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- 3. 1.解きたい問題は何か？ 離散変数の最適化問題は、全数検査が基本 2 〇離散変数の最適化問題 各変数𝒙𝒊が有限個の離散値{𝒂 𝟏, … , 𝒂 𝑵}をとるとき、𝒎変数関数 𝒇(𝒙 𝟏, … , 𝒙 𝒎)を最大化する問題 𝑱 = 𝒇 𝒙 𝟏, … , 𝒙 𝒎 → 𝒎𝒂𝒙 〇全数検査 𝒎個の変数𝒙𝒊(𝒊 = 𝟏, … , 𝒎)に対して、とりうるすべての値の組 み合わせ(𝑵 𝒎個)を考え、𝒇()を最大にする組合せを探索する。 ⇒一般的に計算量が膨大となる。できれば避けたい。
- 4. 1.解きたい問題は何か？ 全数検査を避けられる問題=多段階決定問題 3 〇多段階決定問題 全数検査を回避できるのは、関数𝒇が以下の形のとき。 𝑱 = 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + … + 𝒉 𝒎−𝟏(𝒙 𝒎−𝟏, 𝒙 𝒎) 〇どう見るか？ 変数𝒙𝒊を選ぶこと=何らかの「決定」(ex.企業iにいくら投資？) ⇒まず、𝒙 𝟏を選ぶことで、その利益が𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 として得られる。 ⇒選んだ𝒙 𝟏に加え、𝒙 𝟐を選び利益𝒉 𝟏(𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐)を得る。 ⇒選んだ𝒙𝒊に加え、𝒙𝒊+𝟏を選び利益𝒉𝒊(𝒙𝒊, 𝒙𝒊+𝟏)を得る。 …利益の総和が最大になるように各段階で決定を下す問題
- 6. 2.具体例を通じた解法 簡単のため、変数の数𝒎が４の場合で説明 5 〇変数の数が4の場合の多段階決定問題 𝑱 = 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑(𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒) f(x1) x1=0 x1=1 x1=2 2 1 3 h1(x1,x2) h1 x2=1 x2=2 x2=3 x1=0 3 5 1 x1=1 1 0 7 x1=2 3 0 0 h2(x2,x3) h2 x3=-1 x3=0 x3=1 x2=1 1 7 1 x2=2 1 1 3 x2=3 5 6 1 h3(x3,x4) h3 x4=1 x4=2 x4=3 x3=-1 7 9 8 x3=0 2 3 6 x3=1 5 4 1 教科書p219と同じ関数
- 7. 2.具体例を通じた解法 素朴に考えれば、貪欲法で良いのではないか。 6 𝑱 = 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 → 𝒎𝒂𝒙 〇貪欲法(グリーディー法) 各段階の関数だけをみて、それを最適化させる。 1.𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 が最大になる𝒙 𝟏を選ぶ 2.その𝒙 𝟏に対し、𝒉 𝟏 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 が最大になる𝒙 𝟐を選ぶ 3.その𝒙 𝟐に対し、𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 が最大になる𝒙 𝟑を選ぶ 2.その𝒙 𝟑に対し、𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 が最大になる𝒙 𝟒を選ぶ ⇒最適解？？？
- 8. 2.具体例を通じた解法 貪欲法だと、うまくいかない 7 𝑱 = 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 → 𝒎𝒂𝒙 貪欲法による解=19(𝑥1 = 3, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = 0, 𝑥4 = 3) ⇒しかし、𝐽は21(𝑥1 = 1, 𝑥2 = 3, 𝑥3 = −1, 𝑥4 = 2)なども取れる！！ ⇒最初の方の関数の最適化を考えるあまり、後の関数の大きな値を逃す。
- 9. 2.具体例を通じた解法 各段階のみを見るのではなく、次の段階も考える 8 𝑱 = 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 → 𝒎𝒂𝒙 〇動的計画法 各段階の関数だけをみて、それを最適化させる。 ⇒これだとうまくいかない ⇒次の段階の関数までみないと、本当に最適な値は決まらない。 例えば、𝒙 𝟏の最適化を考える際、𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 のみを考えるのではな く、𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏(𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐)を考える。これは、𝒙 𝟐のとりうる値一 つずつに対して、𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟏 [𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏(𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐)]とすればよい。
- 10. 2.具体例を通じた解法 各段階について、「次の関数」を考える 9 〇動的計画法 𝒙 𝟏の最適化を考える際、 𝒙 𝟐のとりうる値一つずつに対して、 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟏 [𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏(𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐)]とすればよい。 ⇒𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 = 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟏 [𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏(𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐)]とおく。 ⇒𝑱 = 𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 ⇒もとの関数と同じ形で、変数が一つ減ってる！！！ 同様に… 𝒇 𝟑 𝒙 𝟑 = 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟐 [𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟑(𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑)] 𝒇 𝟒 𝒙 𝟒 = 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟑 [𝒇 𝟑 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑(𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒)] と置けば、𝑱 = 𝒇 𝟒 𝒙 𝟒 となり、一変数関数の最適化となる。
- 11. 2.具体例を通じた解法 例題8.1の最適化問題を動的計画法で 10 𝑱 = 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 𝑱の最大値と、その最大値を与える変数の組を求める。 〇動的計画法による最適化 Step1-3.各段階で「次の関数を考え」、以下を得る。(𝒊 = 𝟐, 𝟑, 𝟒) 𝒇𝒊 𝒙𝒊 = 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝒊−𝟏 [𝒇 𝒙 𝒊−𝟏 𝒙𝒊−𝟏 + 𝒉 𝒙 𝒊−𝟏 𝒙𝒊−𝟏, 𝒙𝒊 ] 𝒙𝒊−𝟏 ′ 𝒙𝒊 = 𝒂𝒓𝒈𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝒊−𝟏 [𝒇 𝒙 𝒊−𝟏 𝒙𝒊−𝟏 + 𝒉 𝒙 𝒊−𝟏 (𝒙𝒊−𝟏, 𝒙𝒊)] Step4.𝑱 = 𝒇 𝟒 𝒙 𝟒 から、最大値とそれを実現する𝒙 𝟒を求める。 Step5.計算しておいた𝒙𝒊−𝟏 ′ (𝒙𝒊)から𝒙 𝟑, 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟏を求める。
- 12. 2.具体例を通じた解法 𝒙 𝟐を固定して、𝒙 𝟏の最適値を探索する。 11 〇Step1. 𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 = 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟏 [𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏(𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐)] 𝒙 𝟏 ′ 𝒙 𝟐 = 𝒂𝒓𝒈𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟏 [𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏(𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐)] f(x1) x1=0 x1=1 x1=2 2 1 3 h1(x1,x2) h1 x2=1 x2=2 x2=3 x1=0 3 5 1 x1=1 1 0 7 x1=2 3 0 0 f1(x1)+ h1(x1,x2) f1+h1 x2=1 x2=2 x2=3 x1=0 3+2 5+2 1+2 x1=1 1+1 0+1 7+1 x1=2 3+3 0+3 0+3 x2=1 x2=2 x2=3 f2(x2) 6 7 8 x'1(x2) 2 0 1 このとき、もとの式は。。。 𝑱 = 𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 ⇒もっと簡単に！
- 13. 2.具体例を通じた解法 𝒙 𝟑を固定して、𝒙 𝟐の最適値を探索する。 12 〇Step2. 𝒇 𝟑 𝒙 𝟑 = 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟐 [𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐(𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑)] 𝒙 𝟐 ′ 𝒙 𝟑 = 𝒂𝒓𝒈𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟐 [𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐(𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑)] f(x2) x2=1 x2=2 x2=3 6 7 8 h2(x2,x3) h2 x3=-1 x3=0 x3=1 x2=1 1 7 1 x2=2 1 1 3 x2=3 5 6 1 f2(x2)+ h2(x2,x3) f1+h1 x3=-1 x3=0 X3=1 x2=1 1+6 7+6 1+6 x2=2 1+7 1+7 3+7 x2=3 5+8 6+8 1+8 x3=-1 x3=0 x3=1 f3(x3) 13 14 10 x’2(x3) 3 3 2 このとき、もとの式は。。。 𝑱 = 𝒇 𝟑 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 ⇒もっと簡単に！
- 14. 2.具体例を通じた解法 𝒙 𝟒を固定して、𝒙 𝟑の最適値を探索する 13 〇Step3. 𝒇 𝟒 𝒙 𝟒 = 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟑 𝒇 𝟑 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 ′ 𝒙 𝟒 = 𝒂𝒓𝒈𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟏 [𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏(𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐)] f3(x3) x3=-1 x3=0 x3=1 13 14 10 h3(x3,x4) h3 x4=1 x4=2 x4=3 x3=-1 7 9 8 x3=0 2 3 6 x3=1 5 4 1 f3(x3)+ h3(x3,x4) f3+h3 x4=1 x4=2 x4=3 x3=-1 7+13 9+13 8+13 x3=0 2+14 3+14 6+14 x3=1 5+10 4+10 1+10 x4=1 x4=2 x4=3 f4(x4) 20 22 20 x’3(x4) -1 -1 0 このとき、もとの式は。。。 𝑱 = 𝒇 𝟒 𝒙 𝟒 ⇒この最適化は簡単！
- 15. 2.具体例を通じた解法 簡単になった目的関数𝑱を最大化する 14 𝑱 = 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 𝑱 = 𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 𝑱 = 𝒇 𝟑 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 𝑱 = 𝒇 𝟒 𝒙 𝟒 Step1. Step2. Step3. x2=1x2=2x2=3 f2(x2) 6 7 8 x'1(x2) 2 0 1 x3=-1 x3=0 x3=1 f3(x3) 13 14 10 x’2(x3) 3 3 2 x4=1 x4=2 x4=3 f4(x4) 20 22 20 x’3(x4) -1 -1 0 Step4. 𝑱の最大値は22.このとき、𝒙 𝟒 = 𝟐
- 16. 2.具体例を通じた解法 計算しておいた𝒙′ 𝒊−𝟏(𝒙𝒊)から、𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑を得る。 15 𝑱 = 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 𝑱 = 𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 𝑱 = 𝒇 𝟑 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 𝑱 = 𝒇 𝟒 𝒙 𝟒 Step1. Step2. Step3. x2=1x2=2x2=3 f2(x2) 6 7 8 x'1(x2) 2 0 1 x3=-1 x3=0 x3=1 f3(x3) 13 14 10 x’2(x3) 3 3 2 x4=1 x4=2 x4=3 f4(x4) 20 22 20 x’3(x4) -1 -1 0 Step4. 𝑱の最大値は22.このとき、𝒙 𝟒 = 𝟐 Step5. 𝒙 𝟑 = −𝟏, 𝒙 𝟐 = 𝟑, 𝒙 𝟏 = 𝟏
- 17. 2.動的計画法の一般形 一般⇒行きと帰りが長くなるだけで、具体例と一緒 16 𝑱 = 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + … + 𝒉 𝒎−𝟏(𝒙 𝒎−𝟏, 𝒙 𝒎) 𝑱 = 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 +𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 Step1-3.各段階で「次の関数を考え」、以下を得る。 (𝒊 = 𝟐, 𝟑, 𝟒) 𝒇𝒊 𝒙𝒊 = 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝒊−𝟏 [𝒇 𝒙 𝒊−𝟏 𝒙𝒊−𝟏 + 𝒉 𝒙 𝒊−𝟏 𝒙𝒊−𝟏, 𝒙𝒊 ] 𝒙𝒊−𝟏 ′ 𝒙𝒊 = 𝒂𝒓𝒈𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝒊−𝟏 [𝒇 𝒙 𝒊−𝟏 𝒙𝒊−𝟏 + 𝒉 𝒙 𝒊−𝟏 (𝒙𝒊−𝟏, 𝒙𝒊)] Step4.𝑱 = 𝒇 𝟒 𝒙 𝟒 から、最大値とそれを実現する𝒙 𝟒を 求める。 Step5.計算しておいた 𝒙𝒊−𝟏 ′ (𝒙𝒊)から 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟏 を求める。 Procedure 𝑫𝑷 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 , 𝒉𝒊 𝒙, 𝒚 𝒊=𝟏 𝒏 1.𝒊 = 𝟏, … , 𝒏 − 𝟏 に対して、以下を計算 𝒇𝒊+𝟏 𝒙𝒊+𝟏 = 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝒊 [𝒇 𝒙 𝒊 𝒙𝒊 + 𝒉 𝒙 𝒊 𝒙𝒊, 𝒙𝒊+𝟏 ] 𝒙𝒊 ′ 𝒙𝒊+𝟏 = 𝒂𝒓𝒈𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝒊 [𝒇 𝒙 𝒊 𝒙𝒊 + 𝒉 𝒙 𝒊 (𝒙𝒊, 𝒙𝒊+𝟏)] 数表の形で保存 2.𝒇 𝒏(𝒙 𝒏) を最大にする𝒙 𝒏の値𝒙 𝒏 ∗ を探索し、その最大 値を𝑱∗ = 𝒇 𝒏(𝒙 𝒏 ∗ )とする。 3.𝒊 = 𝒏 − 𝟏, . . , 𝟏に対して、𝒙𝒊 ∗ = 𝒙𝒊 ′ (𝒙𝒊+𝟏 ∗ )を計算 4.(𝒙 𝟏 ∗ , … , 𝒙 𝒏 ∗ )および𝑱∗ を返す。
- 19. 3.動的計画法の特徴 動的計画法性質①：再帰原理 18 𝑱 = 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 𝑱 = 𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 𝑱 = 𝒇 𝟑 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 𝑱 = 𝒇 𝟒 𝒙 𝟒 Step1. Step2. Step3. ⇒ステップを踏むごとに、同じ形をもったより小さい問題に帰着できている！
- 20. 3.動的計画法の特徴 動的計画法の性質②：数表としての保存 19 𝑱 = 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 Step1. Step2. Step3. x2=1 x2=2 x2=3 f2(x2) 6 7 8 x'1(x2) 2 0 1 x3=-1 x3=0 x3=1 f3(x3) 13 14 10 x’2(x3) 3 3 2 x4=1 x4=2 x4=3 f4(x4) 20 22 20 x’3(x4) -1 -1 0 ⇒各段階の関数を計算するときに前の計算結果を再利用できる ⇒𝒙 𝟑の最適化で、𝒙 𝟏のことを考えなくていい。𝒇 𝟐(𝒙 𝟐)に入ってる。 ⇒計算量の削減(全数検査：𝑶 𝑵 𝒎 ⇒ 動的計画法：𝑶(𝒎𝑵 𝟐 )) 𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 = 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟏 [𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏(𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐)] 𝒇 𝟑 𝒙 𝟑 = 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟐 [𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐(𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑)] 𝒇 𝟒 𝒙 𝟒 = 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟑 𝒇 𝟑 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒
- 21. 3.動的計画法の特徴 動的計画法の性質③：最適経路問題としての解釈 20 0 1 2 1 2 3 -1 1 0S G 1 2 3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ・各変数の実現値をノードとし、SからGまでノードをたどる。 ・各経路の評価が、教科書p219の𝑱で与えられているとする。 ・このとき𝑱を最大にする、ノードのたどり方を考える＝最適経路問題 2 1 3 𝑓1(𝑥1)
- 22. 3.動的計画法の特徴 最適経路問題:Step1.との対応 21 0 1 2 1 2 3 -1 1 0S G 1 2 3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 = 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟏 [𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 ] 𝒙 𝟐の各ノードについて、 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒉 𝟏 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 を最大化させるエッジを書きこむ 2 1 3 𝑓1(𝑥1) 7 8 6 x2=1 x2=2 x2=3 f2(x2) 6 7 8 x'1(x2) 2 0 1 𝑓2(𝑥2)
- 23. 3.動的計画法の特徴 最適経路問題:Step2.との対応 22 0 1 2 1 2 3 -1 1 0S G 1 2 3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝒇 𝟑 𝒙 𝟑 = 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟐 𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 の各ノードについて、𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑 を最大化させるエッジを書きこむ 2 1 3 𝑓1(𝑥1) 7 8 6 x3=-1x3=0 x3=1 f3(x3) 13 14 10 x’2(x3) 3 3 2 𝑓2(𝑥2) 13 14 10 𝑓3(𝑥3)
- 24. 3.動的計画法の特徴 最適経路問題:Step3.との対応 23 0 1 2 1 2 3 -1 1 0S G 1 2 3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝒇 𝟒 𝒙 𝟒 = 𝒎𝒂𝒙 𝒙 𝟑 𝒇 𝟑 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 𝒙 𝟒 の各ノードについて、𝒇 𝟑 𝒙 𝟑 + 𝒉 𝟑 𝒙 𝟑, 𝒙 𝟒 を最大化させるエッジを書きこむ 2 1 3 𝑓1(𝑥1) 7 8 6 x4=1 x4=2 x4=3 f4(x4) 20 22 20 x’3(x4) -1 -1 0 𝑓2(𝑥2) 13 14 10 𝑓3(𝑥3) 20 22 20 𝑓4(𝑥4)
- 25. 3.動的計画法の特徴 最適経路問題:Step4.との対応 24 0 1 2 1 2 3 -1 1 0S G 1 2 3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑱 = 𝒇 𝟒 𝒙 𝟒 を最大化させる𝒙 𝟒及び最大値𝑱∗ を決定。 ⇒𝒙 𝟒 = 𝟐, 𝑱∗ = 𝟐𝟐となる。 2 1 3 𝑓1(𝑥1) 7 8 6 x4=1 x4=2 x4=3 f4(x4) 20 22 20 x’3(x4) -1 -1 0 𝑓2(𝑥2) 13 14 10 𝑓3(𝑥3) 20 22 20 𝑓4(𝑥4)
- 26. 3.動的計画法の特徴 最適経路問題:Step5.との対応 25 0 1 2 1 2 3 -1 1 0S G 1 2 3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ⇒𝒙 𝟒が決まったので、そのもとでの𝒙 𝟑が決まり、同様に、𝒙 𝟐, 𝒙 𝟏が決まる。 ⇒来た道を逆順にたどっていくイメージ 2 1 3 𝑓1(𝑥1) 7 8 6 x4=1 x4=2 x4=3 f4(x4) 20 22 20 x’3(x4) -1 -1 0 𝑓2(𝑥2) 13 14 10 𝑓3(𝑥3) 20 22 20 𝑓4(𝑥4)
- 27. 3.動的計画法の特徴 最適経路問題:最適性原理 26 0 1 2 1 2 3 -1 1 0S G 1 2 3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 最適性原理：どの部分解も部分問題の最適解となっていること 上図であれば、𝒙 𝟑 = −𝟏, 𝟎, 𝟏がゴールであるときの最適経路が示されている。 2 1 3 𝑓1(𝑥1) 7 8 6 x3=-1x3=0 x3=1 f3(x3) 13 14 10 x’2(x3) 3 3 2 𝑓2(𝑥2) 13 14 10 𝑓3(𝑥3)