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MDとはなにか
- 2. 2/27 大規模分子動力学法とはなにか？ 大規模計算の意義 恣意性を入れないために大規模な計算を行う 大規模な計算はごまかしがきかない →変数 (Variable)から観測量 (Observable)へ 変数と観測量 変数とは、我々がa prioriに認める物理量 観測量は、変数からa posterioriに導かれる物理量 圧力(応力テンソル)はナビエ・ストークスでは変数、MDでは観測量 温度は、熱伝導方程式では変数、MDでは観測量 分子動力学法 分子動力学法とは、運動方程式の数値的解法 運動方程式は解析力学により変分原理から導かれる 解析力学では、全ての物理量は多様体上の関数として定義される 熱とは何か？温度とは何か？圧力とは何か？ シンプレクティック積分とは何か？
- 3. 3/27 言葉の整理 (1/2) × × × [A,B] = C ベクトル空間 要素間に線形和が定義されている集合 スカラー積 一般に異なるベクトル空間に属す要素に対し、 実数を結びつける写像 スカラー積が定義できる二つの空間を双対空間と呼ぶ ex) 縦ベクトルと横ベクトルはお互いに双対空間 代数 代数(Algebra) とは、集合の要素二つに別の集合の 要素を結びつける写像のこと ex) ベクトルの外積 群 群(Group)とは、代数構造の一種で、 取り消しの効く操作の集合 ex) 回転、平行移動
- 4. 4/27 多様体 多様体(Manifold)とは、局所的にユークリッド 空間と同一視できる空間のこと ex) 球面 スカラー関数 多様体上の各点に、一つのスカラー(実数)を 結びつける写像をスカラー関数と呼ぶ × 関数環 多様体M上でのスカラー関数全体の集合を C(M) で表し、関数環と呼ぶ。 (スカラー倍と関数同士の自然な積が定義されるから環になる) 言葉の整理 (2/2) 多様体上での関数環に代数構造を入れることで運動方程式を表現する 代数構造と幾何構造を、さらに統計力学と熱力学に結びつける
- 10. 10/27 状態空間 接束(Tangent Bundle) 余接束(Cotangent Bundle) 目に見える自由度を記述できる空間 ハミルトン形式 (3/3) 接空間 余接空間 双対空間
- 11. 11/27 ポアソン括弧(1/2) リー環 反対称 リー環とは、ある集合に定められた代数的構造であって、 以下の条件を満たすもの。 双線形 ヤコビ恒等式 ポアソン環 { fg,h} = f {g,h}+ g{ f ,h} ポアソン環とは、 で定められる積がリー環であって、さらに以下の 条件を満たすもの。
- 15. 15/27 ここまでのまとめ 1) 状態空間の接バンドルにスカラー関数としてラグランジアンを定義 2) ラグランジアンにより作用積分を定義 3) 作用の変分からラグランジュの運動方程式を導出 4) ルジャンドル変換によりハミルトン系へ(接バンドル→余接バンドル) 5) ハミルトンの運動方程式を使って余接バンドルにポアソン括弧を定義 6) 余接バンドルにシンプレクティック構造が入る 7) リュービル演算子が定義される これまでのあらすじ もともと多様体にシンプレクティック構造が与えられているとして その多様体上での時間発展を考える 時間発展とは何か？ そしてシンプレクティック積分とは何か？ これからやること
- 25. 25/27 エネルギー保存則の幾何表現 (2/2) 拡大位相空間の意味 時刻tを一般化座標、ハミルトニアンHを共役な一般化運動量として取り込む ある量が、ある一般化座標を陽に含まない → 共役な一般化運動量が保存量となる ハミルトニアンがtを陽に含まない → エネルギーが保存される (エネルギー保存則) 一般化運動量としてのエネルギー t: 時間反転に対して odd H: 時間反転に対して even 従って、Hを座標、tを運動量に取るのが「自然」だが、正準変換 (t,H) →(H,−t) により互いに入れ替えることが可能。