36 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่7_ฟังก์ชันประกอบ

คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์

เรื่อง

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
(เนื้อหาตอนที่ 7)
ฟังก์ชันประกอบ

โดย

อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ

สื่อการสอนชุดนี้ เกิดจากร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย และ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

สื่อการสอน เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
สื่อการสอน เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบด้วย

1. บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
2. เนื้อหาตอนที่ 1 ความสัมพันธ์
- แผนภาพรวมเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
- ผลคูณคาร์ทีเซียน
- ความสัมพันธ์
- การวาดกราฟของความสัมพันธ์
3. เนื้อหาตอนที่ 2 โดเมนและเรนจ์
- โดเมนและเรนจ์
- การหาโดเมนและเรนจ์โดยการแก้สมการ
- การหาโดเมนและเรนจ์โดยการวาดกราฟ
4. เนื้อหาตอนที่ 3 อินเวอร์สของความสัมพันธ์ และบทนิยามของฟังก์ชัน
- อินเวอร์สของความสัมพันธ์
- บทนิยามของฟังก์ชัน
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ฟังก์ชันเบื้องต้น
- ฟังก์ชันจากเซต A ไปเซต B
- ฟังก์ชันทั่วถึง
- ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
6. เนื้อหาตอนที่ 5 พีชคณิตของฟังก์ชัน
- พีชคณิตของฟังก์ชัน
- ตัวอย่างประเภทของฟังก์ชันพื้นฐาน
7. เนื้อหาตอนที่ 6 อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
- อินเวอร์สของฟังก์ชันละฟังก์ชันอินเวอร์ส
- กราฟของฟังก์ชันอินเวอร์ส

1


8. เนื้อหาตอนที่ 7 ฟังก์ชันประกอบ
- ฟังก์ชันประกอบ
- โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันประกอบ
- สมบัติของฟังก์ชันประกอบ
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
11. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
12. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
13. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง อินเวอร์สของความสัมพันธ์และฟังก์ชันอินเวอร์ส
14. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง โดเมนและเรนจ์
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง พีชคณิตและการประกอบของฟังก์ชัน
16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การเลื่อนแกน

คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่ อง ความสัมพันธ์
และฟั ง ก์ ชั น นอกจากนี้หากท่ า นสนใจสื่อการสอนวิช าคณิต ศาสตร์ใ นเรื่อ งอื่นๆที่คณะผู้จัด ทาได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมด
ในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้

2


เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 7 (7/7)

หัวข้อย่อย 1. ฟังก์ชันประกอบ
2. โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันประกอบ
3. สมบัติของฟังก์ชันประกอบ
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจบทนิยามของฟังก์ชันประกอบ
2. ระบุได้ว่ามีฟังก์ชันประกอบจากฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่กาหนดให้ได้หรือไม่ และคานวณผล
ประกอบของฟังก์ชันทั้งสองที่กาหนดให้ได้ในกรณีที่มีฟังก์ชันประกอบ
3. เข้าใจวิธีหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันประกอบ
4. เข้าใจสมบัติต่างๆ ของฟังก์ชันประกอบ
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. ระบุได้ว่ามีฟังก์ชันประกอบจากฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่กาหนดให้ได้หรือไม่ และคานวณผล
ประกอบของฟังก์ชันทั้งสองที่กาหนดให้ได้ในกรณีที่มีฟังก์ชันประกอบ
2. คานวณหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันประกอบได้
3. สามารถนาสมบัติต่างๆ ของฟังก์ชันประกอบไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาได้

3


เนื้อหาในสื่อ

4


1. ฟังก์ชันประกอบ

5


1. ฟังก์ชันประกอบ

ในตอนต้นนี้ได้พยายามอธิบายถึงการใช้ฟังก์ชันประกอบโดยยังไม่ได้กล่าวถึงบทนิ ยาม เพื่อให้นักเรียนเริ่มคุ้นเคยว่า
จริงๆ แล้วกระบวนการในการสร้างฟังก์ชันประกอบนี้ได้ใช้กันอยู่เป็นประจาอยู่แล้ว

เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจให้นักเรียนช่วยกันยกตัวอย่างกระบวนการคล้ายกันนี้ที่นักเรียนเคยใช้กันมา หากนักเรียนนึกไม่
ออกครูอาจอธิบายถึงการเปลี่ยนหน่วยต่างๆ อย่างน้อยสองขั้น เช่น จากชั่วโมง เป็นนาที และจากนาที เป็นวินาทีเป็น
ต้น

ต่อมาได้อธิบายถึงการประกอบกันของฟังก์ชันสองฟังก์ชันใดๆ ที่กาหนดให้ โดยเริ่มจากตัวอย่างเพื่อนาไปสู่ข้อสรุปที่
เกี่ยวกับการมีอยู่ของฟังก์ชันประกอบ

เมื่อมาถึงตอนนี้นักเรียนจะพอสังเกตได้ว่าเงื่อนไขใดเป็นเงื่อนไขสาคัญในการมีอยู่ของฟังก์ชันประกอบ
6


พิสูจน์ข้อสังเกต 1 ที่กล่าวว่า ถ้า Rf Dg แล้ว g f
สมมติ ว่ า Rf Dg ดั ง นั้ น ให้ b Rf Dg เนื่ อ งจาก b Rf จะมี a Df ที่ f (a ) b และเนื่ อ งจาก
b Dg จ ะ มี c Rg ที่ g (b ) c นั่ น คื อ c g(b) g(f (a )) g f (a ) ห รื อ (a, c) g f ท า ใ ห้

g f

ต่อมาจากตัวอย่างที่เกี่ยวกับการจับคู่ของตัวเลขที่ยกไว้ในสื่อ ทาให้นักเรียนพอสังเกตได้ว่า gof เป็นการจับคู่กัน
ระหว่างตัวเลขที่เป็นสมาชิกในเซตสองเซต นั่นคือ gof เป็นความสัมพันธ์ระหว่างเซตสองเซตแบบหนึ่งเช่นกั น
ข้อสังเกตต่อไปจะแสดงว่า สาหรับฟังก์ชัน f และ g ที่ g f จะได้ว่า gof เป็นฟังก์ชันเช่นกัน

พิสูจน์ข้อสังเกต 2 ที่กล่าวว่า gof เป็นฟังก์ชัน

7


สมมติว่า f และ g เป็นฟังก์ชันที่ g f และ ให้ (a, c1 ), (a, c2 ) g f นั่นคือ (f (a ), c1 ), (f (a ), c2 ) g

เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชันทาให้ได้ว่า f (a ) ในคู่อันดับ (f (a), c1 ) และ (f (a), c2 ) เป็นค่าเดียวกัน ต่อมาเนื่องจาก g
เป็นฟังก์ชันทาให้ได้ว่า c1 c2 ดังนั้น gof เป็นฟังก์ชัน

ข้อสังเกตต่อมามาจากตัวอย่างที่ยกให้ดูในสื่อเช่นกัน ในกรณีที่กาลังพิจารณา gof เนื่องจากอาจมีสมาชิกบางตัวใน
Df ที่ไม่มี “สะพานเชื่อม” ส่งต่อไปยัง Rg ทาให้ได้ข้อสังเกตข้อนี้

พิสูจน์ข้อสังเกต 3 ที่กล่าวว่า Dg f Df
ให้ a Dg f จะได้ว่ามี c Rg f ที่ (a, c) g f แสดงว่ามี b Rf Dg ที่ (a,b) f และ (b, c) g นั่นคือ
a Df

เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจถามนาว่าหากสถานการณ์กลับกัน คือพิจารณา f g หรือแม้แต่ f f แล้วข้อสังเกตต่างๆ
จะเปลี่ย นไปหรือไม่ อย่า งไรบ้ าง นอกจากนี้ยั งอาจให้นัก เรีย นสังเกตต่อว่า g f และ f g ได้ผลลัพ ธ์มาเป็น
ฟังก์ชันเดียวกันหรือไม่ หาก g f และ f g ไม่ใช่ฟังก์ชันเดียวกัน นักเรียนคิดว่ามีเงื่อนไขใดหรือไม่ที่จะทาให้
g f f g

8


เมื่อมาถึงตอนนี้จึงให้บทนิยามของฟังก์ชันประกอบ

ครูอาจสรุป อีกครั้ง ว่า ถ้า g f และ (a, c) g f แล้วจะมี b Rf Dg ที่ (a,b) f และ (b, c) g
นั่นเอง

เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจใช้ฟังก์ชันที่เคยได้ยกในตัวอย่างหรือในแบบฝึกหัดของสื่อตอนก่อนหน้านี้ให้นักเรียนช่วยกัน
ฝึกหาผลประกอบของฟังก์ชันเหล่านั้น และยังอาจยกตัวอย่างนี้ประกอบ

ตัวอย่าง 1 ถ้า f {( 3, 1), (0,1), (1, 3), (4, 4), (7,6)} และ g {(1, 0), (2,1), (3,5), (4, 3), (5,2)}
จงหา f g, g f, f f และ g g

วิธีทา จากโจทย์เนื่องจาก f (g(1)) f (0) 1 และ f (g(2)) f (1) 3 จะได้ว่า f g {(1,1), (2, 3)}
ต่ อ ม า เ นื่ อ ง จ า ก g(f (0)) g(1) 0, g(f (1)) g(3) 5 และ g( f (4)) g(4) 3 จ ะ ไ ด้ ว่ า
g f {(0, 0), (1,5), (4, 3)}
ต่อมาเนื่องจาก f (f (0)) f (1) 3 และ f ( f (4)) f (4) 4 จะได้ว่า f f {(0, 3), (4, 4)}
สุดท้ายเนื่องจาก g(g(2)) g(1) 0, g(g(3)) g(5) 2, g(g(4)) g(3) 5 และ g(g(5)) g(2) 1 จะ
ได้ว่า g g {(2, 0), (3,2), (4,5), (5,1)}

9


ชวนคิด จากฟังก์ชัน f และ g ที่กาหนดให้ในตัวอย่าง 1 จงหา
f 1 g, f 1 g 1, f 1 f 1, g 1 f , g 1 f 1 และ g 1 g 1
พึงสังวรณ์ว่าบางฟังก์ชันอาจเป็นเซตว่าง
นอกจากนี้ให้นักเรียนสังเกตว่ามีความสัมพันธ์ระหว่าง f 1
g 1, g 1
f 1, (f g) 1
และ (g f) 1
หรือไม่
อย่างไร

10



11



ในช่วงนี้ได้กล่าวถึงการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันประกอบจากฟังก์ชันที่กาหนดให้ และการคานวณผลการ
ประกอบของฟังก์ชันที่กาหนดให้ผ่านตัวอย่างที่หลากหลาย

นอกจากนี้ครูยั งอาจนาตัวอย่างฟังก์ชันต่างๆ ที่เคยยกไว้ในสื่อตอนก่อนหน้านี้ มาให้นักเรี ย นฝึกหาฟังก์ชัน
ประกอบจากตัวอย่างเหล่านั้น และครูยังอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม

x
ตัวอย่าง 2 กาหนดให้ f (x ) และ g(x ) x2 9 จงหา Dg f
2 x

12


วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า Df {2} และ Dg ( 3] [3, ) ดังนั้น
x
Dg f
{x Df | f (x ) Dg } x {2} ( 3] [3, ) นั่นคือแก้อสมการ
2 x
x x 2x 6 4x 6
3 หรือ 3 ซึ่งทาให้ได้ว่า 0 หรือ 0 ดังนั้น x (2, 3] หรือ
2 x 2 x 2 x 2 x
3 3
x ,2 ทาให้ Dg f ,2 (2, 3]
2 2
หรืออาจคานวณ g f (x ) ก่อนแล้วจึงหาโดเมนของฟังก์ชันที่เป็นผลจากการประกอบดังกล่าว จากโจทย์จะได้ว่า
2 2
x x x
g f (x ) g(f (x )) g 9 ดังนั้น 9 0 และ x 2 พิจารณาเฉพาะ
2 x 2 x 2 x
อสมการแรกจะได้ว่า
2
(4x 6)( 2x 6) x x x
3 3 9 0
(2 x )2 2 x 2 x 2 x

นั่นคือ (2x 3)(x 3)
0 หรือ x 3
,3 ทาให้ Dg f 3
,2 (2, 3]
(x 2)2 2 2

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงการหาเรนจ์ของฟังก์ชันที่เป็นผลการประกอบของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน

ตัวอย่าง 3 กาหนดให้ f (x ) x4 1 และ g(x ) 100 36x 2 จงหา Rg f

วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า y g f (x ) g(f (x )) g(x 4 1) 100 36(x 4 1)2 จะเห็นว่า y 0
y2
และ 100 36(x 4 1)2 y2 นั่นคือ y 0 และ 100 (x 4 1)2 แต่เนื่องจาก x 4 1 0 ทุก
36
100 y 2 100 y 2
x ดังนั้น y 0 และ 1 x4 ทาให้ได้ว่า y 0 และ 1 0 นั่นคือ
36 36
y 0 และ 100 y2 0 และ 100 y2 36 ดังนั้น y [0, 8] หรือ Rg f [0, 8]

สาหรับตัวอย่างต่อไปนี้จะเป็นตัวอย่างการหาผลประกอบของฟังก์ชันที่นิยามเป็นช่วงๆ

13


2x ; 0 x 1
ตัวอย่าง 4 กาหนดให้ f (x ) x2 เมื่อ x 0 และ g(x ) 1 จงหา g f (x )
1 ; x 1
4x

วิธีทา Dg f {x Df | f (x ) Dg } {x [0, ) | x2 [0, )} [0, )
กรณี 0 x 1 จะได้ว่า 0 x2 1 และ g f (x ) g(f (x )) g (x 2 ) 2x 2
1
กรณี x 1 จะได้ว่า x 2 1 และ g f (x ) g( f (x )) g(x 2 ) 1
4x 2

แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันประกอบ

1. กาหนดให้ f (x ) 2 g(x ) โดยที่ g(x ) 1 x จงหา Df g

1
2. กาหนดให้ f (x ) 9 x2 และ g(x ) จงหา Rg f
4 x2

3. กาหนดให้ f (x ) (x 2)2 และ g(x ) x 2 จงหาค่าของ Df g
Rg f

4. ถ้า f (x ) 3 x และ g(x ) 2 |x 4| จงหา Dg f

1
;x 0 1
5. กาหนดให้ f (x ) x และ g(x ) จงหา f g(x )
1; x 0 x 1

14



15



ในช่วงสุดท้ายได้กล่าวถึงสมบัติต่างๆ ของฟังก์ชันประกอบโดยเริ่มจากการยกตัวอย่างแล้วสรุปเป็นทฤษฎีบท อย่างไร
ก็ดีในสื่อไม่ได้ให้บทพิสูจน์ไว้ แต่จะแสดงบทพิสูจน์ในคู่มือนี้สาหรับผู้ที่สนใจ

ทฤษฎีบทแรกนี้เกี่ยวกับผลการประกอบระหว่างฟังก์ชันและตัวผกผันของฟังก์ชัน กล่าวคือ
ถ้า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แล้ว f f 1(x ) x ทุก x Rf และ f 1 f (x ) x ทุก x Df
บทพิสูจน์ สมมติว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น f 1 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วย
ให้ x Rf ดั ง นั้ น จะมี a Df เพี ย งตั ว เดี ย วที่ (a, x ) f และ (x, a ) f 1 ดั ง นั้ น (x, x ) f f 1
นั่ น คื อ
f f 1(x ) x
ต่อมาให้ x Df ดังนั้นจะมี b Rf เพียงตัวเดียวที่ (x ,b) f และ (b, x ) f 1
ดังนั้น (x, x ) f 1
f นั่นคือ
1
f f (x ) x

หมายเหตุ ทฤษฎีบทนี้มีประโยชน์ในการใช้แก้สมการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันชี้กาลัง ฟังก์ชัน
ลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ และฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ซึ่งนักเรียนจะได้เรียนอย่างละเอียดในสื่อเรื่องฟังก์ชันชี้
กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม โดยอาจารย์เพ็ญพรรณและอาจารย์จิณดิษฐ์ และสื่อเรื่องตรีโกณมิติ โดยอาจารย์จิตรจวบ

16


ก่อนที่จะนาไปสู่ทฤษฎีบทต่อไป ได้นาเสนอผลการประกอบของฟังก์ชันที่มากกว่าสองฟังก์ชัน

ในที่นี้ครูอาจถามนักเรียนต่อว่าสาหรับฟังก์ชัน f, g และ h ที่กาหนดให้ มีเงื่อนไขใดบ้างที่จะทาให้เกิด h g f

นอกจากนี้ (h g) f ได้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันเดียวกันกับ h (g f) หรือไม่

ในคู่มือนี้จะพิสูจน์ว่า (h g ) f h (g f )
บทพิสูจน์ ให้ (a, d ) (h g ) f จะได้ว่ามี b Rf Dh g Rf Dg ที่ทาให้ (a,b) f และ (b, d ) h g
ดั ง นั้ น จะมี c Rg Dh ที่ ท าให้ (b, c) g และ (c, d ) h ท าให้ ไ ด้ ว่ า (a,b) f และ (b, c) g นั่ น คื อ
(a, c) g f และเพราะว่า (c, d ) h ทาให้ได้ว่า (a, d ) h (g f ) ดังนั้น (h g ) f h (g f )
ในท านองกลั บ กั น ให้ (a, d ) h (g f ) จะได้ ว่ า มี b Rg f Dh ที่ ท าให้ (a,b) g f และ (b, d ) h
ดั ง นั้ น จะมี c Rf Dg ที่ ท าให้ (a, c) f และ (c, b) g ท าให้ ไ ด้ ว่ า (c, b) g และ (b, d ) h นั่ น คื อ
(c, d ) h g และเพราะว่า (a, c ) f ทาให้ได้ว่า (a, d ) (h g ) f ดังนั้น h (g f ) (h g ) f
จึงสรุปได้ว่า (h g ) f h (g f )

นั่นคือการดาเนินการ ระหว่างฟังก์ชันมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่

17


ต่อมายังได้กล่าวถึงลักษณะโจทย์ที่ปรากฏบ่อยครั้ง โดยบางครั้งหากนักเรียนเข้าใจความหมายของฟังก์ชันประกอบ
แล้วสามารถแก้โจทย์เหล่านี้ได้อย่างไม่ซับซ้อน

เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจยกตัวอย่างต่อไปนี้ให้นักเรียนฝึกฝน
ตัวอย่าง 5 ถ้า g(x ) x 2 และ f g(x ) 2x 1 จงหา f (x 2 1)

วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า f (x 2) f (g(x )) f g(x ) 2x 1 เมื่อแทน x ทุกตัวด้วย a 2 3 จะได้
f (a 2 1) f ((a 2 3) 2) 2(a 2 3) 1 2a 2 5 นั่นคือ f (x 2 1) 2x 2 5
หรืออาจทาได้โดย จากโจทย์จะได้ว่า f (x 2) f (g(x )) f g(x ) 2x 1 ให้ a x 2 ดังนั้น
x a 2 ทาให้ f (a ) 2(a 2) 1 2a 3 และ f (x 2 1) 2(x 2 1) 3 2x 2 5

18


ตัวอย่าง 6 ถ้า f (x ) 2x 4 และ g(1 x) x2 จงหาค่าของ g f 1(0)

วิธีทา จากโจทย์สมมติว่า f 1(0) a ดังนั้น 2a 4 f (a ) นั่นคือ f 1(0) a 2 ทาให้
0
g f 1(0) g( f 1(0)) g(2) เมื่อแทน x 1 ในสูตรที่เกี่ยวกับ g ที่โจทย์กาหนดให้จะได้
g(2) g(1 ( 1)) ( 1)2 1 สรุปได้ว่า g f 1(0) 1
x 4
หรืออาจทาโดยตรงได้โดย จากโจทย์จะได้ว่า f 1(x ) และ ให้ a 1 x ดังนั้น x 1 a ทาให้ได้ว่า
2
g(a ) (1 a )2 ดังนั้น g f 1(0) g(f 1(0)) g(2) (1 2)2 1

สุดท้ายได้ยกตัวอย่างเพื่อนาไปสู่ทฤษฎีที่เป็นสมบัติสาคัญอีกประการของฟังก์ชันประกอบ

19


นั่นคือทฤษฎีบทที่กล่าวว่า ถ้า f :A B และ g : B C เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงแล้ว
(g f ) 1(x ) f 1
g 1(x )
บทพิสูจน์ สมมติว่า f : A B และ g : B C เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง
ขั้นแรกจะพิสูจน์ก่อนว่า g f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงจากเซต A ไปยังเซต C
ให้ a A Df ดังนั้นจะมี b B ที่ (a,b) f เนื่องจาก g : B C ทาให้ได้ว่าจะมี c C ที่ (b, c) g
ดังนั้น (a, c) g f นั่นคือ A Df Dg f และเนื่องจากข้อสังเกต 1 ที่ว่า Dg f Df ทาให้ได้ว่า Dg f A
ต่อมาให้ a, b A สมมติว่า g f (a ) g f (b) ดังนั้น g(f (a )) g(f (b)) เนื่องจาก g และ f เป็นฟังก์ชัน
หนึ่งต่อหนึ่งทาให้ได้ว่า f (a ) f (b) และ a b ตามลาดับ ดังนั้น g f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
สุดท้ายให้ c C เนื่องจาก g : B C และ f : A B เป็นฟังก์ชันทั่วถึง ทาให้ได้ว่ามี b B ที่ g(b) c
และ มี a A ที่ f (a ) b นั่นคือ c g(b) g(f (a )) g f (a ) ดังนั้น C Rg f และเนื่องจากทราบว่า
Rg f C ทาให้ได้ว่า Rg f C นันคือ g f เป็นฟังก์ชันหนึ่งทั่วถึงจากเซต A ไปยังเซต C
่
จึงสรุปได้ว่า g f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงจากเซต A ไปยังเซต C และ (g f ) 1 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อ
หนึ่งและทั่วถึงจากเซต C ไปยังเซต A
ขั้นต่อมา ให้ x C และให้ (g f ) 1(x ) z เนื่องจาก g f เป็นฟังก์ชันหนึ่งทั่วถึงจากเซต A ไปยังเซต C จะ
ได้ว่า g f (z ) x ต่อมาเนื่องจาก g 1 เป็นฟังก์ชัน ดังนั้น (g 1 (g f ))(z ) g 1(g f (z )) g 1(x )
เพราะว่าการดาเนินการ ระหว่างฟังก์ชันมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ทาให้ได้ว่า
g 1(x ) ((g 1
g ) f )(z ) g 1
g(f (z )) f (z )
ในทานองเดียวกัน เนื่องจาก f 1
เป็นฟังก์ชัน ดังนั้น f 1
f (z ) f 1( f (z )) f 1(g 1(x )) f 1
g 1(x )

เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจยกตัวอย่างนี้เพิ่มเติม

ตัวอย่าง 7 กาหนดให้ f (x ) (x 1)2 ทุก x 1 และ g(x ) 1 x ทุก x 1 จงหาค่าของ
1 1 1
g f
9

20


1 1
วิธีทา เนื่องจาก g 1
f 1
(f g) 1
จึงเริ่มจากการคานวณ f g(x ) จากโจทย์จะได้ว่า ในกรณีที่
9 9
x 1 จะได้ว่า 1 x 1 ก็ต่อเมื่อ x 0 นั่นคือ Df g
[0,1] และ
1
f g(x ) f (g(x )) f( 1 x) ( 1 x 1)2 ถ้าให้ (f g) 1
a จะได้ว่า a [0,1] และ
9
1 1 1 16
( 1 a 1)2 f g(a ) นั่นคือ 1 a 1 หรือ 1 a 1 ดังนั้น 1 a
9 3 3 9
4 7
หรือ 1 a ทาให้ได้ว่า a หรือ 5 แต่ a [0,1] ดังนั้น
9 9 9
1 1 1 1 1 5
g f (f g) a
9 9 9

หมายเหตุ ให้นักเรียนฝึกแก้ปัญหาในตัวอย่างนี้โดยตรงเป็นแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องสมบัติของฟังก์ชันประกอบ

1. กาหนดให้ f, g : โดยที่ f (x ) 2x 5 และ g(x ) 3x 1 ถ้า a เป็นจานวนจริงที่ทาให้
g 1
f 1(a ) 2 แล้วจงหาค่าของ a

2. กาหนดให้ f, g : โดยที่ g(x ) 1 2x และ g f (x ) x6 2x 4 2x 3 x2 2x 5 จงหาค่า
ของ f g (1)

3. กาหนดให้ f (x 1) 3x 2 f (x ) และ g(3x 1) 2x 7 ถ้า f (0) 1 แล้วจงหา g 1
f (1)

4. ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันจาก ไปยัง โดยที่ f (x ) x3 3 และ f g(x ) x3 3x 2 3x 13
แล้ว จงหาค่าของ g f 1( 5)

21


30x
5. กาหนดให้ f g(x ) และ g(x ) x3 2x 2 จงหา f (5)
3x 2 2

6. กาหนดให้ f g (x ) 3x 14 และ f (x 2) 3x 2 แล้วจงหา g 1
f (x )

7. กาหนดให้ f (x ) ax 2 เมื่อ a และ b เป็นจานวนจริงและ g(x
b 1) 6x 8 โดยที่ f (2) g(2)
และ (f g )(1) 8 จงหาค่าของ f g 1(28)

8. กาหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีสมบัติว่า f 1
g(x ) x 2 ทุก x จงหา f (2x ) ในรูปของ
ฟังกัชัน g

9. กาหนดให้ f (x ) 3x 5 และ f g(x ) x2 3x 1 จงหา g(1)

x 3
10. ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจานวนจริงโดยที่ f (x ) และ
x 6
6x
f 1
g(x ) ถ้า g(a ) 1 แล้วจงหาค่า a
x 1

22


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

23


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

24


ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

25


แบบฝึกหัดระคน

1. กาหนดให้ f (x ) x2 2 | x | และ g(x ) x2 1 จงหาค่าของ g f ( 3) f g (3)

2. ให้ f (x ) x8 x6 และ g(x ) 8x 7 6x 5 จงหาค่าของ f g (1)

1; x 0
3. กาหนดให้ f (x ) จงหา f f (x )
0; x 0

x 1; x 0
4. กาหนดให้ f (x ) จงหา g f (x ) เมื่อกาหนดให้
x 1; x 0

ก) g(x ) 1 ทุก x ( 1) [1, )
ข) g(x ) f 1(x ) ทุก x ( 1) [1, )
(x 1)2 ; x 1
ค) g(x )
(x 1)2 ; x 1

ง) g(x ) x3 ทุก x ( 1) [1, )

1
g
5. กาหนดให้ f (x ) ax 2 เมื่อ x 0 และ g(x ) x3 ถ้า f 1
g(2) 2 แล้ว 1
(64) มีค่าเท่าใด
f

6. ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันซึ่ง f (x ) 0 ทุก x Df ถ้า g f (x ) 2( f (x ))2 2 f (x ) 4 และ
x 1
g 1(x ) แล้วจงหาค่าของ g f (x ) (f g )(1)
3

2; x 1
7. กาหนดให้ f (x ) (x 1) ;2
1 x 2 และ g(x ) f (x ) 2 ถ้า k เป็นจานวนเต็มที่น้อยที่สุดที่
x 1; x 2

ทาให้ g(k ) 5 แล้วจงหา f g (k 2)

x; 0 x 1
8. กาหนดให้ f (x ) x เมื่อ x 0 และ g(x ) จงหา g f 1 (x ) และ f g 1 (x )
x 1; x 1

26


x
;x a
9. ให้ a 0 กาหนด f (x ) x 2 และ g(x ) x2 จงหาค่าของ f g( a ) g f (a )
x 1
;x a
x

10. ให้ ,E และ O แทนเซตของจานวนเต็ม จานวนเต็มคู่ และจานวนเต็มคี่ตามลาดับ และ f, g :
x
;x E
กาหนดโดย f (x ) 2x และ g(x ) 2 แล้ว g f f ที่เป็นฟังก์ชันจาก ไปยัง เป็น
x; x O
ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง หรือทั่วถึง หรือหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง จงให้เหตุผลประกอบ

x x
11. กาหนดให้ f (x ) เมื่อ x 1 และ g(x ) เมื่อ x 1 จงหา
1 x 1 x
(f g ) 1(x ), f 1
g 1(x ), f 1
g(x ) และ g 1
f (x )

12. กาหนดให้ r {(x , y ) |x y2 4} และ s {(x , y ) |x | y |} จงหาค่าของ
r 1
s 1(x ), s 1
r 1(x ), r 1
r 1(x ) และ s 1
s 1(x )

13. ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่กาหนดโดย f (x ) (x 1)3 4 และ g 1
(x ) x2 9 เมื่อ x 0
ถ้า g f 1(a ) 0 แล้วจงหาค่า a

1 1
14. กาหนดให้ f (x ) 1 และ g(x ) x2 a ถ้า f g(0) แล้วจงหาค่า a
x 2

15. ให้ เป็นเซตของจานวนเต็ม ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่กาหนดโดย f (x ) 2x และ g(x ) x 1 ทุก
x แล้วจงหาเรนจ์ของ (f g ) f

4
16. ถ้า f (x ) 2x และ g(x ) จงหาค่า x ที่ทาให้ g f (x ) f g (x )
x 1

27


x
17. ให้ f, g : โดยที่ f (x ) และ g(x ) จานวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับ x จงหา
|x | 1
g f (x )

1 x
18. ให้ f : เป็นฟังก์ชันที่มีสมบัติที่สอดคล้องกับ f x เมื่อ x 1 จงหา f f (x )
1 x

19. ให้ f1, f2 , f3 , f4 , g, h : โดยที่ f1(x ) x 3, f2 (x ) x 3, f3(x ) 1 x2 และ
f4 (x ) 1 x2 ถ้า f1 h(x ) f2 g(x ) 2x และ f3 h(x ) f4 g(x ) 4 จงหาค่าของ g h(2)

x
20. กาหนดให้ f g(x ) 2
และ g(x 2) x2 2x 1 จงหา f (9)
x 1

28


ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด

29


เฉลยแบบฝึกหัดเรื่องโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันประกอบ

1. [ 1, 8] 2. [ 1 , ) 3. [0,2) 4. ( , 3] 5. x 1 เมื่อ x 1
2

เฉลยแบบฝึกหัดเรื่องสมบัติของฟังก์ชันประกอบ

2 3
1. 9 2. 1 3. 10 4. 2 5. 6 6. 3x 6 7. 52 8. g(2x 2) 9. 10.
3 7

เฉลยแบบฝึกหัดระคน

0; x 0 (x 1)3 ; x 0
1. 90 2. 192 3. 4. ก) 1 ทุก x ข) x ทุก x ค) x ทุก x
2
ง)
1; x 0 (x 1)3 ; x 0

2 x 2; 0 x 1 x; 0 x 1 a 1
5. 6. 0 7. 3 8. 2
; 9.
2 x 1; x 1 x 1x 2 a 2

10. ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง
x 1 x 1
11. x เมื่อ x 1; x เมื่อ x 1; เมื่อ x ,1 ; เมื่อ x 1,
1 2x 2 1 2x 2
1
12. x 2 4; | x 2 4 |; x 4 8x 2 12; | x | 13. 1004 14. 2 15. { 2} 16.
3
1; x 0
17. 18. 1
เมื่อ x { 1, 0} 19. 13 20. 4
;
2
0; x 0 x 6 17 5

30


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน

31


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ วมน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์

32


ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม

33


การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้

34

36 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่7_ฟังก์ชันประกอบ

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie 36 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่7_ฟังก์ชันประกอบ

Ähnlich wie 36 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่7_ฟังก์ชันประกอบ (20)

Mehr von กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

Mehr von กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)

36 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่7_ฟังก์ชันประกอบ