Gauss Kanunu ElektoManyetizma

1. Gauss Kanunu
Kapalı bir yüzeyden geçen
elektrik akısı miktarı
zarflanan yükmiktarı ile
doğru orantılıdır.

2. Carl Friedrich Gauss 1777-1855
Yes it’s the same
guy that gave you
the Gaussian
distribution and …
To give you some
perspective he was born 50
years after Newton died
(1642-1727). Predicted the
time and place of the first
asteroid CERES (Dec. 31,
1801). Had the unit of
magnetic field named after
Ceres τ= 4.6 year , d=4.6 Au him and of course had
much to do with the
development of
mathematics

3. AKI

4. AKI ve “skaler çarpım”
Φ = ( v cos θ ) A
rr
=v⋅A

5. Akı’nın tanımı
• Herhangi bir yüzeyden geçen
toplam elektrik alan, madde veya
herhangi bir fiziksel nicelik miktarı
olarak tanımlanabilir.
• Yüzey alanı yüzeye dik olan bir
normal vektörü gibi tanımlanabilir
• Tanıma göre denklemimiz:
rr
∫ E ⋅dA
Φ=
surface

6. Elektrik Akı
• Yüzeyden geçen
elektrik alan
miktarıdır.
• Elektrik akı birimi
N-m2/C dir.
rr
Φ E = ∫ E ⋅ dA
A

7. E&M de Gauss Kanunu
• Bir yük dağılımının elektrik alanını
hesaplarken simetriyi kullanır
• Metod: E-alanı hesaplanırken hayali bir
alanın bazı yükleri zarfladığını farzedelim
• Yüzeyin şekli
“çok önemlidir”

8. Gauss kanununun KULLANIMI
• Yük dağılımının etrafında seçilecek
zarflama yüzeyi hem yük dağılımına benzer
hem de yakın olmalıdır …..
rr
Φ E = ∫ E ⋅ dA
A

9. Küresel koordinatlar
Δr → dr
rΔθ → rdθ
r sin θΔφ → r sin θdφ
• Yüzey integrali
sağda 2
S r = ∫∫ f (θ ,ϕ ) r sin θ dθdφ
(yeşil)
S

10. Noktasal bir yükü saran küresel bir yüzeyden
geçen akı
1q
∫∫ r ⋅ r r 2 sinθdθdφ
ΦE = ˆˆ
4πε0 r 2
surface
1q2
r sinθdθdφ (r ⋅ r )
ΦE = ∫ ˆˆ
4πεo r 2
rr
ΦE = ∫∫E⋅ dA
spherical
q
ΦE = ∫ sin θdθdφ
surface
4πε o
rr 1q
E(r ) = ˆ
r
∫∫
4πεo r 2
∫
!!! kısaca
surface

11. Noktasal bir yükü saran küresel bir
yüzeyden geçen akı
q
[− cos θ ]0 [φ ]
π 2π
ΦE =
4 πε o
0
q
[− 1 − (1)][2π − 0]
ΦE =
4πε o
q
q
∫ sin θdθdφ 4π
ΦE =
ΦE =
4πε o
4πε o
q
π 2π
q
ΦE =
∫ sin θdθ ∫ dφ
ΦE =
εo
4πε o 0 0

12. Gauss Kanunu
Kapalı bir yüzeyden geçen toplam akı o
yüzey tarafından çevrelenen yük miktarı
ile doğru orantılıdır.
rrq
Φ E = ∫ E ⋅ dA =
ε0
surface
Not: Alan vektörü yüzeyden dışarı doğru yönelir

13. Gauss Yüzeyi
Gauss kanununun uygulanabilmesi için kapalı,
hayali bir yüzeye ihtiyaç vardır.
Herbir yüzeydeki toplam akı nedir?

14. Gauss kanunu ile problem çözümü
1. Yük yoğunlukları –
Yük yoğunluklarını çizgisel, yüzeysel ve
hacimsel olarak tanımlamak kolaylık sağlar
2. Simetri ve koordinat sistemleri –
Seçilecek koordinat sistemi, yük dağılımının
simetrisini gösterebilecek şekilde olmalıdır.
Mesela, noktasal bir yükün akısını
hesaplarken küresel simetri sebebiyle
küresel koordinatları kullanırız.

15. Dikkat!!! Gauss kanunu ile problem
çözümü
3. Gauss kanunundan yararlanarak elektrik alanın
hesabı - Elektrik alan, herhangi bir Gauss
yüzeyinde sabit bir büyüklük ve doğrultuda olarak
gösterilebiliyorsa, problemlerinde alan hesabı için
Gauss kanununu kullanırız.
Aşağıdaki üç örneği ele alacak olursak:
(1) Yüklü, uzun ve doğrusal bir tel
(2) Yüklü, düz ve sonsuz büyüklükte olan ince levha
(3) Yüklü bir küre.

16. E-alan hesaplarında Gauss kanununun
uygulaması
• Küresel simetri
• Silindirik simetri
• Düzlemsel simetri

17. Örnek – Yüklü, uzun ve doğrusal tel
Şekil (b) problemin silindirik simetri problemi
olduğunu gösterir. Bu da bize problem çözümünde
silindirik koordinatların kullanılmasının uygun
olduğunu gösterir.
Dikkate alınacak üç yüzey vardır. Alt ve üst dairesel
yüzeylerin normal vektörleri z eksenine paraleldir
aynı zamandada elektrik alan vektörüne diktir,
böylece akıya katkıları sıfırdır.
O halde integralde değişkenimiz silindirin yüksekliği
olan l dir. Burada zarflanan yük, λl dir.

18. Örnek – Yüklü, uzun ve doğrusal tel
q
q
Φ=
Φ=
εo
ε o
λl
∫ E r ⋅ r d l rd φ
Φ= ˆˆ Er l 2π =
εo
2π
+l/2
∫ ∫ dφ
= Er dl or
−l/2
λ
0
E (r ) =
= Er l 2 π !!!!!
2πε o r
Elektrik alanın açısal bir simetriye sahip
olması sebebiyle, elektrik alanın sabit bir r
uzaklığında sabit bir büyüklüğü vardır.
λ
r
E= ˆ
r
2πrε o

19. Diğer yük dağılımı geometrileri
Düzgün yüklenmiş dielektrik
Düzgün yüklenmiş dielektrik
(yalıtkan) sonsuz düzlem
(yalıtkan) küre
ρa 3 σ
ρ
Er >a = E=
=
Er <a r 2
3ε o 2ε o
3ε o r
Bu sonuçları ispatlayabilirmisiniz?

20. Gauss kanunu: Yalıtkan ve yüklü bir yüzeyin
yakınındaki elektrik alanın hesabı
rrq
∫∫ E ⋅ dA =εo
q
EA =
εo
σA
EA =
εo
σ
E=
εo
bir yuzeyin etkisi,
σ
E=
2ε o

21. Gauss Kanununu Sonuçları
1. Sadece kapalı bir yüzeyde zarflanan yükler
yüzeyde bir akı oluşumu sağlarlar.
2. Yüzeydeki toplam akı, bu yüzey tarafından
zarflanan toplam yük miktarı ile doğru
orantılıdır.

22. Gauss Kanununu Sonuçları
3. Gauss yüzeyi problemi Gauss kanunu
kullanarak çözmek için hayali bir yüzeydir
4. Gauss kanunu yük dağılımlarının, yüksek
simetriye sahip oldukları durumlarda, elektrik
alan hesapları için kullanılabilir

23. Sonuç: Gauss kanunu
ve iletkenler
5. Elektrostatik olarak
yüklenmiş bir iletkenin içine
Gauss kanunu uygulanırsa,
iletkenin içinde elektrik alan
daima sıfırdır
6. İletken üzerindeki herhangi
bir net yük daima iletkenin
yüzeyinde konuşlanır, nasıl?

24. Kabuk Teoremleri:
İletkenler
1) Düzgün yüklenmiş iletken bir
kabuk sanki bütün yükler kabuğun
1 q
merkezinde toplanmış gibi r
E= ˆ
r
davranarak kabuğun dışındaki bir
4πεo r 2
yükü iter yada çekerler.
2) Eğer yüklü parçacık iletken ve
yüklü kabuğun iç kısmına
r
koyulursa bu yüklü parçacığa
E=0
hiçbir elektriksel kuvvet etkimez.

25. İletken bir yüzeydeki elektrik alan yüzeye diktir ve yüzeysel
yük yoğunluğu ile doğru orantılıdır.
rrq
∫∫ E ⋅ dA =
Net yük daima iletkenin dış yüzeyinde εo
konuşlanır.
q
E ∫∫ dA =
Yüzey küresel olmadığı sürece, yük εo
yoğunluğu σ (birim alan başına düşen
q
yük) değişir EA =
εo
İletken bir yüzeyin hemen dışında bir
σA
EA =
noktadaki elektrik alanı Gauss
εo
kanununu kullanarak hesaplamak
σ
çok daha kolaydır E⊥ =
εo