3. APLICACIONES DE LA ELIPSE, Y LAS MATEMATICAS Las matematicas tienen una aplicación directa en Arquitectura. Podemos imaginar que antes de poenr manos a la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura a construir es realizable, teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que empleara, las cargas que estos tienen que soportar y, quizás también el costo económico. “TODA CREACION ARQUITECTONICA ES GEOMETRIA” desde siempre los arquitectos han aprovechado las superficies que pueden clasificarse clasicas, y las han convinado acertadamente. En nuestra epoca una nueva teoria “la de la superficies de Bezier y sus generalizaciones engendradas al principio de la decada de los 70’s en varias empresas automovilisticas y de construccion aeronautica, ayuda al arquitecto a diseñar superficies de manera arbitraria con sencilles y elegancia
4. CARACTERISTICAS DE LA ELIPSE La elipse como lugar geometrico, tiene una caracteristica muy particulart que la distingue de otras curvas cerradas: Cualquier punto sobre la elipse cumplira que la suma de las distancias de el a los puntos A y B debe mantenerse constante. Por esta razon, en el trazo inicial con la misma longitud de estambre fijando sus extremos en los puntos A y B, se obtuvo una elipse . De manera concreta, una elipse es una curva cerrada formada por una infinidad de puntos del plano, para los cuales la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, se mantiene constante.
5. A los puntos A y B se les conoce como Focos y normalmente se simbolizan con las letras F y F’ Puntos: B y B’ son covertices C es el centro V y V’ son vertices Segmentos de la recta: VV’ eje mayor FF’ eje focal Longitud: 2ª Longitud 2c BB’ eje menor Longitud 2b lado recto: LR= 2b 2 a
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7. Ejes de una elipse El eje mayor 2 a , es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2 b , es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si. Constante de la elipse En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F 1 y F 2 a P . Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF 1 (color azul) y PF 2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse. Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una una cantidad constante igual a la longitud 2 a del eje mayor: PF 1 + PF 2 = 2 a En la elipse de la imagen 2 a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto, de puntos cómo se cumple la definición.
8. * Directrices de la elipse La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse. Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad: La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse. Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo –que se denomina foco– y a una recta dada –llamada directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma. Además de la bien conocida relación , también es cierto que , también es útil la fórmula . Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d, la cual además es paralela a la directriz anterior.
9. Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz . La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad: Directrices de la elipse La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.
10. Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo –que se denomina foco– y a una recta dada –llamada directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma Además de la bien conocida relación también es cierto que también es útil la fórmula Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d , la cual además es paralela a la directriz anterior. Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d , la cual además es paralela a la directriz anterior.
11. Área interior de una elipse El área de la superficie interior de una elipse es: Siendo a y b los semiejes.
12. Longitud de una elipse El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie. Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación más simple que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, entre otros valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”. Ecuación de la longitud de una elipse:
13. La elipse como cónica La elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada. En otro caso el corte podría ser una hipérbola o una parábola. Es por ello que a todas estas figuras bidimensionales se las llama secciones cónicas o simplemente cónicas.
14. La elipse como hipotrocoide La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r el radio de la circunferencia generatriz. En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior de la circunferencia directriz.
15. Construcción paramétrica de una elipse Se dibujan dos circunferencias concéntricas cuyos diámetros equivalen a la medida de los ejes ortogonales de la futura elipse. Si trazamos segmentos palalelos a los ejes principales X e Y , partiendo del extremo de los radios alineados, la intersección de dichos segmentos son puntos de la elipse.
16. Anamorfosis de una circunferencia en una elipse Determinada trasformación de la circunferencia (al deformar ortogonalmente el plano cartesiano asociado a ella), se denomina anamorfosis. Se corresponde con una perspectiva especial. El término anamorfosis proviene del idioma griego y significa trasformar. Una circunferencia en un plano cartesiano no deformado Esta circunferencia se transforma en una elipse mediante una anamorfosis, donde el eje Y se ha contraído y el X se ha dilatado.
17. *Elipses semejantes Se dice que dos figuras son semejantes cuando se diferencian sólo en el tamaño (pero no en la forma), de tal manera que multiplicando todas las longitudes por un factor dado, se pasa de una figura a la otra. Hay un teorema de utilidad en Física5 acerca de la intersección de una recta con dos elipses semejantes y concéntricas. Teorema: Si la intersección de una recta con la corona comprendida entre dos elipses semejantes con el mismo centro y ejes correspondientes colineales consta de dos segmentos, entonces éstos tienen igual longitud. Explicación: El teorema es cierto, por simetría, en el caso particular en que las elipses dadas sean dos circunferencias concéntricas. Contrayendo o dilatando uniformemente una de las direcciones coordenadas, mediante anamorfosis, podemos transformar cualquier caso en este caso particular, pues todos los segmentos con la misma pendiente cambian su longitud en la misma proporción. Por tanto, puesto que al final del proceso los dos segmentos de la recta tienen la misma longitud, la tenían ya al principio. No deben confundirse las elipses semejantes con las elipses cofocales.
