Este documento presenta la unidad 1 de álgebra lineal sobre números complejos. Introduce la definición y origen de los números complejos, las operaciones básicas con ellos, el módulo y forma polar y exponencial. También cubre potencias de la unidad imaginaria i, teorema de Moivre y extracción de raíces. Por último, explica brevemente las ecuaciones polinómicas y cómo resolver ecuaciones de primero hasta cuarto grado. El documento contiene ejemplos y ejercicios para cada sección.
SELECCIÓN DE LA MUESTRA Y MUESTREO EN INVESTIGACIÓN CUALITATIVA.pdf
UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS
1. UNIDAD 1
INSTITUTO TECNOLOGICO
1
DE LAZARO CARDENAS
ALGEBRA LINEAL
INVESTIGACION UNIDAD I
(NUMEROS COMPLEJOS)
NOMBRE DEL ALUMNO(A)
APELLIDO
PATERNO
APELLIDO
MATERNO
NOMBRE(S)
Díaz
Martínez
Katia
SEMESTRE: ENERO-JUNIO 2013
CARRERA: Ing. En sistemas computacionales
GRUPO: 21T
FECHA DE ENTREGA: 8 de febrero del 2013
2. UNIDAD 1
INDICE …………………………………..2
UNIDAD 1.- NUMEROS COMPLEJOS
1.1 Definición y origen de los números
complejos. …………………………………..3
Ejercicios …………………………………..3
2
1.2 Operaciones fundamentales con los
números complejos. …………………………………..4
Ejercicios …………………………………..4
1.3 Potencias de “i”, modulo o valor absoluto de
un número complejo. …………………………………..6
Ejercicios …………………………………..7
1.4 Forma polar y exponencial de un número
complejo. …………………………………..8
Ejercicios ………………………………..…9
1.5 Teorema de Moivre, potencial y extracción
de raíces de un número complejo. …………………………………11
Ejercicios …………………………………..12
1.6 Ecuaciones polinómicas. …………………………………..12
Ejercicios …………………………………..14
3. UNIDAD 1
3
1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Debido a que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, una simple
ecuación como x2 = -4 no tiene solución en el conjunto de los números reales.
Para poder tratar con este tipo de situaciones tenemos que extender el conjunto
de los números reales a un conjunto mayor, el conjunto de los números complejos.
Para poder obtener una solución de la ecuación x2 + 1 = 0, utilizamos el número i,
tal que i2=1. Este número i no es un número real y se llama la unidad imaginaria,
pero i2 si es un número real. La unidad imaginaria se utiliza en la siguiente
definición de los números complejos.
Definición. Un número complejo z es una combinación lineal de la forma en donde
a y b son números reales.
Al número a se le llama la parte real de z, a = Re(z), y al número o b la parte
imaginaria de z, b = Im(z).
A la expresión a + b i de un número complejo z se le conoce como la forma
estándar de z.
Ejemplos:
Z Re(z) Im(z)
7 + 5 i 7 5
-4 –3 i = -4 + (-3) i -4 -3
-9 i = 0 + (-9) i 0 -9
4 = 4 + 0 i 4 0
Ejercicios:
1.- 5-9i= real 5 e imaginario es 9
2.- 8-90i= real 8 imaginario es 90
3.- -34i= real 0 imaginario (-34)
4. UNIDAD 1
4
1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Suma y di ferenci a de números complejos: La suma y di ferenci a de
números complejos se real i za sumando y restando par tes reales
ent re sí y par tes imagi nar i as ent re sí .
( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d) i
( a + bi ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d ) i
Mul t i pl i caci ón de números complejos: El producto de los números
complejos se real i za apl i cando la propi edad di st r i but i va del
producto respecto de la suma y teni endo en cuenta que i 2 = − 1 .
( a + bi ) · ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i
Di vi si ón de números complejos: El coci ente de números complejos
se hace raci onal i zando el denomi nador ; esto es, mul t i pl i cando
numerador y denomi nador por el conjugado de éste.
Ejercicios:
1.- Dado Z1=7+8i y Z2=6-9i
Calcular: Z=Z1+Z2
Z= (7+8i) + (6-9i) = (7+6) + (8-9)i = 13 + (-i)=13-i respuesta
2. - Dado Z1=2-9i y Z2=6-3i
Calcular: Z=Z1-Z2
Z= Z1-Z2= (2+9i) – (6-3i) = (2-6) + (9+3)i = -4 + 12i respuesta
6. UNIDAD 1
6
1.3 POTENCIAS DE “I”, MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO
COMPLEJO.
Potencias de la Unidad Imaginaria:
NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA CARTESIANA REPRESENTACIÓN
CARTESIANA:
Utilizando los dos ejes cartesianos, el eje vertical corresponde a la parte
imaginaria y el eje horizontal corresponde a la parte real. Los números complejos
se pueden representar como puntos del par ordenado.
Z 1 = a + b i = (a,b)
MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO COMPLEJO:
Sea “z” un número complejo, se define el módulo de “z”, y lo notamos por |z|,
como la raíz cuadrada positiva del producto de z por su conjugado, es decir:
El módulo de z= |z| =+ (z · z´)1/2
Si el número complejo en forma binómica viene dado por “z = a + bi”, se tiene que
|z|2 = (a + b·i) · (a - b·i) = a2 - b2 i2 = a2 + b2, de la que se obtiene la llamada
expresión analítica del módulo de un número complejo:
El módulo de z=|z| = (a2 + b2)1/2
7. UNIDAD 1
7
Ejercicios:
1.- Dado Z=4+3i
Calcular:
a) Modulo y ángulo Ɵ
Z=|Z|=√푎2 + 푏2 =√(4)2 + (3)2 = √16 + 9 = √25 = 5
Ɵ=arc tan ¾=36°52°11.63°
2.- Dado Z=6+i
Calcular:
a) Modulo y ángulo Ɵ
Z=|Z|=√푎2 + 푏2 = √(6)2 + (푖)2 = √(6)2 + 푖 2 = √36 + (−1) = √36 − 1 = √35
Ɵ=arc tan -1/6=-9°27°44.36°
3.- Dado Z=3+2i
Calcular:
a) Modulo y ángulo Ɵ
Z=|Z|=√푎2 + 푏2 = √(3)2 + (2)2 = √9 + 4 = √13
Ɵ=arc tan 2/3=33°41°24.24°
8. UNIDAD 1
8
1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO
Forma Polar
Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número
complejo no nulo z = x + iy. Como
x = r cos θ e y = r sen θ
z puede ser expresado en forma polar como
z = r(cosθ + i senθ).
En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo,
θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.
Forma exponencial
La ecuación
eiθ = cos θ + i sen θ
que define el símbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como
fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar
z = r(cos θ + i sen θ),
la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:
z = reiθ
9. UNIDAD 1
9
Ejercicios:
1.- Z = 3-2i
Determinar forma polar de Z:
a) Módulo de Z
b) El ángulo Ɵ
Z=|Z|=√푎2 + 푏2 = √(3)2 + (−2)2 = √9 + 4 = √13
x y
3 2
Ɵ= arc tan -2/3 = -33°41°24.24°
Z=푟(cos Ɵ + isenƟ)
Z=√13(cos−33°41°24.24° + isen − 33°41°24.24°)
y
x=3
휃 = −33°41°24.24° x
y=-2
10. UNIDAD 1
10
2.- Z=3 + 3√8푖
Determinar forma exponencial de Z:
a) Módulo de Z
b) El ángulo Ɵ
Z=|Z|=√푎2 + 푏2 = √(3)2 + (3)2 = √9 + (9)(8) = √81 = 9
x y
3 3√8
Ɵ= arc tan
3√8)
3
= 70.5287°
푍 = 푟푒푖휃 = 9푒70.5287푖
y
y=3√8
Ɵ=70.5287°
x=3 x
11. UNIDAD 1
1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAL Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN
NÚMERO COMPLEJO
Fórmula para calcular las potencias z^n de un número complejo z.
El teorema de Moivre establece que si un número complejo z = r(cos x + i sin x)
, entonces z^n = r^n(cos nx + i sin nx), x= al ángulo, en donde n puede ser
enteros positivos, enteros negativos, y exponentes
fraccionarios.
11
Ejemplo:
Elevar el número √3 + 푖 a la quinta potencia.
El modulo del número es: 푟 = √3 + 1 = 2
El ángulo Ɵ: 푎푟푐 푡푎푛 1
3
= 30
5
= (2)2(cos(5)(30°) + 푖푠푒푛 (5)(30°))
(√3 + 푖)
5
= 32(cos 150 ° + 푖푠푒푛 150°)
(√3 + 푖)
Ejercicios:
1.-푍 = (1 + 푖)6
El modulo
Z = |Z| = √(1)2 + (1)2 = √1 + 1 = √2
El ángulo Ɵ
Ɵ= arc tan 1/1 = 45°
Teorema Moivre: z^n = r^n(cos nx + i sin nx),
6
(cos(6)(45°) + 푖푠푒푛(6)(45°)) = 8(cos 270° + 푖푠푒푛270°)
(1 + 푖)6 = (√2)
12. UNIDAD 1
12
4
2.- 푍 = (√3 + 4푖)
El módulo de Z
Z = |Z| = √(3)2 + (4)2 = √3 + 16 = √19
El ángulo de Ɵ
Ɵ= arc tan 4
√3
=66.5867°
Teorema Moivre z^n = r^n(cos nx + i sin nx)
4
= (√19)
(√3 + 4푖)
4
(cos(4)(66.5867°) + 푖푠푒푛(4)(66.5867°))
= 361(cos 266.3468° + 푖푠푒푛266.3468°)
1.6 ECUACIONES POLINÓMICAS.
La forma general de la ecuación polinómica de grado n
es: a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an = 0
Las ecuaciones de grado n tienen siempre n soluciones (o raíces). En casos
particulares, algunas o todas estas n soluciones pueden ser iguales entre sí.
Si los coeficientes ai son números reales, entonces las soluciones pueden ser
números reales o complejos. (Cualquier combinación, con la siguiente restricción:
si una de las soluciones es compleja, su conjugada también es solución. Esto
implica que las soluciones complejas vienen por parejas y por tanto las ecuaciones
de grado impar tienen al menos una solución real).
Ecuaciones de primer grado:
ax + b = 0
Una solución:
Ecuaciones de segundo grado:
ax2 + bx + c = 0
13. UNIDAD 1
13
Dos soluciones:
y
Ecuaciones de tercer grado:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
Primera solución (de tres):
Segunda solución (de tres):
Tercera solución (de tres):
Ecuaciones de cuarto grado:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
