第７回日曜数学会の発表スライドです。 https://www.facebook.com/events/858311494303516/ 発表の様子はこちら http://www.nicovideo.jp/watch/sm29957704

1. トーナメントは運か実力か
福原和朗 (@kazurof)
第7回 日曜数学会
2016-10-01
1

2. 自己紹介
• 福原和朗 @kazurof
• twitter, Qiita, github などやってます。
• 所属
• GMO リサーチ
• アンケートシステムの開発保守
2

3. トーナメント戦
• 実力上位の人が勝ち上がる。
• 運が良い人も勝ち上がる。
• 運悪く初戦敗退もある。
31 2 4 3 7 8 5 6

4. 運と実力どちらが重要か？
調べてみました。
4

5. 前提条件
• 参加者 2n (n = 1, 2, 3, … ) 人のトーナメ
ントを考える。
• 2, 4, 8, 16, …
• n 回勝ったら優勝という意味。
• 各参加者は番号で区別
• 1, 2, 3, …
• 試合結果は番号が小さいほうが勝つ。
• それぞれの試合に運要素無し。
• 右側左側は区別しない。 5
1 2

6. 手順
• 調べ方
1. 全てのトーナメント組み合わせを列挙
2. トーナメント実行
3. 結果の順位の分布をとる
• 出したい結果
• a 人中実力 b 位の人が c 回戦を勝つ確率 d %
6

7. トーナメント表の場合の数は？
7
全体的な規模感をつかんでいただければ…

8. n = 1
• 1 回勝てば優勝、参加人数２人の場合
• 組み合わせ： 1 通り
8
1 2

9. n = 2
• 2 回勝てば優勝、参加人数4人の場合
• 組み合わせ： 3通り
91 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3

10. 計算で出せないか？
• n=2 のときは 4! ではない。
• 試合の左右は区別しない
• 4! を 23 で割った数に等しい
• １試合ごとに場合の数が半分に
なる ＝＞２で割る。
• 3は全試合数
•
10
1 2 3 4
4 × 3 × 2 × 1
2 × 2 × 2
=
4 × 3 × 2 × 1
2 × 2 × 2
= 3

11. n = 3
• 3 回勝てば優勝、参加人数8人の場合
• 組み合わせ： 315通り
• 全部は描けません
• 8! / 27 に等しい。
11
1 4 6 7 3 2 5 8

12. n = 4
• 4 回勝てば優勝、参加人数16人の場合
– 組み合わせ： 6,3851,2875通り
• 16! / 215 に等しい。
121 9 4 6 14 16 7 13 3 10 15 2 12 5 11 8

13. n = 5
• 5 回勝てば優勝、参加人数32人の場合
• 組み合わせ： 122𥝱（じょ）
• 122,5298,4425,6906,5513,8679,6875通り
• 32! / 231 に等しい。
13

14. 一般項はこうだ！（未証明）
• 一般項
• 漸化式
• 割り算しないのでプログラムでも安心 14
𝑓(𝑛)= (2 𝑛)!
2(2 𝑛 −1)
𝑓 1 = 1
𝑓 𝑛 = 2 𝑛
− 1 ‼ × 𝑓(𝑛 − 1)

15. どんな結果になった？
15
n = 4 の場合（5の場合なんて無理です orz）

16. 結果 (n=4)
person win 0 win1 win2 win3 win4 sum
1 0 0 0 0 638512875 638512875
2 42567525 85135050 170270100 340540200 0 638512875
3 85135050 152026875 231080850 170270100 0 638512875
4 127702575 202078800 230145300 78586200 0 638512875
5 170270100 236694150 198804375 32744250 0 638512875
6 212837625 257276250 156492000 11907000 0 638512875
7 255405150 265228425 114307200 3572100 0 638512875
8 297972675 261954000 77792400 793800 0 638512875
9 340540200 248856300 49017150 99225 0 638512875
10 383107725 227338650 28066500 0 0 638512875
11 425675250 198804375 14033250 0 0 638512875
12 468242775 164656800 5613300 0 0 638512875
13 510810300 126299250 1403325 0 0 638512875
14 553377825 85135050 0 0 0 638512875
15 595945350 42567525 0 0 0 638512875
16 638512875 0 0 0 0 63851287516

17. グラフ化してみた
17
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
win 0 win1 win2 win3 win4

18. 解釈
18
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
win 0 win1 win2 win3 win4
運が良ければ
期待値以上
そもそも期待値が低い
運次第で上下に振れる
悪評価 or 順当安定

19. 16人トーナメントでの分布は
わかった
19
32以上でも大体同じ傾向だと思われる。

20. 一般化できないか？
20
一般化、したくなりますよね！

21. 一般化
• もっと統計を取って調べたいが…
• n = 5 だと122 𥝱（じょ）
• 122,5298,4425,6906,5513,8679,6875通り
• n = 4, (16人)が現実的な計算の限界。
• すごい計算機なら、 n = 5 ぐらいはできる？
21

22. 元データを眺めてみる
person win 0 win1 win2 win3 win4 sum
1 0 0 0 0 638512875 638512875
2 42567525 85135050 170270100 340540200 0 638512875
3 85135050 152026875 231080850 170270100 0 638512875
4 127702575 202078800 230145300 78586200 0 638512875
5 170270100 236694150 198804375 32744250 0 638512875
6 212837625 257276250 156492000 11907000 0 638512875
7 255405150 265228425 114307200 3572100 0 638512875
8 297972675 261954000 77792400 793800 0 638512875
9 340540200 248856300 49017150 99225 0 638512875
10 383107725 227338650 28066500 0 0 638512875
11 425675250 198804375 14033250 0 0 638512875
12 468242775 164656800 5613300 0 0 638512875
13 510810300 126299250 1403325 0 0 638512875
14 553377825 85135050 0 0 0 638512875
15 595945350 42567525 0 0 0 638512875
16 638512875 0 0 0 0 63851287522

23. win1列を詳しく見てみる
23
person win1
1 0
2 2 / 3x5
3 5 / 3x7
4 2x2x2x2x3x3 / 5x7x13
5 2x11x23 / 3x5x7x13
6 2x5x11 / 3x7x13
7 3x3x3 / 5x13
8 2x2x2x2 / 3x13
9 2x2x19 / 3x5x13
10 2x3x3x3x3 / 5x7x13
11 5x17 / 3x7x13
12 2x2x2x2x2x11 / 3x5x7x13
13 2x3x3 / 7x13
14 2 / 3x5
15 1 / 3x5
16 0
person win1 sum
1 0 638512875
2 85135050 638512875
3 152026875 638512875
4 202078800 638512875
5 236694150 638512875
6 257276250 638512875
7 265228425 638512875
8 261954000 638512875
9 248856300 638512875
10 227338650 638512875
11 198804375 638512875
12 164656800 638512875
13 126299250 638512875
14 85135050 638512875
15 42567525 638512875
16 0 638512875
分数と見立てて約分
分子分母を因数分解
win1 と
sum を取
り出す

24. win1列を詳しく (2)
24
person win1 比
1 0
2 2 / 3x5 2x7 / 5x5
3 5 / 3x7 5x5x13 / 2x2x2x2x3x3x3
4 2x2x2x2x3x3 / 5x7x13 2x2x2x3x3x3 /11x 23
5 2x11x23 / 3x5x7x13 23 / 5x5
6 2x5x11 / 3x7x13 2x5x11x5 / 3x3x3x3x7
7 3x3x3 / 5x13 3x3x3x3 / 2x2x2x2x5
8 2x2x2x2 / 3x13 2x2x5 / 19
9 2x2x19 / 3x5x13 2x19x7 / 3x3x3x3x3
10 2x3x3x3x3 / 5x7x13 2x3x3x3x3x3 / 5x5x17
11 5x17 / 3x7x13 5x5x17 / 2x2x2x2x2x11
12 2x2x2x2x2x11 / 3x5x7x13 2x2x2x2x11 / 3x3x3x5
13 2x3x3 / 7x13 3x3x3x5 / 7x13
14 2 / 3x5 2
15 1 / 3x5
16 0
上段の数と下段の数の
比を計算してみた。

25. win1列を (3)
25
person win1 比 比を修正
1 0 0 0
2 2 / 3x5 2x7 / 5x5 14 x 26 x 1 / 25 x 13 x 2
3 5 / 3x7 5x5x13 / 2x2x2x2x3x3x3 13 x 25 x 2 / 24 x 12 x 3
4 2x2x2x2x3x3 / 5x7x13 2x2x2x3x3x3 /11x 23 12 x 24 x 3 / 23 x 11 x 4
5 2x11x23 / 3x5x7x13 23 / 5x5 11 x 23 x 4 / 22 x 10 x 5
6 2x5x11 / 3x7x13 2x5x11x5 / 3x3x3x3x7 10 x 22 x 5 / 21 x 9 x 6
7 3x3x3 / 5x13 3x3x3x3 / 2x2x2x2x5 9 x 21 x 6 / 20 x 8 x 7
8 2x2x2x2 / 3x13 2x2x5 / 19 8 x 20 x 7 / 19 x 7 x 8
9 2x2x19 / 3x5x13 2x19x7 / 3x3x3x3x3 7 x 19 x 8 / 18 x 6 x 9
10 2x3x3x3x3 / 5x7x13 2x3x3x3x3x3 / 5x5x17 6 x 18 x 9 / 17 x 5 x 10
11 5x17 / 3x7x13 5x5x17 / 2x2x2x2x2x11 5 x 17 x 10 / 16 x 4 x 11
12 2x2x2x2x2x11 / 3x5x7x13 2x2x2x2x11 / 3x3x3x5 4 x 16 x 11 / 15 x 3 x 12
13 2x3x3 / 7x13 3x3x3 x5 / 7x 13 3 x 15 x 12 / 14 x 2 x 13
14 2 / 3x5 2 2 x 14 x 13 / 13 x 1 x 14
15 1 / 3x5
16 0
比をいじってみた。

26. 26
person 比を修正
1 0
2 14 x 26 x 1 / 25 x 13 x 2
3 13 x 25 x 2 / 24 x 12 x 3
4 12 x 24 x 3 / 23 x 11 x 4
5 11 x 23 x 4 / 22 x 10 x 5
6 10 x 22 x 5 / 21 x 9 x 6
7 9 x 21 x 6 / 20 x 8 x 7
8 8 x 20 x 7 / 19 x 7 x 8
9 7 x 19 x 8 / 18 x 6 x 9
10 6 x 18 x 9 / 17 x 5 x 10
11 5 x 17 x 10 / 16 x 4 x 11
12 4 x 16 x 11 / 15 x 3 x 12
13 3 x 15 x 12 / 14 x 2 x 13
14 2 x 14 x 13 / 13 x 1 x 14
揃ってる！

27. この調子で一般化できる？
27

28. 残念！
28
win2 列はきれいに収まりませんでした… orz

29. まとめ
• 16人トーナメントで調べてみた。
• 実力下位の人はラッキーなら期待値以上
• 実力上位の人は運要素で上下に振れる
• ２位の人は運ゲー。
• １位の人が全部持っていく。
• 勝数分布には規則性ありそう
• 類題知ってる人おしえて！
29

30. おまけ
• 今回の検証に使ったソースはこちら
• https://github.com/kazurof/tournament
30

31. トーナメントは運か実力か
福原和朗 (@kazurof )
第7回 日曜数学会
2016-10-01
31
ご清聴ありがとうございました