiene único imagen: Aunque dos elementos de A tienen la misma imagen En (c) si es función todo elemento del dominio le corresponde una y solo una imagen y diferentes del dominio tienen diferentes imágenes es decir a ≠ b entonces f (a) ≠ f (b) En (d) no es función, porque el elemento b que pertenece A, tiene más de una imagen.. En (e) si es función, porque, elementos diferentes del dominio le corresponde un único imagen, aún siendo la misma para todo los elementos de A; y además podemos afirmar que es una aplicación. En (f) si es una función, porque a cada elemento del dominio le corresponde una y sólo una imagen; y además es una aplicación, el dominio es de igual tamaño que el conjunto de partida. 2. Completa En (a) La relación puede que un elemento del dominio puede tener más de una imagen y en cambio una función en todo elemento del dominio tiene una sola imagen. En (b) …… es elemento del conjunto de partida, tiene imagen en el conjunto de llegada y esta constituida por las primeras componentes de cada par ordenado.

24. En (c)…. Es elemento del conjunto de llegada y lo forman todas las imágenes de los elementos del dominio, puede o no coincidir con el conjunto de llegada y esta constituida por las segundas componentes de cada par ordenada. En (d) …. No toda relación es una función puesto que un elemento de A puede tener más de una imagen. En (e) ….. Toda función es una relación porque dos conjuntos no vacios A y B y un subconjunto de A x B cuyas par parejas (x, y) tales que sus, componentes se encuentran asociadas o ligadas mediante una regla de Asociación ( ó correspondencia). En (f)…. Si dos elementos distintos tienen imágenes distintas. Es decir a ≠ b Entonces f ( a) ≠ f (b) En (g)…. Todo elemento de B es imagen de algún elemento de A. Es decir Su b  B,  a  A tal que b = f (a), También se llama sobreyectiva. En (h) … si es inyectiva y sobreyectiva 3.- Es una función inyectiva ya que a ≠ b f (a) ≠ (b) Es una función suryectiva o sobre porque  b  B  a  A tal que b = f (a) Es una función biyectiva porque es inyectiva y sobreyectiva.