六年级奥数经典题难题集粹

1. 六年级奥数经典题难题集粹
Source:
http://www.jiajiaoban.com/e/20100609/4c0f07668424b.shtml

2. 一、工程问题
1.甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水
要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满
还是要多少小时？

3. 一、工程问题
1.甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水
要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满
还是要多少小时？
解：
1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率
9/80×5=45/80表示5小时后进水量
1-45/80=35/80表示还要的进水量
35/80÷（9/80-1/10）=35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

4. 2.修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼
此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作
效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，
那么两队要合作几天？

5. 2.修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼
此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作
效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，
那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为
1/20*4/5+1/30*9/10=7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实
在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
1/20*（16-x）+7/100*x=1
x=10
答：甲乙最短合作10天

6. 3.一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2
小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？

7. 3.一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2
小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
解：
由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量
（1/4+1/5）×2=9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、
丙做2小时一共的工作量为1。
所以1-9/10=1/10表示乙做6-4=2小时的工作量。
1/10÷2=1/20表示乙的工作效率。
1÷1/20=20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。

8. 4.一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那
么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交
替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独
做这项工程要多少天完成？

9. 4.一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那
么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交
替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独
做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲=1
1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5=1
（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第
二种做法就不比第一种多0.5天）
1/甲=1/乙+1/甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1/甲=1/乙×2
又因为1/乙=1/17
所以1/甲=2/17，甲等于17÷2=8.5天

10. 5.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任
务时，徒弟完成了4/5 。这批零件共有多少个？

11. 5.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任
务时，徒弟完成了4/5 。这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（4/5÷2）=300个
可以这样想：师傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，两次一共全部完工，那么徒弟
第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，刚好是120个。

12. 6.一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。
单份给男生栽，平均每人栽几棵？

13. 6.一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。
单份给男生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（1/6-1/10）=15棵

14. 7.一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管
也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙，丙
两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水时，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放
完？

15. 7.一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管
也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙，丙
两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水时，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放
完？
答案45分钟。
1÷（1/20+1/30）=12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
1/12*（18-12）=1/12*6=1/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也
就是甲18分钟进的水。
1/2÷18=1/36 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（1/20-1/36）=45分钟。

16. 8.某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过
规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期
为几天？

17. 8.某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过
规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期
为几天？
答案为6天
解：
由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，
恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量=甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2=6天，就是甲的时间，也就是规定日期

18. 8.某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过
规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期
为几天？
答案为6天
解：
方程方法：
[1/x+1/（x+2）]×2+1/（x+2）×（x-2）=1
解得x=6

19. 9.两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停
电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来电了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发
现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？

20. 9.两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停
电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来电了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发
现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1/120*x=（1-1/60*x）*2
解得x=40

21. 二.鸡兔同笼问题
10.鸡与兔共100只，鸡的腿数比兔的腿数少28条，问鸡与兔各有几只？

22. 二.鸡兔同笼问题
10.鸡与兔共100只，鸡的腿数比兔的腿数少28条，问鸡与兔各有几只？
解：
4*100=400，400-0=400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0只，鸡
的脚比兔子的脚少400只。
400-28=372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2=6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从400只变
为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会少4+2=6只（也
就是原来的相差数是400-0=400，现在的相差数为396-2=394，相差数少了400-394=6）
372÷6=62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所
以脚的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62=38表示兔的只数

23. 三.数字数位问题
11.把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005，这个多位数
除以9余数是多少？

24. 三.数字数位问题
11.把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005，这个多位数
除以9余数是多少？
解：
首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数
也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余
数。
解题：首先，任意连续9个自然数之和能被9整除，也就是说，一直写到2007能被9整
除。所以答案为1

25. 12.A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最大值.

26. 12.A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最大值.
解：
（A-B）/（A+B） = （A+B - 2B）/（A+B） = 1 - 2 * B/（A+B）
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 （A-B）/（A+B） 最大。
对于 B / （A+B） 取最小时，（A+B）/B 取最大，
问题转化为求 （A+B）/B 的最大值。
（A+B）/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1
（A+B）/B = 100
（A-B）/（A+B） 的最大值是： 98 / 100

27. 13.已知A.B.C都是非0自然数，A/2 + B/4 + C/16的近似值是6.4，那么它的准确值是多少？

28. 13.已知A.B.C都是非0自然数，A/2 + B/4 + C/16的近似值是6.4，那么它的准确值是多少？
答案为6.375或6.4375
因为A/2 + B/4 + C/16=8A+4B+C/16≈6.4，
所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是
102，也有可能是103。
当是102时，102/16=6.375
当是103时，103/16=6.4375

29. 14.一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百
位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大198，求原数.

30. 14.一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百
位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大198，求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a-100（16-2a）-10a-a=198
解得a=6，则a+1=7 16-2a=4
答：原数为476。

31. 15.一个两位数，在它的前面写上3，所组成的三位数比原两位数的7倍多24，求原来的两
位数.

32. 15.一个两位数，在它的前面写上3，所组成的三位数比原两位数的7倍多24，求原来的两
位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24=300+a
a=24
答：该两位数为24。

33. 16.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，和恰好是
某自然数的平方，这个和是多少？

34. 16.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，和恰好是
某自然数的平方，这个和是多少？
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a=11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b=11
因此这个和就是11×11=121
答：它们的和为121。

35. 17.一个六位数的末位数字是2，如果把2移到首位，原数就是新数的3倍，求原数.

36. 17.一个六位数的末位数字是2，如果把2移到首位，原数就是新数的3倍，求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法加横线，请将整个看成
一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3=10x+2
解得x=85714
所以原数就是857142
答：原数为857142

37. 18.有一个四位数，个位数字与百位数字的和是12，十位数字与千位数字的和是9，如果个
位数字与百位数字互换，千位数字与十位数字互换，新数就比原数增加2376，求原数.

38. 18.有一个四位数，个位数字与百位数字的和是12，十位数字与千位数字的和是9，如果个
位数字与百位数字互换，千位数字与十位数字互换，新数就比原数增加2376，求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b=12，a+c=9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab，列竖式便于观察
根据d+b=12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d=3，b=9；或d=8，b=4时成立。
先取d=3，b=9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c=9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c=6，a=3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd=3963
再取d=8，b=4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。

39. 19.有一个两位数，如果用它去除以个位数字，商为9余数为6，如果用这个两位数除以个
位数字与十位数字之和，则商为5余数为3，求这个两位数.

40. 19.有一个两位数，如果用它去除以个位数字，商为9余数为6，如果用这个两位数除以个
位数字与十位数字之和，则商为5余数为3，求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b=9b+6
10a+b=5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b=3
由于a、b均为一位整数
得到a=3或7，b=3或8
原数为33或78均可以

41. 20.如果现在是上午的10点21分，那么在经过28799...99（一共有20个9）分钟之后的时间将
是几点几分？

42. 20.如果现在是上午的10点21分，那么在经过28799...99（一共有20个9）分钟之后的时间将
是几点几分？
答案是10：20
解：
（28799……9（20个9）+1）/60/24整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10：21，
因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20

43. 四.排列组合问题
21.有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中

44. 四.排列组合问题
21.有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解：
根据乘法原理，分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1=120种不同的排法，但
是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5=24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共
又2×2×2×2×2=32种
综合两步，就有24×32=768种。

45. 22. 若把英语单词hello的字母写错了，则可能出现的错误共有 （ ）
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种

46. 22. 若把英语单词hello的字母写错了，则可能出现的错误共有 （ ）
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以120/2=60
原来有一种正确的所以60-1=59

47. 五.容斥原理问题
23. 有100种食品.其中含钙的有68种，含铁的有43种，那么，同时含钙和铁的食品种类的
最大值和最小值分别是（ ）
A 43，25 B 32，25 C32，15 D 43，11

48. 五.容斥原理问题
23. 有100种食品.其中含钙的有68种，含铁的有43种，那么，同时含钙和铁的食品种类的
最大值和最小值分别是（ ）
A 43，25 B 32，25 C32，15 D 43，11
解：根据容斥原理最小值68+43-100=11
最大值就是含铁的有43种

49. 24.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.
已知：（1）某校25名学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；
（2）在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍
（3）只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人；
（4）只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，那么只解出第二题的学生人
数是（ ）
A，5 B，6 C，7 D，8

50. 24.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.
已知：（1）某校25名学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；
（2）在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍
（3）只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人；
（4）只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，那么只解出第二题的学生人
数是（ ）
A，5 B，6 C，7 D，8
解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第
2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①
由（2）知：a2+a23=（a3+ a23）×2……②
由（3）知：a12+a13+a123=a1-1……③
由（4）知：a1=a2+a3……④

51. 24.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.
已知：（1）某校25名学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；
（2）在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍
（3）只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人；
（4）只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，那么只解出第二题的学生人
数是（ ）
A，5 B，6 C，7 D，8
解：再由②得a23=a2-a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3=26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2=6、5、4、3、2、1时，a3=2、6、10、14、18、22

52. 24.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.
已知：（1）某校25名学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；
（2）在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍
（3）只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人；
（4）只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，那么只解出第二题的学生人
数是（ ）
A，5 B，6 C，7 D，8
解：又根据a23=a2-a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2=6，a3=2。
然后可以推出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，总人数=8+6+2+7+2=25，检验所有条件
均符。
故只解出第二题的学生人数a2=6人。

53. 25.一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、
79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？

54. 25.一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、
79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？
答案：及格率至少为71%。
假设一共有100人考试
100-95=5
100-80=20
100-79=21
100-74=26
100-85=15
5+20+21+26+15=87（表示5题中有1题做错的最多人数）
87÷3=29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）
100-29=71（及格的最少人数，其实都是全对的）
及格率至少为71%

55. 六.抽屉原理、奇偶性问题
26.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要
摸出几只手套才能保证有3副同色的？

56. 六.抽屉原理、奇偶性问题
26.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要
摸出几只手套才能保证有3副同色的？
解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，
就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的
后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套
是同色的，以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，
又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9
（只）
答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

57. 27.有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得
完全一样？

58. 27.有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得
完全一样？
答案为21
解：
每人取1件时有4种不同的取法，每人取2件时，有6种不同的取法.
当有11人时，能保证至少有2人取得完全一样：
当有21人时，才能保证到少有3人取得完全一样.

59. 28.某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余
是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出
多少只球？

60. 28.某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余
是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出
多少只球？
解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：
6*4+10+1=35（个）
如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：
6*5+3+1=34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：
6*5+2+1=33
如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：
6*5+1+1=32

61. 29.地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，
然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同？（如
果能请说明具体操作，不能则要说明理由）

62. 29.地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，
然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同？（如
果能请说明具体操作，不能则要说明理由）
不可能。
因为总数为1+9+15+31=56
56/4=14
14是一个偶数
而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数
后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）。

63. 七.路程问题
30.狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。
问：狗再跑多远，马可以追上它？

64. 七.路程问题
30.狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。
问：狗再跑多远，马可以追上它？
解：
根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米=21x米，则狗跑5*4x=20
米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x=21：20
根据“现在狗已跑出30米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是
21-20=1，现在求马的21份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21=630米

65. 31.甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇。已知，甲车行完
全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？

66. 31.甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇。已知，甲车行完
全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？
答案720千米。
由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙
行了8份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的
路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）=720千米。

67. 32.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12
分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向
跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？

68. 32.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12
分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向
跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：
600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）/2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
600/50=12分钟，表示跑得慢者用的时间

69. 33.慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行
驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？

70. 33.慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行
驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125）÷（22-17）=53秒
可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及
慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。

71. 34.在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙
平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？

72. 34.在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙
平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
答案为100米
300÷（5-4.4）=500秒，表示追及时间
5×500=2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300=8圈……100米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的
前方100米处相遇。

73. 35.一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知
火车鸣笛时离他1360米，（轨道是直的），声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留
整数）

74. 35.一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知
火车鸣笛时离他1360米，（轨道是直的），声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留
整数）
答案为22米/秒
算式：1360÷（1360÷340+57）≈22米/秒
关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行
出1360÷340=4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57=61秒。

75. 36.猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，
它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，
问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。

76. 36.猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，
它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，
问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步5/9米。由
“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑
5/9a*3=5/3a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：5/3a=6：5，也就是说当猎犬跑60米
时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完

77. 37. AB两地，甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4：5，如果甲乙二人分别同时从
AB两地相对行使，40分钟后两人相遇，相遇后各自继续前行，这样，乙到达A地比甲到达
B地要晚多少分钟？

78. 37. AB两地，甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4：5，如果甲乙二人分别同时从
AB两地相对行使，40分钟后两人相遇，相遇后各自继续前行，这样，乙到达A地比甲到达
B地要晚多少分钟？
答案：18分钟
解：设全程为1，甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x：y=5：4
得x=1/72 y=1/90
走完全程甲需72分钟，乙需90分钟

79. 38.甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点
后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了
120千米。AB两地相距多少千米？

80. 38.甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点
后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了
120千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开始到第二
次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相
遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3=360千米，从线段图可以看出，甲一
共走了全程的（1+1/5）。
因此360÷（1+1/5）=300千米
从A地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同
时出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，A地后都立即折回。
第二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米

81. 39.一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时；逆流8小时。如果水流速度是每
小时2千米，求两地间的距离？

82. 39.一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时；逆流8小时。如果水流速度是每
小时2千米，求两地间的距离？
解：（1/6-1/8）÷2=1/48表示水速的分率
2÷1/48=96千米表示总路程

83. 40.快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七
分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。

84. 40.快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七
分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为8/4*3=6小时
6*33=198千米

85. 41.小华从甲地到乙地，3分之1骑车，3分之2乘车；从乙地返回甲地，5分之3骑车，5分之
2乘车，结果慢了半小时.已知，骑车每小时12千米，乘车每小时30千米，问：甲乙两地相
距多少千米？

86. 41.小华从甲地到乙地，3分之1骑车，3分之2乘车；从乙地返回甲地，5分之3骑车，5分之
2乘车，结果慢了半小时.已知，骑车每小时12千米，乘车每小时30千米，问：甲乙两地相
距多少千米？
解：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30
返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30
两者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75相当于1/2小时
去时时间：1/2×（1/3÷12）÷1/75和1/2×（2/3÷30）1/75
路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕+30×〔1/2×（2/3÷30）1/75〕=37.5（千
米）

87. 42.A、B两城相距56千米.有甲、乙、丙三人.甲、乙从A城，丙从B城同时出发.相向而行.甲、
乙、丙分别以每小时6千米、5千米、4千米的速度行进.求出发后经 小时，乙在甲丙之间的
中点？

88. 42.A、B两城相距56千米.有甲、乙、丙三人.甲、乙从A城，丙从B城同时出发.相向而行.甲、
乙、丙分别以每小时6千米、5千米、4千米的速度行进.求出发后经 小时，乙在甲丙之间的
中点？
答案是7
设经过x小时后，乙在甲、丙之间的中点，依题意得6x-5x=5x+4x-56，解得x=7.

89. 43.兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3
米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走 _____米才能回到出发点.

90. 43.兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3
米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走 _____米才能回到出发点.
答案是6
第一次相遇的时间为：30？（1.3+1.2）=12（秒）；兄妹第十次相遇时走的距离为1.2？
12？10=144（米）；因144？30=4…24（米），故妹妹离出发点的距离为30-24=6（米）.

91. 44.骑车人以每分钟300米的速度，从102路电车始发站出发，沿102路电车线前进，骑车人
离开出发地2100米时，一辆102路电车开出了始发站，这辆电车每分钟行500米，行5分钟
到达一站并停车1分钟，那么需要_____分钟，电车追上骑车人.

92. 44.骑车人以每分钟300米的速度，从102路电车始发站出发，沿102路电车线前进，骑车人
离开出发地2100米时，一辆102路电车开出了始发站，这辆电车每分钟行500米，行5分钟
到达一站并停车1分钟，那么需要_____分钟，电车追上骑车人.
不考虑停车时间，电车追上骑车人所用时间为2100？（500-300）=10.5（分），这期间，
电车需要经过两站，停车2分钟.骑车人在2分钟内所走的距离为300？2=600（米）.这样，
考虑停车时间，电车追上骑车人所用时间为
2100+600） ？（500-300）+2=15.5（分）.

93. 45.一个自行车选手在相距950公里的甲、乙两地之间训练，从甲地出发，去时每90公里休
息一次，到达乙地并休息一天后再沿原路返回，每100公里休息一次.他发现恰好有一个休
息的地点与去时的一个休息地点相同，那么这个休息地点距甲地有_____公里.

94. 45.一个自行车选手在相距950公里的甲、乙两地之间训练，从甲地出发，去时每90公里休
息一次，到达乙地并休息一天后再沿原路返回，每100公里休息一次.他发现恰好有一个休
息的地点与去时的一个休息地点相同，那么这个休息地点距甲地有_____公里.
这个选手去时休息的地点与甲地距离依次为：90公里，180公里，270公里，360公里，450
公里，540公里，630公里，720公里，810公里和900公里，而他返回休息地点时距甲的距
离为850公里，750公里，650公里，450公里，350公里，250公里，150公里和50公里.故这
个相同的休息地点距甲地450公里.

95. 46.一条小河流过A、B、C三镇.A、B两镇之间有汽船来往，汽船在静水的速度为每小时11
千米.B、C两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A、C两镇水路
相距50千米，水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上乘汽船顺流而下到B镇，吃午饭用去1
小时，接着乘木船又顺流而下到C镇，共用8小时，那么A、B两镇的水路路程是多少米.

96. 46.一条小河流过A、B、C三镇.A、B两镇之间有汽船来往，汽船在静水的速度为每小时11
千米.B、C两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A、C两镇水路
相距50千米，水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上乘汽船顺流而下到B镇，吃午饭用去1
小时，接着乘木船又顺流而下到C镇，共用8小时，那么A、B两镇的水路路程是多少米.
设某人从A镇到B镇共用x小时，依题意得，（11+1.5）x+（3.5+1.5）（8-1-x）=50.解得x=2，
故A、B两镇的水路距离为（11+1.5）？2=25（千米）

97. 八.比例问题
47.甲乙两人在河边钓鱼，甲钓了三条，乙钓了两条，正准备吃，有一个人请求跟他们一
起吃，于是三人将五条鱼平分了，为了表示感谢，过路人留下10元，甲、乙怎么分？

98. 八.比例问题
47.甲乙两人在河边钓鱼，甲钓了三条，乙钓了两条，正准备吃，有一个人请求跟他们一
起吃，于是三人将五条鱼平分了，为了表示感谢，过路人留下10元，甲、乙怎么分？
答案：甲收8元，乙收2元。
解：
“三人将五条鱼平分，客人拿出10元”，可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条
鱼价值6元。
又因为“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已经出资3*6=18元，“乙钓了两条”，相当
于乙吃之前已经出资2*6=12元。
而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以
甲还可以收回18-10=8元
乙还可以收回12-10=2元
刚好就是客人出的钱。

99. 48.一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，每份利润下降
了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？

100. 48.一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，每份利润下降
了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？
答案22/25
最好画线段图思考：
把去年原来成本看成20份，利润看成5份，则今年的成本提高1/10，就是22份，利润
下降了2/5，今年的利润只有3份。增加的成本2份刚好是下降利润的2份。售价都是25份。
所以，今年的成本占售价的22/25。

101. 49.甲乙两车分别从A.B两地出发，相向而行，出发时，甲.乙的速度比是5：4，相遇后，甲
的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米，那么
A.B两地相距多少千米？

102. 49.甲乙两车分别从A.B两地出发，相向而行，出发时，甲.乙的速度比是5：4，相遇后，甲
的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米，那么
A.B两地相距多少千米？
解：
原来甲.乙的速度比是5：4
现在的甲：5×（1-20%）=4
现在的乙：4×（1+20%）4.8
甲到B后，乙离A还有：5-4.8=0.2
总路程：10÷0.2×（4+5）=450千米

103. 50.一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加1/3，现在的高和原来的高度比是多少？

104. 50.一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加1/3，现在的高和原来的高度比是多少？
答案为64：27
解：根据“周长减少25%”，可知周长是原来的3/4，那么半径也是原来的3/4，则面积
是原来的9/16。
根据“体积增加1/3”，可知体积是原来的4/3。
体积÷底面积=高
现在的高是4/3÷9/16=64/27，也就是说现在的高是原来的高的64/27
或者现在的高：原来的高=64/27：1=64：27

105. 51.某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共
45吨。橘子正好占总数的13分之2。一共运来水果多少吨？

106. 51.某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共
45吨。橘子正好占总数的13分之2。一共运来水果多少吨？
答案为65吨
橘子+苹果=30吨
香蕉+橘子+梨=45吨
所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨=75吨
橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）=2/13
说明：橘子是2份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份
橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13=15份

107. 九、逻辑推理
52、甲、乙、丙三人进行跑步比赛.A、B、C三人对比赛结果进行预测.A说：“甲肯定是第
一名.”B说：“甲不是最后一名.”C说：“甲肯定不是第一名.”其中只有一人对比赛结果的预
测是对的.预测对的是

108. 九、逻辑推理
52、甲、乙、丙三人进行跑步比赛.A、B、C三人对比赛结果进行预测.A说：“甲肯定是第
一名.”B说：“甲不是最后一名.”C说：“甲肯定不是第一名.”其中只有一人对比赛结果的预
测是对的.预测对的是
A、 C的预测截然相反，必一对一错.因为只有一人对，不论A、C谁对，B必
错，所以甲是最后一名，C对.

109. 53、A、B、C、D、E和F六人一圆桌坐下.
B是坐在A右边的第二人.
C是坐在F右边的第二人.
D坐在E的正对面，还有F和E不相邻.
那么，坐在A和B之间的是 .

110. 53、A、B、C、D、E和F六人一圆桌坐下.
B是坐在A右边的第二人.
C是坐在F右边的第二人.
D坐在E的正对面，还有F和E不相邻.
那么，坐在A和B之间的是 .
答案是E

111. 54、甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛.每两人都要比赛一盘，每胜一盘得2分，
和一盘得1分，输一盘得0分.到现在为止，甲赛了4盘，共得了2分；乙赛了3盘，得了4分；
丙赛了2盘，得了1分；丁赛了1盘，得了2分.那么小明现在已赛了 盘，得了 分.

112. 54、甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛.每两人都要比赛一盘，每胜一盘得2分，
和一盘得1分，输一盘得0分.到现在为止，甲赛了4盘，共得了2分；乙赛了3盘，得了4分；
丙赛了2盘，得了1分；丁赛了1盘，得了2分.那么小明现在已赛了 盘，得了 分.
答案：2，3.
由题意可画出比赛图，已赛过的两人之间用线段引连（见右图）.由图看出小明赛了2
盘.因为一共赛了六盘，共得12分，所以小明得了
12-（2+4+1+2）=3（分）.

113. 55、小赵的电话号码是一个五位数，它由五个不同的数字组成.小张说：“它是84261.”小
王说：“它是26048.”小李说：“它是49280.”小赵说：“谁说的某一位上的数字与我的电
话号码上的同一位数字相同，就算谁猜对了这个数字.现在你们每人都猜对了位置不相邻
的两个数字.”这个电话号码是 .

114. 55、小赵的电话号码是一个五位数，它由五个不同的数字组成.小张说：“它是84261.”小
王说：“它是26048.”小李说：“它是49280.”小赵说：“谁说的某一位上的数字与我的电
话号码上的同一位数字相同，就算谁猜对了这个数字.现在你们每人都猜对了位置不相邻
的两个数字.”这个电话号码是 .
答案是86240.
因为每人猜对两个数字，三人共猜对2*3=6（个）数字，而电话号码只有5位，所以必
有一位数字被两人同对猜对.猜对的是左起第三位数字2.因为每人猜对的两个数字不相邻，
所以张、李猜对的另一个数字分别在两端，推知王猜对的数字是6和4，进一步推知张猜对
8，李猜对0.电话号码是86240.

115. 56、小赵的电话号码是一个五位数，它由五个不同的数字组成.小王说：“它是93715.”小
张说：“它是79538.”小李说：“它是15239.”小赵说：“谁说的某一位上的数字与我的电
话号码上的同一位数字相同，就算谁猜对了这个数字.现在你们三人猜对的数字个数都一
样，并且电话号码上的每一个数字都有人猜对.而每个人猜对的数字的数位都不相邻”.这
个电话号码是 .

116. 56、小赵的电话号码是一个五位数，它由五个不同的数字组成.小王说：“它是93715.”小
张说：“它是79538.”小李说：“它是15239.”小赵说：“谁说的某一位上的数字与我的电
话号码上的同一位数字相同，就算谁猜对了这个数字.现在你们三人猜对的数字个数都一
样，并且电话号码上的每一个数字都有人猜对.而每个人猜对的数字的数位都不相邻”.这
个电话号码是 .
答案是19735.道理与上题类似，略去详解。

117. 57、A、B、C、D四人定期去图书馆，四人中A、B二人每隔8天（中间空7天，下同）、C每
隔6天、D每隔4天各去一次，在2月份的最后一天，四人刚好都去了图书馆，那么从3月1日
到12月31日只有一个人来图书馆的日子有____ 天.

118. 57、A、B、C、D四人定期去图书馆，四人中A、B二人每隔8天（中间空7天，下同）、C每
隔6天、D每隔4天各去一次，在2月份的最后一天，四人刚好都去了图书馆，那么从3月1日
到12月31日只有一个人来图书馆的日子有____ 天.
答案是51天。
每24天有4天只有1人去图书馆.3月1日至12月31日有306天，
306/24=12…18，所以所求天数为4*12+3=51（天）.

119. 58、六年级六个班组织乒乓球单打比赛，每班派甲、乙两人参赛，根据规则每两人之间至
多赛一场，且同班的两人之间不进行比赛.比赛若干场后发现，除一班队员甲以外，其他
每人已比赛过的场数各不相同，那么一班队员乙已赛过____场.

120. 58、六年级六个班组织乒乓球单打比赛，每班派甲、乙两人参赛，根据规则每两人之间至
多赛一场，且同班的两人之间不进行比赛.比赛若干场后发现，除一班队员甲以外，其他
每人已比赛过的场数各不相同，那么一班队员乙已赛过____场.
答案是5
根据题意，有11名队员比赛场数各不相同，并且每人最多比赛10场，所以除甲外的11
名队员比赛的场数分别为0~10.
已赛10场的队员与除已赛0场外的所有队员都赛过，所以已赛10场的队员与已赛0场的
队员同班；
已赛9场的队员与除已赛0、1场外的所有队员都赛过，所以已赛9场的队员与已赛1场
的队员同班；
同理，已赛8、7、6场的队员分别与已赛2、3、4场的队员同班；所以甲与已赛5场的
队员同班，即乙赛过5场.
注 本题可以求出甲也赛了5场，分别与已赛10、9、8、7、6场的队员各赛1场.

121. 59、刘毅、马宏明、张健三个男孩都有一个妹妹，六人在一起打乒乓球，进行男女混合双
打，事先规定：兄妹不搭档.第一盘：刘毅和小萍对张健和小英；第二盘：张健和小红对
刘毅和马宏明的妹妹.小萍、小红和小英各是谁的妹妹？

122. 59、刘毅、马宏明、张健三个男孩都有一个妹妹，六人在一起打乒乓球，进行男女混合双
打，事先规定：兄妹不搭档.第一盘：刘毅和小萍对张健和小英；第二盘：张健和小红对
刘毅和马宏明的妹妹.小萍、小红和小英各是谁的妹妹？
刘毅和小红，马宏明和小英，张健和小萍分别是兄妹.

123. 60、四个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余三个人中的二人，试证明：至少有两
对人，每对人是互赠过礼品的.

124. 60、四个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余三个人中的二人，试证明：至少有两
对人，每对人是互赠过礼品的.
设此四人为甲、乙、丙、丁并用画在平面上的四个点分别表示他们，称为它们的代表点，
当某人（例如甲）赠了1件礼品给另一个（例如乙）时，就由甲向乙的代表点画一条有指
向的线，无非有以下两个可能：
（1） 甲、乙、丙、丁每人各收到了2件礼品.
（2） 上面的情形不发生.这时只有以下一个可能，即有一个人接受了3件礼品
（即多于2件礼品；因为一人之外总共还有三个人，所以至多收到3件礼品）.（或许
会有人说，还有两个可能：有人只收到1件礼品及有人什么礼品也没收到.其实，这都可归
以“有一人接受了3件礼品”这个情形.因为，当有一人（例如甲）只接受了1件礼品的情
形发生时，四人共带来的8件礼品中还剩下7件在甲以外的三个人中分配，如果他们每人至
多只收到2件礼品，则收受礼品数将不超过6件，这不可能，所以至少有一人收到2件以上
（即3件）礼品，同样，当甲未收到礼品时，8件礼品分给乙、丙、丁三人，也必定有人收
到3件礼品）.
当（1）发生时，例如甲收到乙、丙的礼品，由于甲发出的礼品中至少有1件给了乙或
丙，为确切计，设乙收到了甲的礼品，于是我们先有了一对人（甲、乙），他们互赠了礼
品，如果丙也收到甲的礼品，那么又有了第二对互赠了礼品的人（甲、丙）；如果收到甲
礼品的另一人是丁（如右图）丁的2件礼品必定分赠了乙及丙（甲已收足了本情形中限定

125. 60、四个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余三个人中的二人，试证明：至少有两
对人，每对人是互赠过礼品的.
的2件礼品）丙或乙的另一件礼品给了丁，则问题也解决（这时另一对互赠了礼品的人便
是（乙、丁）或（丙、丁）但丙的另一件礼品只能给丁，因为这时乙已收足了2件礼品，
所以，当本情形发生时，至少能找到两对互赠过1件礼品的人.
当（2）发生时，不失一般性，设甲收到了来自乙、丙、丁的各1件礼品，但甲又应向
他们之中的某两人（例如乙、丙）各赠送1件礼品，于是（甲、乙），（甲、丙）便是要
找的两对人.总上可知，证明完毕.