1. P olinomios
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Demostrar que:
x3m + x3m+1 + x3p+2
Es divisible por
x2 + x + 1.
Soluci´n
o
1. Para probar lo pedido basta mostrar que toda ra´ de x2 + x + 1. es ra´
ız ız
de x3m + x3m+1 + x3p+2 as´ ı:
√
1 3
Resolviendo x2 + x + 1 = 0 son x = − ± i sean x1 , x2 las raices
2 2
pero
√ √
1 3 2 1 3
x1 = − + i ⇒ x1 = − − i ⇒ x3 = 1 ⇒ x1 + x2 + x3 = 0
1 1 1
2 2 2 2
Ahora con x3m + x3m+1 + x3p+2 reemplazando x1 as´
ı:
x3m + x3m+1 + x3p+2 = (x3 )m + (x3 )m .x1 + (x3 )p .x2 = 1m + 1m .x1 + 1p .x2
1 1 1 1 1 1 1 1
⇒ x3m + x3m+1 + x3p+2 = 1 + x1 + x2 = 0
1 1 1 1
As´ la ra´ x1 es ra´ de x3m + x3m+1 + x3p+2 an´logo proceso verifica que
ı ız ız a
x2 tambi´n es ra´
e ız.
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