1. CAPITULO 1:
SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS
REPASO e INTRODUCCIÓN

2. •• ¿QUÉ ES UNA SEÑAL?¿QUÉ ES UNA SEÑAL?
- Señales de Tiempo Continuo
- Señales de Tiempo Discreto
•• ¿QUÉ ES UN SISTEMA?¿QUÉ ES UN SISTEMA?
- Sistemas de Tiempo Continuo
- Sistemas de Tiempo Discreto
•• SISTEMAS LTI (LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO)SISTEMAS LTI (LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO)
- Linealidad y Homogeneidad
•• SEÑALES DISCRETASSEÑALES DISCRETAS
•• MUESTREO PERIODICO DE SEÑALES Y TEOREMA DEL MUESTREOMUESTREO PERIODICO DE SEÑALES Y TEOREMA DEL MUESTREO
•• ANÁLISIS DE SISTEMAS DISCRETOS LTIANÁLISIS DE SISTEMAS DISCRETOS LTI
•• CONVOLUCION EN SISTEMAS DISCRETOSCONVOLUCION EN SISTEMAS DISCRETOS
CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (REPASO)

3. ¿QUÉ ES UNA SEÑAL?
Representación de la variación de cualquier cantidad mesurable que porte
información sobre el comportamiento de un sistema.
Información:
Origen, Lugar, Hora, Magnitud del Terremoto
Tiempo
CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (REPASO)

4. Señales de Tiempo Continuo
La señal está definida solo para algunos
instantes de tiempo discretos.
X (t)
0
X [n]
0
La señal está definida en todo instante
de un intervalo de tiempo continuo.
Señales de Tiempo Discreto
t
n
CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (REPASO)

5. ¿QUÉ ES UN SISTEMA?
Conjunto de componentes que transforman una señal de entrada, dando
como resultado otra señal como salida.
SISTEMASISTEMA
Señal de Entrada:
x(t)
x[n]
Señal de Salida:
y(t)
y[n]
T
x[n] x[n-1]
+
x[n] + a
x[n]
a
X
k x[n]
x[n]
k
∑
Y[n] = a[n]+b[n]+c[n]
a[n]
c[n]
b[n]
Sistemas de Tiempo Continuo: Entrada y Salida son señales de tiempo continuo.
Sistemas de Tiempo Discreto: Entrada y Salida son señales de tiempo discreto.
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6. SISTEMAS LTI (Lineales e Invariantes en el Tiempo)
•• LinealidadLinealidad
Un sistema lineal se define como aquel que cumple el principio de superposición:
Si una entrada x1 origina una salida y1 y una entrada x2 origina una salida y2,
entonces un sistema es lineal si y solo si una entrada x1+x2 origina una salida y1+y2
SistemaSistema
x1 y1
SistemaSistema
x2 y2
SistemaSistema
LinealLineal
x1 + x2 y1 + y2
CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (REPASO)

7. SISTEMAS LTI (Lineales e Invariantes en el Tiempo)
 HomogeneidadHomogeneidad
Un sistema homogéneo cumple que:
Si una entrada x1 origina una salida y1, entonces la versión en escala de la entrada
ax1 producirá una salida a escala en forma similar: ay1
SistemaSistema
x1 y1 SistemaSistema
HomogéneoHomogéneo
ax1 ay1
Por lo tanto un sistema Lineal será siempre un sistema homogéneo
CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (REPASO)

8. SISTEMAS LTI (Lineales e Invariantes en el Tiempo)
•• Invariancia en el TiempoInvariancia en el Tiempo
Un sistema es invariante en el tiempo cuando sus propiedades no cambian con el
tiempo. Esto significa que:
Si una entrada x[n] origina una salida y[n], entonces la versión retardada de la entrada
x[n-k] producirá una salida retardada y[n-k] sin importar el valor de k.
x [n]
0
y [n]
0 n
y [n]
0 n
n
0 n
Sistema
x[n] y[n]
Sistema
Invariante
en el
Tiempo
x[n-k] y[n-k]
CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (REPASO)

9. SEÑALES DISCRETAS
De origen discreto como
Cuando la señal representa un fenómeno para el cual la variable independiente es
intrínsecamente discreta.
Ejemplos: Datos demográficos.
De origen continuo mediante muestreo de señales
Una clase muy importante de señales discretas surge del muestreo de señales
continuas. En este caso, la señal discreta x[n] representa muestras sucesivas de un
fenómeno subyacente para el cual la variable independiente es continua.
CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)

10. MUESTREO PERIÓDICO DE SEÑALES
La base del muestreo de señales es que una señal de tiempo continuo X(t)
puede representarse mediante una secuencia de muestras X[n] con valores
X(Nt).
Periodo de Muestreo (T): Tiempo entre dos muestras
Frecuencia de Muestreo:
X[n] = X(nT)
fs = 1/T
; n = 0, ±1, ±2, …
X (t)
0
X [n]
0
x[0]
x[1]
x[2]
x[3]
x[4]
x[5]
x[6]
x[7]
x[8]
x[9]
x[10]
x[11]
x[12]
x[13]
T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T … 1 2 3 4 5 6 7 8 …
Cuando se muestrea una señal, lo que se desea es una representación “completa”, lo cual implica
que la forma de onda de x(t) se pueda recuperar a partir de x[n] mediante un proceso conocido
como interpolación  Uniendo puntos mediante una curva suave
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11. Adecuada selección de la fs
• La adecuada selección de la fs al muestrear una señal es la que permitirá
recuperar la señal original.
• La fs adecuada dependerá de la señal a muestrear, según cuanto varíe la
señal original, es decir según sus componentes frecuenciales.
X (t)
0
X (t)
0
X (t)
0
X (t)
0
fs1 = 1/T1
fs2 = 1/T2
T1
T2
fs1 Adecuada
fs 2 Muy Baja!
“Error de Seudoconponentes”
CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)

12. TEOREMA DEL MUESTREO
Si una señal x(t)está limitada en ancho de banda con una frecuencia máxima: fmáx
Entonces, esta señal se puede recuperar exactamente a partir de una secuencia de
muestras uniformemente espaciadas siempre y cuando la frecuencia de muestreo sea
mayor o igual a 2fmáx muestras/segundo.
fs ≥ 2fmáx
• Esto significa que la componente de frecuencia más alta de una señal debe
muestrearse más de dos veces por ciclo si se desea recuperar la señal original
por interpolación.
• Generalmente se supone que, para propósitos prácticos, todas las
componentes significativas de una señal se encuentran dentro de su ancho de
banda y que las componentes con frecuencias superiores a la del ancho de
banda tienen valores despreciables.
CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)

13. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
T
x[n] X
1/2
X
-1/2
∑
y[n] = ½ x[n]+½ x[n-1]
Sistema No Recursivo
Sistema Recursivo
T
x[n]
X
∑
y[n] = x[n]+ α.y[n-1]
α
Y[n-1]
La salida se expresa sólo
en términos de la entrada
La salida no solo depende de la
entrada, son también de los
valores pasados de la salida
y[n] = a0.x[n] + a1.x[n-1] + … aN.x[n-N]
y[n] = a0.x[n] + a1.x[n-1] + … aN.x[n-N]
– b1.y[n-1] – b2.y[n-2]+ … – bM.y[n-M]
Ecuación de Recurrencia
Ecuación de Recurrencia
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14. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
Una manera de investigar el comportamiento de un sistema es observar su
respuesta a un señal de prueba a la entrada.
Aunque se puede escoger como entrada cualquier señal de prueba, por lo
general la selección se hará en base a:
1. El modelo de la señal de prueba debe ser matemáticamente simple de
manejar.
2. La señal de prueba debe constituir un componente básico a partir del
cual se puedan construir modelos de señal más complejos de una manera
directa.
Secuencia Muestra Unitaria ó Secuencia delta
δ[n] = 1, 0, 0, 0, 0, 0, …δ [n]
0
Si n = 0  δ[n] = 1
Si n ≠ 0  δ[n] = 0
δ[n]
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15. MUESTRA UNITARIA
La Secuencia Muestra Unitaria
Puede:
- Retardarse k periodos
- Modificarse su escala por un factor a
aδ [n-k]
0 … k
Si n = 0  δ[n] = a
Si n ≠ 0  δ[n] = 0
aδ[n-k]
x[n] = ( 3, 1, 2, -1, 0, 0, …) = (3, 0, 0, 0, …) + (0, 1, 0, 0, …) + (0, 0, 2, 0, …) + (0, 0, 0, -1, …)
x[n] = ( 3, 1, 2, -1, 0, 0, …) = 3δ [n] + δ [n-1] + 2δ [n-2] - δ [n-3]
x[n] = ( 3, 1, 2, -1, 0, 0, …) = x[0].δ [n] + x[1].δ [n-1] + x[2]. δ [n-2] - x[3]. δ [n-3]
x[n] = ( …, x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2], …) = ∑ x[k].δ [n-k]
∞
k= -∞
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Una Señal en función de la Muestra Unitaria

16. RESPUESTA A LA MUESTRA UNITARIA
Si la muestra unitaria δ [n] se toma como entrada en un sistema de tiempo discreto,
produciendo una secuencia de salida h[n]
δ [n]  h[n]
La secuencia h[n] se denomina respuesta a la muestra unitaria o
respuesta al impulso
Ejemplo:
Si un sistema de tiempo discreto está definido por la ecuación de recurrencia:
y[n] = x[n] +2x[n-1] + 3x[n-3]
¿Cuál es la repuesta a la muestra unitaria h[n] del procesador?
Solución:
Sabemos δ [n]  h[n]
Por lo que reemplazando la entrada x[n] por δ [n]  la salida y[n] será igual a h[n]
h[n] = δ[n] +2 δ[n-1] + 3 δ[n-3]
h[n] = 1, 2, 0, 3, 0, 0, …
CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)

17. RESPUESTA A LA MUESTRA UNITARIA
En General:
Para un sistema de tiempo discreto no recurrente, cuya ecuación de recurrencia es:
Sabemos δ [n]  h[n]
Por lo que reemplazando la entrada x[n] por δ [n]  la salida y[n] será igual a h[n]
h[n] = a0. δ[n] + a1. δ[n-1] + a2. δ[n-2] + … aN. δ[n-N]
h[n] = a0, a1, a2, … aN, 0, 0, …
y[n] = a0.x[n] + a1.x[n-1] + a2.x[n-2] + … aN.x[n-N]
La respuesta a la muestra unitaria es una característica fundamental de un
sistema lineal de tiempo discreto.
El conocimiento de la forma de la respuesta a la muestra unitaria de un
sistema dado permite calcular la repuesta del sistema a cualquier entrada
arbitraria.
Esto se puede demostrar usando las propiedades básicas de homogeneidad,
invariancia en el tiempo y superposición.
CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)

18. 1º Por Homogeneidad:
Si δ [n]  h[n] a.δ [n]  a.h[n]
2º Por Invariancia en el Tiempo:
Si a.δ [n]  a.h[n] a.δ [n-k]  a.h[n-k]
* Como una entrada en general se puede expresar como la suma de Muestras Unitarias:
3º Por Superposición: Si la entrada a un sistema está compuesta por la suma de componentes
individuales, entonces la respuesta global del sistema será igual a la suma de las respuestas de los
componentes individuales.
• …
• x[-1].δ [n+1]  x[-1].h [n+1]
• x[ 0].δ [n]  x[ 0].h [n]
• x[ 1].δ [n-1]  x[ 1].h [n-1]
• x[ 2].δ [n-2]  x[ 2].h [n-2]
• …
x[n] = ∑ x[k].δ [n-k]  y[n] = ∑ x[k].h[n-k]
x[n] = ( …, x[-1], x[0], x[1], x[2], …) = … + x[-1].δ [n+1] + x[0].δ [n] + x[1].δ [n-1] + x[2]. δ [n-2] + …
∞
k= -∞
∞
k= -∞
El conocimiento de la forma de la respuesta a
la muestra unitaria de un sistema dado
permite calcular la repuesta del sistema a
cualquier entrada arbitraria.
A este proceso se conoce como convolución y a la
expresión se le conoce como suma de convolución y se
representa como:
y[n] = x [n] * h[n] = ∑ x[k].h[n-k]
∞
k= -∞
CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)

19. Relación Entrada – Salida en Tiempo: CONVOLUCIÓN
• La secuencia de salida y[n] está relacionad con la entrada x[n] y la
respuesta a la muestra unitaria h[n] por la convolución de x[n] con h[n].
• La suma de convolución no suele ser una manera conveniente de tratar las
relaciones de entrada – salida en la mayoría de los casos. Ya que en la
práctica no sólo es imposible procesar secuencias infinitamente largas con
exactitud, sino que además, la suma de convolución hace más difícil intuir
el comportamiento dinámico de un procesador.
Una manera de evitar estas dificultades es utilizar:
La Transformada ZLa Transformada Z
SistemaSistema
h[n]h[n]
x[n] y[n]=x[n]*h[n]
CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)