Dokumen tersebut membahas tentang persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Terdapat penjelasan mengenai cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan berbagai metode seperti faktorisasi, melengkapi kuadrat, dan rumus kuadrat. Juga dibahas mengenai sifat-sifat akar persamaan kuadrat dan cara menyusun persamaan kuadrat berdasarkan akar-akarnya.

1. Daftar Isi
8
Persamaan dan Fungsi Kuadrat

2. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
Persamaan & Fungsi Kuardat
Persamaan Kuadrat
Grafik & Fungsi Kuadrat
Rangkuman
Latihan
Persamaan Kuadrat Dalam Kehidupan Sehari-hari

3. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
Persamaan kuadrat dalam variabel x adalah persamaan dalam bentuk
P E R S A M A A N K U A D R AT
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Persamaan
Kuadrat
dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0
1. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Faktorisasi
3x2 – 2x – 1 = 0, 6x2– 2 – x = 0, 4x – 3x2 + 2 = 0.
Latihan
Rangkuman
ax2 + bx + c = 0
Contoh :
a Pindahkan semua suku ke ruas kiri.
Dengan demikian nilai ruas kanan menjadi 0.
Tulis persamaan dalam bentuk ax2 + bx + c = 0
b
c Jika koefisien x2 negatif, ubahlah menjadi positif
dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan (–1).
Langkah-langkah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi :

4. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
d Faktorkan persamaan di ruas kiri.
Samakan setiap faktor yang jumlahnya tidak diketahui dengan 0.
e
f Selesaikan persamaan yang dihasilkan.
g Periksa hasil dengan mensubstitusikan nilai pada persamaan semula.
Contoh :
5
atau
2
x 
1 3
2 4
x x
x x
 

 
1
3
3

( 1)( 4) ( 2)( 3)
( 2)( 4)
x x x x
x x
    
 
10
3

2 2
3( 5 4) ( 5 6)
x x x x
     2
10( 6 8)
x x
  
2
3(2 10 10)
x x
  2
10( 6 8)
x x
  
2
3 15 15
x x
  2
5 30 40
x x
  
2
2 15 25
x x
   0

2
2 15 25
x x
  0

2
2 10 5 25
x x x
   0

2 ( 5) 5( 5)
x x x
   0

( 5)(2 5)
x x
  0

5 0
x   atau 2 5
x  0

Jadi, 5
x 
Penyelesaian:
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Persamaan
Kuadrat
Latihan
Rangkuman
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

5. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat
Penyelesaian dengan melengkapkan bentuk kuadrat adalah
dengan mengubah bentuk ax2 + bx + c = 0 ke bentuk (x + p) 2= q.
Contoh :
2
t 5 2t
 
2
2
t t
 5

2
2 1
t t
  5 1
 
2
( 1)
t  6

1
t  6
 
t 1 6
  
maka 1 6
t    atau 1 6
t   
tambahkan 1 pada kedua ruas persamaan

Penyelesaian:
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Persamaan
Kuadrat
Latihan
Rangkuman
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

6. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi 3. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat
Jika x1 dan x2 merupakan akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx +c = 0,
maka
2
1.2
4
2
b b ac
x
a
  

Contoh :
2
3 (6 4 ) 8 0
y p y p
   
Pada persamaan ini, 3, 6 4 , 8 .
a b p c p
   
2
Sehingga, 4
b ac

2
36 16 48 96
p p p
   
2
(6 4 ) 4 3 8
p p
    
2
36 16 48
p p
  
2
(6 4 )
p
 
2
(6 4 ) (6 4 ) (6 4 ) (6 4 )
2 3 6
p p p p
y
       
 

6 4 6 4
6
p p
y
   

6 4 6 4
atau
6
p p
y
   

8
6
p
y


12
atau
6
y


4
Jadi, atau 2
3
y p y
   
Penyelesaian:
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Persamaan
Kuadrat
Latihan
Rangkuman
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

7. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi 4. Sifat Dasar Akar
merupakan akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.
2
1.2
4
2
b b ac
x
a
  

Bilangan b2 – 4ac disebut diskriminan (D) dari ax2 + bx + c = 0.
Diskriminan digunakan untuk menentukan akar dari persamaan kuadrat.
b. Jika D = 0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama,
yaitu
2
b
a

c. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real.
a. Jika D > 0, persamaan memiliki akar real yang berlainan.
• Jika D merupakan kuadrat sempurna,
persamaan memiliki akar-akar rasional
• Jika D bukan kuadrat sempurna,
persamaan memiliki akar-akar irasional
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Persamaan
Kuadrat
Latihan
Rangkuman
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

8. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
Contoh :
Penyelesaian:
Maka a = 3, b = 11, c = 10
Diskriminan (D) =
Maka D > 0 dan merupakan kuadrat sempurna .
Akar-akarnya merupakan akar rasional yang berlainan.
Diketahui 2
3 11 10 0
x x
  
Tentukan sifat-sifat akar dari persamaan kuadrat 2
3 11 10 0
x x
  
1

2
4
b ac

2
(11) 4 3 10
   
121 120
 
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Persamaan
Kuadrat
Latihan
Rangkuman
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

9. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0,
Penyelesaian:
1 2
b
x x
a

 
1 2
.
c
x x
a

maka jumlah dan hasil kali akar-akarnya :
Contoh :
1
 
1 2
( 3)( 3)
x x    
1 2 1 2
. 3( ) 9
x x x x
   
2 3(2) 9
   
2 6 9
( x1 – 3 ) ( x2 – 3)
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 -2x -2 = 0,
tentukan nilai dari :
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Persamaan
Kuadrat
Latihan
Rangkuman
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

10. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
5. Menyusun Persamaan Kuadrat
a. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar yang diketahui, maka rumus persamaan kuadrat
tersebut adalah: (x – x1)(x – x2) = 0
atau
Contoh :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan
1
3
dengan perkalian faktor.
Penyelesaian:
Dengan perkalian faktor diperoleh:
  
2
3 7 2 0.
x x
 
1 2
( ) ( )
x x x x  0
1
( 2) ( )
3
x x
   0
 
2 7 2
3 3
x x  0
 
2
3 7 2
x x  0
Jadi, persamaan kuadratnya adalah
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Persamaan
Kuadrat
Latihan
Rangkuman
x2 – (x1 + x2)x + (x1. x2) = 0
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

11. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
Contoh :
Penyelesaian:
Dengan jumlah dan hasil kali akar diperoleh:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya
dengan menggunakan jumlah dan hasil kali akar.

2 3

2 3 dan
diketahui  
1 2 3
x  
2
dan 2 3
x
    
1 2 2 3 2 3
x x
  
1 2
. (2 3)(2 3)
x x
 4
 4-3=1
  
2
1 2 1 2
x ( ) .
x x x x x  0
 0
 
2
x 4 1
x
Jadi, persamaan kuadratnya adalah  0
 
2
x 4 1
x
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Persamaan
Kuadrat
Latihan
Rangkuman
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

12. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
b. Jika akar-akarnya berhubungan dengan akar –akar persamaan kuadrat lain
Contoh :
Penyelesaian:
Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat dari   
2
5 3 0
x x
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya
a.
b. Berkebalikan dengan x1 dan x2
1 2
2 dan 2
x x
Dari persamaan   
2
5 3 0
x x diperoleh   
1 2 1 2
5 dan . 3
x x x x
a. Jika dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat yang dicari,
maka + β = 1 2
2 +2
x x  1 2
2( + )
x x  
2(5) 10
1 2
(2 ).(2 )
x x
. β =  1 2
4 .
x x  
4(3) 12
Jadi, persamaan kuadrat yang dicari adalah
   
  
2
( ) .
x x  0
 
2
10 12
x x  0
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Persamaan
Kuadrat
Latihan
Rangkuman
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

13. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
b. Akar-akar yang berkebalikan dengan
1 2
1 1
dan ,
x x
1 2
dan
x x adalah
maka
+ β =

 1 2
1 2
.
x x
x x

1 2
1 1
x x

5
3
. β = 
1 2
1 1
x x

1 2
1
.
x x

1
3
Jadi, persamaan kuadrat baru yang dicari adalah
   
  
2
( ) .
x x  0
  
2 5 1
0
3 3
x x
  
2
3 5 1 0
x x
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Persamaan
Kuadrat
Latihan
Rangkuman
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari
Dari persamaan   
2
5 3 0
x x diperoleh   
1 2 1 2
5 dan . 3
x x x x

14. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah
G R A F I K & F U N G S I K U A D R AT
1. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
f(x) = ax2+ bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0.
a. Titik Potong Grafik dengan Sumbu Koordinat
1. Titik Potong dengan Sumbu X
Titik potong dengan sumbu X diperoleh jika y = f(x)= ax2+ bx + c = 0.
Jumlah titik potong dengan sumbu X tergantung pada diskriminan D .
a) Jika D > 0, maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang berbeda.
b) Jika D = 0, maka grafik menyinggung sumbu X.
c) Jika D < 0, maka grafik tidak memotong atau menyinggung sumbu X.
Persamaan
Kuadrat
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Latihan
Rangkuman
2. Titik Potong dengan Sumbu Y
Titik potong dengan sumbu Y diperoleh jika x=0 ,
yaitu y = a(0)2+ b(0) + c = c.
Jadi, titik potong grafik f(x) = ax2+ bx + c dengan sumbu Y adalah (0,c).
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

15. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
a) Jika c > 0, maka grafik memotong sumbu Y positif.
b) Jika c = 0, maka grafik melalui titik pusat (0,0).
c) Jika c < 0, maka grafik memotong sumbu Y negatif.
b. Sumbu Simetri
Sumbu simetri dari grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c adalah
2
b
x
a


Persamaan
Kuadrat
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Latihan
Rangkuman
c. Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi
Fungsi f(x) = ax2 + bx + c mempunyai nilai minimum jika a > 0 dan
mempunyai nilai maksimum jika a < 0.
Nilai maksimum atau minimum f(x) adalah
4
D
y
a


Posisi titik potongnya dengan sumbu Y :
Titik potong grafik dengan sumbu Y adalah (0,c).
d. Koordinat Titik Puncak
Koordinat titik puncak grafik fungsi f(x) = ax2+ bx + c adalah ,
2 4
b D
P
a a
 
 
  
 
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

16. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
Contoh :
Penyelesaian:
Gambarlah grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 - 6x + 5.
f(x) = x2 - 6x + 5 , nilai koefisien a = 1, b = -6, dan c = 5
Persamaan
Kuadrat
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Latihan
Rangkuman
1. Titik potong dengan sumbu koordinat
a. Titik potong dengan sumbu X y= 0, maka
1 atau 5
x x
 
2
6 5
x x
  0

( 1)( 5)
x x
  0

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah (1 , 0) dan (5 , 0)
b. Titik potong dengan sumbu Y x = 0, maka
Jadi, titik potong grafik dengan sumbu Y adalah (0 , 5)
y = f(0) = 02 - 6(0) + 5 = 5
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

17. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
Persamaan
Kuadrat
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Latihan
Rangkuman
2. Menyusun Fungsi Kuadrat
a. Jika grafik Memotong Sumbu X di (x1, 0) dan (x2 , 0), dan Titik (x3, y3)
Fungsi kuadrat dari grafik tersebut adalah
Nilai a diperoleh dengan mensubstitusikan nilai x3 pada variable x ,
dan y3 pada variable y, pada persamaan di atas.
y = a(x – x1)(x – x2)
2. Persamaan sumbu simtri x =
( 6)
3
2 2(1)
b
a
  
 
3. Koordinat titik puncak
2
( 4 )
,
2 4
b b ac
a a
 
  
  
 
( , )
p p
x y
 
2
( 6) 4(1)(5)
( 6)
,
2(1) 4a
 
  
 
 

 
 
(3, 4)
 
Grafik fungsi y = x2 - 6x + 5 ditunjukkan pada gambar
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari
f(x) = x2 - 6x + 5 , nilai koefisien a = 1, b = -6, dan c = 5

18. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X
di (2 , 0) dan (4 , 0) serta melalui titik (3 , 6)
Grafik memotong sumbu X di titik (2 , 0) dan (4 , 0),
maka fungsi kuadratnya adalah y = a(x –x1 ) (x –x2 )
Contoh :
Penyelesaian:
= a (x –2 ) (x –4)
Karena grafik melalui titik (3 , 6) maka 6 = a(3 -2) (3 –4)
6 = a(1) (-1)
a = -6
Jadi, rumus fungsi kuadratnya y = -6(x -2) (x -4)
atau y = -6x2 + 36x -48
Persamaan
Kuadrat
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Latihan
Rangkuman
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

19. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
b. Jika grafik Memiliki Titik Puncak (xp, yp) dan Melalui Titik (x3, y3)
Fungsi kuadrat dari grafik tersebut adalah
y = a(x – xp)2 + yp
Nilai a diperoleh dengan mensubstitusikan nilai x3 pada variable x ,
dan y3 pada variable y, pada persamaan di atas.
Persamaan
Kuadrat
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Latihan
Rangkuman
Tentukan fungsi kuadrat yang titik puncak grafiknya (-2 , 3) dan melalui (1 , -6).
Dengan rumus y = a(x – xp)2 + yp untuk Xp = -2 dan yp = -3 diperoleh
y = a (x – xp)2 + yp
= a (x – (-2))2 + 3
= a(x2 + 4x +4) +3
Contoh :
Penyelesaian:
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = -1(x2 + 4x +4) +3
y = -x2 -4x -1
Karena grafik melalui titik (1, -6) maka -6 = a(12 + 4(1) +4) +3
-6 = a(9) +3
a = -1
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

20. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi c. Jika diketahui sketsa grafiknya
Contoh :
Penyelesaian:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya ditunjukkan pada gambar.
Dari gambar terlihat titik puncak (4, 0) maka
y = a(x – xp)2 + yp
= a(x – 4)2 + 0
= a(x – 4) 2
karena grafik melalui titik (0, -2), maka -2 = a(0 – 4) 2
-2 = 16a
a =
1
8

Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah y 2
2
1
( 4)
8
1
2
8
x
x x
  
   
Persamaan
Kuadrat
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Latihan
Rangkuman
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

21. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
P E R S A M A A N K U A D R AT D A L A M K E H I D U PA N S E H A R I - H A R I
Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah sehari-hari
dengan persamaan kuadrat adalah :
1. Representasikan nilai yang tidak diketahui pada permasalahan
dengan variabel.
2. Terjemahkan permasalahan dalam persamaan kuadrat
yang melibatkan variabel tersebut.
3. Selesaikan persamaan untuk variabel tersebut.
4. Periksa apakah hasilnya memenuhi kondisi permasalahan sebenarnya.
Persamaan
Kuadrat
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Latihan
Rangkuman

22. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
Persamaan
Kuadrat
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Latihan
Rangkuman
Contoh :
Penyelesaian:
Tali sepanjang 16 m dibagi menjadi dua bagian sehingga selisih dari dua kali kuadrat
dari bagian yang lebih besar dan kuadrat dari bagian yang lebih kecil adalah 164.
Berapa panjang masing-masing bagian tali?
Misalkan bagian yang lebih besar adalah x, maka bagian yang lebih kecil adalah 16-x,
sehingga
  
10 atau 42
x x
 
 
2
2
2 16
x x 164
2
2x  
  
2
16 164
x
2
2x    
2
256 32 164
x x
 0
  
2
42 10 420
x x x
(Abaikan x = 42 karena panjang tidak mungkin negatif).
Maka, dua bagian tersebut adalah 10 m dan 6 m.
   
  
42 10 42
x x x  0
 
2
32 420
x x  0
  
 
42 10
x x  0
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

23. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
R A N G K U M A N
1. Persamaan kuadrat dalam variabel x adalah persamaan dalam bentuk
2. Akar-akar satu persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan metode:
a. faktorisasi
Rangkuman
Latihan
dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0
ax2 + bx + c = 0
b. melengkapkan kuadrat
c. rumus kuadrat
3. Jika diketahui akar-akarnya,
maka dapat disusun persamaan kuadrat dari akar-akar tersebut.
4. Bentuk umum fungsi kuadrat adalah
f(x) = ax2+ bx + c
dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0.
5. Jika diketahui titik-titik tertentu atau sketsa grafiknya,
maka dapat disusun fungsi kuadratnya.
Persamaan
Kuadrat
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari

24. Bab 8 - Jelajah Matematika SMA X
Daftar Isi
L AT I H A N
Latihan
Persamaan
Kuadrat
Rangkuman
Grafik
&
Fungsi Kuadrat
Persamaan Kuadrat
Dalam Kehidupan
Sehari-hari