1. P olinomios
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Hallar los valores de z para que:
P (x) = xn + zxn−1 + zx − 1 n > 2
Es divisible por (x − 1)2 .
Soluci´n
o
1. Para ver que P (x) = xn + zxn−1 + zx − 1 sea divisible por (x − 1)2 basta
demostrar que x = 1 es ra´ de multiplicidad 2 de P (x).
ız
P (x) = xn + zxn−1 + zx − 1 = xn − 1 − zx(xn−2 − 1)
P (x) = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + . . . + 1) − zx(x − 1)(xn−3 + xn−4 + . . . + 1)
P (x) = (x − 1)[(xn−1 + xn−2 + . . . + 1) − zx(xn−3 + xn−4 + . . . + 1)]
Como x = 1 debe ser una ra´ doble entonces debe ser ra´ de W (x) donde:
ız ız
W (x) = (xn−1 + xn−2 + . . . + 1) − zx(xn−3 + xn−4 + . . . + 1)
⇒ W (1) = 0 = (1 + 1 + 1 + . . . + 1) −z1 (1 + 1 + 1 + . . . + 1)
n veces n−2 veces
n
⇒ 0 = n − z(n − 2) luego el valor de z debe ser z = ∀n > 2.
n−2
1