Estatus de vida conjunta

1. ESTATUS DE VIDA CONJUNTA

2. Para que un grupo de individuos pueda formar un estatus
de vida conjunta es necesario:
1-. El grupo debe ser cerrado
2-. Independiente

3. FUNCION DE DISTRIBUCION DE T PARA t>0 Y SE LIMITA A
SOLO 2 VIDAS 𝑥1=𝑥𝑦𝑥2=y
𝑡𝑝 𝑥𝑦=𝑡𝑝 𝑥 𝑡𝑝 𝑦

4. Aplicando el concepto a vidas
conjuntas tenemos:
1 = 𝑡𝑝 𝑥𝑦 + 𝑡𝑞 𝑥𝑦
𝑡𝑞 𝑥𝑦 = 1 − 𝑡𝑝 𝑥𝑦
𝑝𝑥 + qx =
Por lo tanto: probabilidad de que el estatus sobreviva t-años y fallezca al año
siguiente

5. FORMULA APLICACION
Probabilidad de que una persona en edad (x) sobreviva a
edad(t)
Probabilidad de que el estatus de 2 personas de edad y
edad(y) sobrevivan (t) años
Probabilidad de que una persona en edad (x) fallezca dentro
de los próximos (t) años
Probabilidad de que el estatus de 2 personas de edad (x) y
edad (y) fallezcan dentro de los próximos (t) años
Probabilidad de que una persona a edad (x) sobreviva (t)
años fallezca al año siguiente
Probabilidad de que el estatus de 2 personas de edad (x) y
edad (y) llegue a edad (t) años y fallezca al año siguiente

6. y=50x=25
𝑠 𝑦 = 1 −
𝑦
105
A )
B )
C )
EJEMPLO:
Dadas las siguientes funciones de distribución calcular:

8. 𝑏) 5𝑞 𝑥𝑦
𝑐) 3| 𝑞𝑥𝑦

9. 𝐴 𝑋 =
𝑡=0
𝑤−𝑥
𝑏 𝑘+1 𝑣 𝑡+1 𝑡| 𝑞𝑥
Valor de la suma asegurada
Valor presente de la indemnización
Función de probabilidad
w Ultima edad de sobrevivencia

10. Seguro individual Seguro-estatus de vida conjunta
𝐴 𝑥 =
𝑡=0
𝑤−𝑥
𝑣 𝑡+1 𝑡|𝑞 𝑥 𝐴 𝑥𝑦 =
𝑡=0
𝑤=(min(𝑤−𝑥−1;𝑤−𝑦−1)
𝑣 𝑡+1
𝑡|𝑞 𝑥𝑦
𝐴 𝑥∷𝑛 =
𝑡=𝑜
𝑛−1
𝑣 𝑡+1 𝑡|𝑞 𝑥 𝐴 𝑥𝑦 𝑥 ∷𝑛 𝑦 ∷𝑛 =
𝑛−1
𝑣 𝑡+1 𝑡|𝑞 𝑥𝑦

11. ESTATUS DEL ULTIMO
SOBREVIVIENTE

12. Seguro Grupal
VIDA CONJUNTA ULTIMO SOBREVIVIENTE

13. ( 𝑥1 𝑥2 … 𝑥 𝑚 )
𝑥𝑖 =
i y m=

14. ¿Cuál es la probabilidad de que en un
grupo de 2 personas de edades 𝑥1 𝑦 𝑥2 al
menos una llegue con vida el siguiente
año?

15. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 3
personas de edades 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 al menos una llegue
con vida el siguiente año?

16. 2121 :xxxx ppp 
321
323121
321
::
:::
xxx
xxxxxx
xxx
p
ppp
ppp



4321432431421321
434232413121
4321
:::::::::::
::::::
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxx
ppppp
pppppp
pppp






2
1
:
12
21
)1(
i
xxx pp i  




3
1
::
13
3
1
: 321
)1(
i
xxx
ji
i
xxx ppp jii
 






4
1
:::
14
4
1
::
4
1
: 4321
)1(
i
xxxx
kji
i
xxx
ji
i
xxx pppp kjijii

17.  






m
i
xxxn
m
m
kji
i
xxxn
m
ji
i
xxnxnxxxn mkjijiim
ppppp
1
:::
1
1
::
1
:::: 2121
)1(  
Ejemplo:
Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 3 personas
de edades 18, 20 y 22 al menos una sobreviva 3 años
más?

18. 21212 :)1( xxxxx pppp 

19. ¿Cuál es la probabilidad de que en un
grupo de 3 personas con edades diferentes,
exactamente una llegue con vida al
siguiente año?
32132212312 ::::)1)(1( xxxxxxxxxxx ppppppp 

20. Consideramos la distribución de la variable
aleatoria T, el tiempo que transcurre hasta
que se interrumpe el estatus. En el estatus
de último sobreviviente
T=máx[T(x1),T(x2),…,T(xm)]
Donde T(xi) es el tiempo que transcurre
antes de que sobrevenga la muerte del
individuo i.

21. 1

22. 𝑡𝑃𝑥𝑦
2
3

23. Al derivar FT(t) tenemos como resultado la fdp de T=T(xy) en términos
de funciones de vida individual: 4
4b

24. Existe una relación mas general entre
T(xy), T(𝑥𝑦) y T(y). Aun si T(x) y T(y) no
son independientes, T(𝑥𝑦) es igual ya sea
T(x) o T(y) y T(xy) es igual a la otra para
cada resultado, así que tenemos las
siguientes ecuaciones:
T(xy)+T(𝑥𝑦) =T(x) +T(y)
𝐹 𝑇 𝑥𝑦 𝑡 + 𝐹 𝑇 𝑥𝑦 𝑡 = 𝐹 𝑇 𝑥 𝑡 + 𝐹 𝑇 𝑦 𝑡
𝑓𝑇 𝑥𝑦 𝑡 + 𝑓𝑇 𝑥𝑦 𝑡 = 𝑓𝑇 𝑥 𝑡 + 𝑓𝑇 𝑦 𝑡
𝑡𝑃𝑥𝑦 =
5c
5b
5
5d
5e

26. Pr(K(𝑥𝑦=k)= k𝑃𝑥 𝑞 𝑥+𝑘+ 𝑃𝑦 𝑞 𝑦+𝑘 − 𝑘𝑃𝑥𝑘 𝑝 𝑦(𝑞 𝑥+𝑘+ 𝑞 𝑦+𝑘 − 𝑞 𝑥+𝑘 𝑞 𝑦+𝑘)
=(1-k𝑃𝑦) 𝑃𝑥 𝑞 𝑥+𝑘 + 1 − 𝑘𝑃𝑥 𝑘𝑃𝑦 𝑞 𝑦+𝑘 +k𝑃𝑥k𝑃𝑦 𝑞 𝑥+𝑘 𝑞 𝑦+𝑘
Los dos primeros términos son la probabilidad de que solo la
segunda muerte ocurra entre el tiempo k y k+1. El tercero es
la probabilidad de que ambas muertes ocurran durante ese
año. Esta expresión para Pr(K(𝑥𝑦 −k) es análoga a 4ª para la
f.d.p de T(𝑥𝑦) donde, desde la probabilidad de que dos
defunciones ocurran en el mismo instante es 0, solo existen
dos términos.

27. Ejemplo
Suponiendo que los tiempos de vida futuros de (80) (85) son
independientes, obtenga una expresion para la probabilidad de que la
ultima muerte ocurra después del 5to año y antes del 10mo a partir de
este momento:
Con T=T(80:85) utilizamos (8.3.5D) para obtener
Pr(5<t<=10)=Pr(T>5)-Pr(T>10)
=5P80:85 – 10P80:85
=5P80:85 – 10P80:85 + 5P85 – 10P85 –(5P80:85 –
10P80:85)
Utilizando el supuesto de independencia podemos sustituir
5P80 5P85 por 5P80:85
y
10P80 10P85 por 10P80:95

29. ANUALIDADES
¿Qué son?

30. ANUALIDADES
Ordinaria ó
Vencida
CONJUNTA

31. Seguro Colectivo
 Conjunto de personas con
algunas características
en común
● La póliza que puede
comprar por un empleador
para que utilicen sus
empleados.
● Cualquier persona del
grupo es aceptada
independientemente de la
salud.
● Las primas son más
baratas

32. Sí, y es por medio de los seguros de vida
conjuntos. Los seguros de vida conjuntos
tienen la ventaja de que se pueden cubrir a los
dos cónyuges en una sola póliza sin tener que
contratar una por separado para cada quien.
Este tipo de seguros de vida sólo pagan un
fallecimiento, el primero que ocurra, pero
ambos están cubiertos simultáneamente. Eso
hace que el seguro sea mucho más barato que
contratar dos pólizas, entre otros beneficios
que tiene.

33. TIPOS DE SEGUROS COLECTIVOS
Seguros de vida
Los seguros de flotillas para
autos.
Agrupaciones de
taxistas
Seguros de accidentes
personalesSeguro de Gastos
Médicos Mayores

34. Anualidades Anticipadas
Individuales
Pagaderas m-veces al año
Colectivas
𝑎 𝑥 =
𝑡=0
∞
𝑣 𝑡 𝑡𝑝 𝑥 𝑎 𝑥𝑦 =
𝑡=0
𝑤=(min(𝑤−𝑥−1;𝑤−𝑦−1)
𝑣 𝑡 𝑡𝑝 𝑥𝑦
𝑎 𝑥
(𝑚)
=
𝑖−0
1
𝑚
𝑣
𝑖
𝑚 𝑖
𝑚
𝑝 𝑥
𝑎 𝑥𝑦
(𝑚)
=
𝑖=0
1
𝑚
𝑣
𝑖
𝑚
𝑖
𝑚
𝑝 𝑥𝑦

36. expresión gráfica de la
anualidad vitalicia
estatus de vida conjunta

37. ANUALIDADVITALICA ANTICIPADA ANUALIDADVITALICAVENCIDA
𝑎 𝑥 =
𝑡=0
∞
𝑣 𝑡
𝑡𝑝 𝑥 𝑎 𝑥 =
𝑡=1
∞
𝑣 𝑡
𝑡𝑝 𝑥
Esta es la fórmula para calcular el valor presente
de una anualidad vitalicia anticipada que paga 1
peso siempre al inicio de cada periodo, esperando
que llegue vida al próximo
Esta es la fórmula para calcular el valor presente
de una anualidad vitalicia vencida que paga 1 peso
siempre y cuando el individuo permanezca con
vida

38. ANUALIDADTEMPORAL ANTICIPADA ANUALIDADTEMPORALVENCIDA
𝑎 𝑥𝑛¬ =
𝑡=0
𝑛−1
𝑣 𝑡
𝑡𝑝 𝑥 𝑎 𝑥:𝑛¬ =
𝑡=0
𝑛
𝑣 𝑡
𝑡𝑝 𝑥
Esta es la fórmula para calcular el valor
presente de una anualidad temporal
anticipada que paga 1 peso siempre al inicio
de cada periodo, esperando que llegue con
vida al próximo
Esta es la fórmula para calcular el valor
presente de una anualidad temporal vencida
que paga 1 peso siempre y cuando el
individuo permanezca con vida

39. ANUALIDAD DE ESTATUS DE
VIDA CONJUNTA
Esta representa una serie de pagos hecho al final de
cada año mientras todos los integrantes del grupo
sigan con vida. En este caso de anualidad con estatus
de vida conjunta, los pagos son iguales y hay
uniformidad en los periodos de pago.

40. 𝒕𝒑 𝒙𝒚 = 𝒕𝒑 𝒙 𝒕𝒑 𝒚
Probabilidad de que el
estatus de 2 personas de
edad(x) y edad (y)
sobrevivan t años
𝒕𝒒 𝒙𝒚 = 𝟏 −
𝑺 𝒙 + 𝒕
𝑺 𝒙
∗
𝑺(𝒚 + 𝒕)
𝑺(𝒚)
Probabilidad de que el
estatus de 1 personas de
edad (x) y edad (y) fallezcan
dentro de los t años
𝒕|𝒒 𝒙𝒚 =
𝑺 𝒙+𝒕 𝑺(𝒚+𝒕)
𝑺 𝒙 𝑺(𝒚)
-
𝑺 𝒙+𝒕+𝟏 𝑺(𝒕+𝒕+𝟏)
𝑺 𝒙 𝑺(𝒚)
Probabilidad de que el estatus
de 2 personas de edad (x) y
edad (y) llegue a edad t años y
fallezca al año siguiente

41. Anualidad vitalicia anticipada conjunta
(2 personas)
Anualidad vitalicia vencida conjunta
(2 personas)
𝑎 𝑥𝑦 =
𝑡=0
𝑤= min(𝑤−𝑥−1;𝑤−𝑦−1)
𝑣 𝑡
𝑡𝑝 𝑥𝑦
𝑎 𝑥𝑦 =
𝑡=1
𝑤= min(𝑤−𝑥−1;𝑤−𝑦−1)
𝑣 𝑡
𝑡𝑝 𝑥𝑦

42. Anualidad vitalicia anticipada
conjunta
(m personas)
𝑎 𝑥1 𝑥2…𝑥 𝑚
=
𝑡=0
𝑤= min(𝑤−𝑥1−1;…;𝑤−𝑥 𝑚−1)
𝑣 𝑡 𝑡𝑝 𝑥 𝑞 𝑥2…𝑥 𝑚
𝑎 𝑥1 𝑥2…𝑥 𝑚
=
𝑡=1
𝑊= min(𝑤−𝑥1−1;…;𝑤−𝑥 𝑚−1
𝑣 𝑡 𝑡𝑝 𝑥1 𝑥2…𝑥 𝑚

43. 𝑎 𝑥:𝑛¬;𝑦:𝑛¬ =
𝑡=1
𝑛
𝑣 𝑡
𝑡𝑝 𝑥𝑦
𝑎 𝑥:𝑛;𝑦:𝑛 =
𝑡=0
𝑛−1
𝑣 𝑡
𝑡𝑝 𝑥𝑦

45. En los seguros sobre la vida humana, el asegurador se
obliga a indemnizar al beneficiario del seguro la
cantidad establecida en el contrato cuando ocurran
determinadas circunstancias sobre la vida o la muerte
de una persona, que es el asegurado, siempre y
cuando se haya pagado una prima por parte del
contratante del seguro.

46. pensiones Es un plan alternativo donde se contempla
al cónyuge al momento en que fallece el
trabajador, en este caso se utilizan
anualidades del último sobreviviente.
𝑎 𝑥𝑦 =
𝑘=0
∞
(1 + 𝑖)−𝑘 𝑘 𝑝 𝑥𝑦
Donde:
𝑎 𝑥𝑦 = Notacion del valor presente de una anualidad anticipada sobre vidas conjuntas
(1 + 𝑖) 𝑘
= valor presente de $1 que esta en el periodo k
𝑖 = Tasa de interés
𝑘 P 𝑥𝑦 = Probabilidad de que dadas dos vidas de edades (x) y (y), ambas lleguen con vida k periodos
después

47.  Formulación de la prima anual:
En este caso el elemento que ha dado origen al resto ha
sido
𝑝 𝑥:𝑛
±
∙ 𝑎 𝑥:𝑛
±
= 𝐴 𝑥:𝑛
±1
𝑝 𝑥
±
=
Probabilidad de que una persona de edad x
viva a la edad x+1 en estado de validez. Esto
es tanto como decir que dicha persona no
fallezca ni se invalide en dicho periodo.
Llamado 𝑖 𝑥a la probabilidad de invalidez a la
edad x, se calcula así.
𝑝 𝑥
±
= (1 − 𝑞 𝑥) ∙ 1 − 𝑖 𝑥 = 1 − 𝑞 𝑥 − 𝑖 𝑥 + 𝑞 𝑥 ∙ 𝑖 𝑥

49. Dotal puro
Valores conmutados

51. Multiplicando y dividiendo por 𝑣 𝑥y definiendo al valor conmutado
Dx=𝑣 𝑥 𝑙𝑥,
=
𝐷𝑥+𝑛
𝐷𝑥
𝑛𝑝𝑦 =
𝐷𝑦+𝑛
𝐷𝑦
𝑛𝑝𝑥

52. El mismo problema pero ahora para 2 personas de la
misma edad:

53. Vidas múltiples

54. Vidas múltiples
𝑠 =
1000
40𝐸25; 25; 25
=
1
𝑣4040𝑃25; 25; 25
= (1000)(1.06)40
𝑙25
𝑙65
𝑙25
𝑙65
𝑙25
𝑙65
1000(10.28571794)(1.269586139)3= 21,048.49885
Encuentre el valor actuarial acumulado de 1000 para una
persona de edad 25 años hasta edad de 65 años, utilice tabla
de mortalidad ilustrativa con un interés a una tasa efectiva
anual del 6%
SOLUCIÓN:
1000
1
40 𝐸25
= 1000 (1.06)40 𝑙25
𝑙65
= 13,058.60

56. 𝐴 𝑥 = 𝑘=1
∞
𝑣 𝑘+1
kPx 𝑞 𝑥+𝑘
= 𝑣𝑞 𝑥 + 𝑘=1
∞
𝑣 𝑘+1
kPx 𝑞 𝑥+𝑘
= 𝑣𝑞 𝑥 + 𝑣𝑝 𝑥 𝑘=1
∞
𝑣 𝑘 k-1 𝑃𝑥+1 𝑞 𝑥+𝑘
= 𝑣𝑞 𝑥 + 𝑣𝑝 𝑥 𝑗=0
∞
𝑣 𝑗+1 j 𝑃𝑥+1 𝑞 𝑥+1+𝑗
= 𝑣𝑞 𝑥 + 𝑣𝑝 𝑥 𝐴 𝑥 + 1

57. 𝐴30 =
𝐾=0
100
𝑣 𝑘+1 𝑘𝑃30 𝑞30 + 𝑘
= 𝑣𝑞30 + 𝑣𝑃31 𝐴31

58. Conmutativa cuando el resultado de la operación es el
mismo, cualquiera que sea el orden de los elementos
con los que se opera.

59. 𝐷 𝑥 = 𝑣 𝑥 𝑙 𝑥
𝑐 𝑥 = 𝑣 𝑥+1
𝑑 𝑥 = 𝐷 𝑥 𝑣𝑞 𝑥
𝑀 𝑥 =
𝐾=0
∞
𝐶 𝑥+𝑘

60. 𝐴 𝑥 =
𝑘=0
∞
𝑉 𝑘+1
𝑘𝑝 𝑥 𝑞 𝑥+𝑘
=
𝑘=0
∞
𝑉 𝑘
𝑙 𝑥+𝑘
𝑙 𝑥
∗
𝑙 𝑥 − 𝑙 𝑥+𝑘
𝑙 𝑥+𝑘
𝑘=0
∞
𝑉 𝑘
𝑙 𝑥+𝑘
𝑙 𝑥
∗
𝑑 𝑥+𝑘
𝑙 𝑥+𝑘
𝑉 𝑥
𝑙 𝑥 𝐴 𝑥 =
𝑘=0
∞
𝑉 𝑥+𝑘+1
𝑑 𝑥+𝑘
𝐷 𝑥 𝐴 𝑥 =
𝑘=0
∞
𝐶 𝑥+𝑘

62. INTRODUCCIÓN…

63. CARACTERISTICAS…
 1.- Grupo cerrado.
 2.- Vidas independientes.

64. SEGURO DE VIDAS CONJUNTAS

65. 𝐴 𝑥 =
𝑡=0
𝑤−𝑥
𝑣 𝑡+1
𝑡|𝑞 𝑥

66. BENEFICIOS VARIABLES
EN VIDAS MÚLTIPLES

67. QUÉ ES UN SEGURO DE BENEFICIO VARIABLE…?
El seguro de beneficio variable es aquel en el que el
nivel de indemnización por fallecimiento puede
incrementarse o disminuir en progresión aritmética durante
todo el plazo del seguro o en una parte del mismo.
ANUALIDADES DE BENEFICIO VARIABLE:
De igual manera, una anualidad de beneficio variable prevé
una serie de pagos que van incrementando o decrementando a
medida que el individuo sobreviva , en progresión
aritmética, durante todo el plazo o una parte.

68. SEGURO:
Prevé el pago de la siguiente manera:
• 1 al momento del fallecimiento dentro del primer año
• 2 al momento del fallecimiento en el segundo año
• ...
Ó
• n al momento del fallecimiento dentro del primer año
• n-1 al momento del fallecimiento en el segundo año
• …

69. ANUALIDAD
• 1 al inicio o final del primer periodo si sobrevive
• 2 al inicio o final del segundo periodo si sobrevive
• …
Ó
• n al inicio o final del primer periodo si sobrevive
• n-1 al inicio o final del segundo periodo si
sobrevive

70. • Fideicomisos
• Créditos hipotecarios (sujeto a salarios mínimos)
• Pago de becas
• Pensiones

72. Elseguroindividualsepuededefinircomolaindemnizaciónenel
tiempoalocurrirelfallecimientodeparaunapersonax.
Matemáticamentedefiniendoelsegurodevidaenteradeunapersona
setiene.

73. 𝐴 𝑥
=
𝑡=0
𝑤−𝑥
𝑏 𝑘+1 𝑣 𝑡+1
𝑡|𝑞 𝑥

75. 𝐴 𝑥
=
𝑡=0
𝑤−𝑥
𝑣 𝑡+1
𝑡|𝑞 𝑥

76. Por ejemplo el seguro de vida temporal a n años.
𝐴 𝑥∷𝑛¬ =
𝑡=𝑜
𝑛−1
𝑣 𝑡+1
𝑡|𝑞 𝑥
𝐴 𝑥:𝑦 =
𝑡=0
𝑤=(min 𝑤−𝑥−1;𝑤−𝑦−1 )
𝑣 𝑡+1
𝑡|𝑞 𝑥𝑦