1) Los sistemas de primer orden continuos se rigen por una ecuación diferencial de primer orden y su función de transferencia depende de la ganancia, la constante de tiempo y el polo. 2) La respuesta a un impulso es exponencial decreciente, mientras que la respuesta a un escalón alcanza el 63% del valor final en un tiempo igual a la constante de tiempo. 3) La respuesta a una rampa presenta una pendiente desfasada respecto a la entrada y un error en estado estable infinito si la ganancia no es uno.

1. Sistemas de primer orden

2. Sistemas de primer orden
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Los sistemas de primer orden continuos son aquellos que responden a
una ecuación diferencial de primer orden
dc(t )
+ a0c(t ) = b0 r (t )
dt
La función de transferencia es:
b0
C ( s)
=
R ( s ) s + a0
reacomodando términos también se puede escribir como:
donde
C ( s)
K
=
R ( s ) τs + 1
b0
, es la ganancia en estado estable,
a0
1
τ=
, es la constante de tiempo del sistema.
a0
1
el valor s = − a0 = −
se denomina polo.
τ
K=

3. Sistemas de primer orden
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada impulso
La salida en Laplace es
C ( s) =
b0
R( s)
s + a0
R( s) = 1
Utilizando transformada inversa de Laplace
c(t ) = b0L
−1 
1 


s + a0 

Se obtiene la salida en función del tiempo
c(t ) = b0e −a0t
se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de
τ

4. Sistemas de primer orden
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
c(t )
b0
t
0
τ
0.367879 b0
2τ
3τ
0.135335 b0
0.049787 b0
4τ
0.018315 b0
respuesta al impulso
b0
0.367879 b0
τ
t

5. Sistemas de primer orden
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada escalón de
magnitud A
La salida en Laplace es
b0
C ( s) =
R( s)
s + a0
A
R( s) =
s
Utilizando transformada inversa de Laplace
c(t ) = Ab0L
−1 

1


s ( s + a0 ) 

Se obtiene la salida en función del tiempo
c(t ) = AK (1 − e −a0t )
Ahora se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de
τ

6. Sistemas de primer orden
c(t )
t
0
0
τ 0.632120 AK
2τ 0.864664 AK
3τ 0.950212 AK
4τ 0.981684 AK
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
respuesta al escalón
AK
0.981684 AK
0.632120 AK
τ
4τ
t
Comentarios:
•La constante de tiempo ( τ ) es igual al tiempo que tarda la salida en
alcanza un 63.212% del valor final.
•Matemáticamente la salida alcanza su valor final en un tiempo infinito,
pero en el sistema real lo hace en tiempo finito. Para fines prácticos se
considera que la salida alcanza el estado estable en cierto porcentaje
del valor final. Se usan dos criterios: el del 98%(4τ ) y el del 99,3% (5τ )

7. Sistemas de primer orden
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada rampa de
magnitud A
La salida en Laplace es
b0
C ( s) =
R( s)
s + a0
A
R( s) = 2
s
Utilizando transformada inversa de Laplace
c(t ) = Ab0L
−1 

1
 2

 s ( s + a0 ) 
Se obtiene la salida en función del tiempo
c(t ) = AK (t − τ ) + AKτ e −a0t
r (t ) = At

8. Sistemas de primer orden
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Nota:
Es importante aclarar que la
entrada es de pendiente A,
mientras que la salida presenta
pendiente AK desfasada τ seg.
respuesta a la rampa
AKτ
AKt
En otras palabras siempre que la
ganancia en estado estable (K) del
sistema no sea igual a uno,
existirá un error en estado estable
infinito.
τ
error en
estado estable
c ( t ) = AK ( t − τ ) + AKτ e
τ
t
− a0 t

9. Sistemas de primer orden
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Con lo visto anteriormente se observa que es posible lo siguiente:
1. De la función de transferencia y conociendo la entrada, obtener la salida.
2. De una gráfica (o datos) de respuesta de salida obtener la función de
transferencia.
Ejercicio:
Un circuito RL tiene la siguiente función de transferencia.
1
I ( s)
L
=
V (s) s + R
L
Determinar la corriente i (t ) cuando se aplica una entrada escalón de 1volt
Desarrollo:
No se necesita usar fracciones parciales o transformada inversa, basta
normalizar la función de transferencia para visualizar la respuesta:

10. Sistemas de primer orden
1
I ( s)
R
=
V (s) L s + 1
R
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1 =K
R
L
R
Ganancia en estado
estable
=τ
Constante de tiempo
entonces directamente se obtiene la ecuación:
R
− t
1
i (t ) = (1 − e L )
R
1
R
L
R
L
2
R
L
3
R
L
4
R
t

11. Sistemas de primer orden
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ejercicio:
Una cautín se conecta a una alimentación de voltaje monofásica 127 volts.
Debe alcanzar una temperatura estable de 325°C y tarda 130 segundos en
alcanzar un 98% de ese valor. Determine la función de transferencia de
primer orden que represente mejor esta respuesta.
Desarrollo:
Se define la ganancia en estado estable:
Temperatura en estado estable 325
K=
=
= 2.559
Voltaje de entrada
127
Se determina la constante de tiempo:
Usando el criterio del 2% de error, se determina el tiempo que tarda la
salida en alcanzar un 98% de su valor, se divide entre 4 y se obtiene la
constante de tiempo.
τ=
130
= 32.5
4

12. Sistemas de primer orden
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
por último se sustituye en la forma:
G(s) =
K
τs + 1
La función de transferencia que relaciona la temperatura con el voltaje es
T ( s)
2.559
=
V ( s ) 32.5 s + 1
T ( s)
0.078738
=
V ( s ) s + 0.30769