非同期時系列のLead-lag効果推定のための新しい推定量

NAPLES; 非同期時系列の Lead-lag 効果推定のため
の新しい推定量
伊藤克哉1 中川慧2
1Preferred Newtworks
2 野村アセットマネジメント
第 26 回人工知能学会金融情報学研究会（SIG-FIN）
2021 年 3 月 5 日
K.Ito K.Nakagawa (PFN NAM) NAPLES SIGFIN 2021/3/5 1 / 26

目次
1 導入
高頻度取引の説明・Lead-Lag 効果の説明
Lead-Lag 効果推定における課題の説明
2 関連研究
Hoffman-Rosenbaum-Yoshida
Dobrev-Schaumburg
Dynamic Time Warping
3 手法
提案手法 NAPLES
提案手法の解釈
提案手法の数学的性質
4 実験
同期観測人工データにおける Lead-Lag 推定
非同期観測人工データの Lead-Lag 効果推定
非同期観測実データの Lead-Lag 効果推定

まとめスライド
研究対象
高頻度取引の裁定探索
問題
タイムスタンプの非同期性・計算量の膨大性・ラグの時間変化や
ノイズ
解決法
符号化した利回りを取引する戦略の利回りで Lead-Lag を検出
数学的性質・定性的性質を解析
結果
シミュレーションデータ・実データで有効性を示した
実為替データで定性的に見られる現象を確認した

導入高頻度取引の説明・Lead-Lag 効果の説明
研究対象
高頻度取引
金融資産をアルゴリズムがミリ秒単位またはそれ以下で取引。
Lead-Lag 効果
2 つの資産価格を考えたときに、
一方の値動きが他方の値動きに先行または遅行すること。
Lead-Lag 効果の推定
Xt,Yt という時系列を観測したときに、
ラグ θ̂ = argmaxθCorr(Xt, Yt+θ) を計算すること。
例：
先物と現物の Lead-Lag 効果
同業種内の株価の Lead-Lag 効果
異なる取引所間の Lead-Lag 効果
外国為替における異なる通貨ペア間の Lead-Lag 効果

導入 Lead-Lag 効果推定における課題の説明
研究課題
Lead-Lag 効果の推定における課題
1 タイムスタンプの非同期性
Tick データでは注文があるごとに記録される。
→ タイムスタンプが揃わず、相関係数等の計算が困難。
2 データの膨大性
計算機・通信の高速化により蓄積するデータ量は膨大に。
→ 計算量が少ない Lead-Lag 推定アルゴリズムが必要。
3 ラグの時間変化
ラグは時間変化している [3]。
→ ラグの時間変化にも対応する Lead-Lag 推定アルゴリズムが必要。

関連研究 Dynamic Time Warping
関連研究 (Lead-Lag 効果の推定)
Lead-Lag 効果の推定における関連研究
資産 A, B の価格 Xt, Yt を時刻 {si}N
i=1, {tj}M
j=1 ⊂ [0, T] において観測。
1 Hoffman-Rosenbaum-Yoshida(2013)
非同期観測の時系列に対して共分散推定量を考案。それを最大化。
計算量のオーダーは O(|Θ|NM)∗
argmaxθ∈Θ
N−1
∑
i=1
M−1
∑
j=i
(Xsi+1 − Xsi )
(
Ytj+1 − Ytj
)
1{]tj−1+θ,tj+θ]∩]si−1,si]̸=∅}
2 Dobrev-Schaumburg(2017)
取引がある・ないの {0, 1} の時系列に対して内積を最大化。
計算量のオーダーは O(|Θ|T)
argmaxθ∈Θ
∑
T−|θ|
i=|θ|
1{A active at i + θ} · 1{B active at i}
∑
T−|θ|
i=|θ|
1{A active at i + θ} ∧ ∑
T−|θ|
i=|θ|
1{B active at i}
.
∗タイムスタンプがソートされているときは O(|Θ| max{N, M}) にもできる

関連研究 Dynamic Time Warping
関連研究 (MTDW)
3 Ito-Sakemoto(2020)
DTW の多次元バージョンを計算して直接推定
ni と mi は対応している時刻とみなせるので mi − ni を計算するこ
とによって、ラグの候補 Θ を用いずに Lead-Lag 効果が直接推定が
可能。
MDTW
(
{Xi}N
i=1 , {Yj}M
j=1
)
:= min
nl,ml
L
∑
l=1
d










Xnl
Xnl+1
.
.
.
Xnl+w





,





Yml
Yml+1
.
.
.
Yml+w










s.t. n1 < · · · < nL, m1 < · · · < mL, |ni+1 − ni| + |mi+1 − mi| ≤ 1

手法提案手法 NAPLES
提案手法
資産価格 Xt を 0 = s0 < s1 < s2 < · · · < sn という時刻で観測し、
資産価格 Yt を 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tm という時刻で観測する。
このとき観測される資産価値の対数リターンをそれぞれ、
r
(X)
si = log(Xsi /Xsi−1 ), r
(Y)
tj
= log(Ytj /Ytj−1 ),
とおく。ここでその資産のリターンの符号を取ったものを b で定める。
b
(X)
si = sign{log(Xsi /Xsi−1 )}, b
(Y)
tj
= sign{log(Ytj /Ytj−1 )}.
このリターンの符号の累積和を次のように X̂, Ŷ で定める。
X̂t =
n
∑
i=1
1si<tb
(X)
si , Ŷt =
m
∑
j=1
1tj<tb
(Y)
tj
.
最終的に我々が提案する Lead-Lag 推定のための指数 R(t) は
R(t) :=
n−1
∑
i=1
(
b
(X)
si Ŷsi+1 − b
(X)
si Ŷsi
)
1si+1<t −
m−1
∑
j=1
(
b
(Y)
tj
X̂tj+1 − b
(Y)
tj
X̂tj
)
1tj+1<t

手法提案手法 NAPLES
指数の解釈
NAPLES; Negative And Positive Lead-lag EStimator

手法提案手法の解釈
指数 R(t) の解釈
(1) X̂t, Ŷt は時系列 Xt, Yt を単純化したもの。
R(t) は以下の単純な戦略の累積リターンである。
n−1
∑
i=1
(
b
(X)
si Ŷsi+1 − b
(X)
si Ŷsi
)
1si+1<t
X が時刻 si で上昇 ⇒si で Ŷ を買い si+1 で Ŷ を売る。
X が時刻 si で下落 ⇒si で Ŷ を売り si+1 で Ŷ を買う。
(2) R(t) は単純化された時系列の共分散である。実際、
b̂
(Y)
si+1 := (Ŷsi+1 − Ŷsi ), b̂
(X)
tj+1
:= (X̂tj+1 − X̂tj )
と定義すると、R(T) は以下のようになる。
R(T) =
n−1
∑
i=1
b
(X)
si b̂
(Y)
si+1 −
m−1
∑
j=1
b
(Y)
tj
b̂
(X)
tj+1

手法提案手法の数学的性質
主定理
2 つの資産価格 X, Y が上の定理と同じ相関 ρ、先行遅行関係 θ のある
幾何ブラウン運動であるとする。観測時間 si,tj の間隔が常に等間隔 ∆
であると仮定する。このとき R(T) は次のようになる。
E[R(T)] =





l
π (θ) arcsin(ρ|θ|
∆ ) 0 < |θ| < ∆を満たすとき
l
π (θ) arcsin(ρ(2∆−|θ|)
∆ ) ∆ < |θ| < 2∆を満たすとき
0 それ以外.
ただし l は θ > 0 のとき m − 1 で、θ < 0 のとき n − 1 であるような定
数である。

主定理の図示
∆
−∆ 2∆
−2∆ θ
E[R(T)]

主定理の図示のシミュレーション結果
Figure: T = 1000 , ∆ = 5 , ρ = 0.9 の場合の理論値 (太線) とシミュレーション結果
(細線)

実験
実験設定
相関 ρ・ラグ θ のある幾何ブラウン運動対 (Xt, Yt) を生成し、時刻 si, tj
でサンプリングする。
Xt = x0 exp
(
σ1B
(1)
t
)
, x0 = 100
Yt = y0 exp
(
ρσ2B
(1)
t−ϑ + σ2
(
1 − ρ2
)1/2
Wt−ϑ
)
, y0 = 100
σ1 = σ2 = {0.01, 0.02, · · · , 0.10}, 0 ≤ t ≤ 1000
ti+1 − ti, si+1 − si ∼ N(10, 1) i.i.d でサンプリング
Hoffman-Rosenbaum-Yoshida(HRY),Dobrev-Schaumburg(DS) と提案
手法を比較する

実験同期観測人工データにおける Lead-Lag 推定
実験 1(人工データ同期観測の推定誤差比較)
Table: 同期観測の人工データにおける Lead-Lag 効果推定
Methods ρ = 1.0 ρ = 0.9 ρ = 0.8 ρ = 0.7 ρ = 0.6 ρ = 0.5
HRY
0.99976
±
0.00047
0.75615
±
0.01250
0.74733
±
0.01217
0.73526
±
0.01314
0.72265
±
0.01488
0.71468
±
0.01247
DS
1.00000
±
0.00000
0.98983
±
0.00283
0.97808
±
0.00434
0.962629
±
0.00646
0.945540
±
0.00651
0.929730
±
0.00833
Ours
1.00000
±
0.00000
0.99193
±
0.00263
0.97436
±
0.00451
0.95901
±
0.00551
0.94422
±
0.00725
0.93020
±
0.00736

実験非同期観測人工データの Lead-Lag 効果推定
実験 2(人工データ非同期観測の推定誤差比較)
Table: 非同期観測の人工データにおける Lead-Lag 効果推定
Methods ρ = 1.0 ρ = 0.9 ρ = 0.8 ρ = 0.7 ρ = 0.6 ρ = 0.5
HRY
0.97433
±
0.00420
0.94424
±
0.00645
0.93981
±
0.00699
0.93172
±
0.00690
0.91995
±
0.00830
0.89890
±
0.00943
DS
1.00000
±
0.00000
0.98459
±
0.00410
0.96410
±
0.00538
0.93953
±
0.00731
0.91899
±
0.00777
0.88716
±
0.00880
Ours
1.00000
±
0.00000
1.00000
±
0.00000
1.00000
±
0.00000
0.99962
±
0.00051
0.99901
±
0.00080
0.99465
±
0.00217

実験非同期観測人工データの Lead-Lag 効果推定
実験 3(人工データにおける収束)
2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
Log f Time H riz n l g10T
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
L
g
f
Mean
Abs
lute
Err
r
f
Lead
-Lag
log
10
|
θ
−
̂
θ
|
HRY
DS
Ours

実験非同期観測実データの Lead-Lag 効果推定
実験 4(非同期観測実データの Lead-Lag 効果推定)
実際の USD/JPY 高頻度データに、独立なノイズを加えることによっ
て、X と Y を作る。
統計量数値　
1 時間リターンの平均　 3.27240e-05
1 時間リターンの標準偏差　 0.000668831
1 時間リターンの歪度 0.036400602
1 時間リターンの尖度 -0.093903216
タイムスタンプの平均間隔　 1318ms
タイムスタンプの最低間隔　 47ms
タイムスタンプの最大間隔 42742ms
1 時間あたりのデータ平均数 2948

実験 4(非同期観測実データの Lead-Lag 効果推定)
Table: 非同期観測の実データにおける Lead-Lag 効果推定
Methods ρ = 1.0 ρ = 0.9 ρ = 0.8 ρ = 0.7 ρ = 0.6 ρ = 0.5
HRY
0.5317
±
0.0510
0.5580
±
0.0477
0.5627
±
0.0434
0.5438
±
0.0525
0.5546
±
0.0502
0.4078
±
0.0369
提案手法
1.0000
±
0.0000
0.9998
±
0.0014
0.9932
±
0.0082
0.9780
±
0.0131
0.9483
±
0.0186
0.8922
±
0.0288

実験 5(実データにおける Lead-Lag 効果の観測)
実験設定
定性的に Lead-Lag 効果が観測されている (GBP/USD, EUR/USD),
(NZD/USD, AUD/USD), (CHF/USD, EUR/USD), (CAD/USD,
AUD/USD)8 個の通貨ペアについて重要な指標発表前後の
Lead-Lag 関係を見る
2016/2/1 から 2019/2/1 の Tick データ
図
横軸：指標発表からの相対時間。指標発表時 0 に点線。
縦軸：各手法 (提案・HRY・DB) により推定された Lead-Lag。大
きければ明確な Lead-Lag 関係がある。0 に点線

実験 5(実データにおける Lead-Lag 効果の観測)
— —
—

OURS
GBP vs EUR
—
—
—

NZD vs AUD
—
—
—
—

CHF vs EUR
—
—
—
—

CAD vs AUD
— —
—

DB
—
—
—

—
—
—
—

—
—
—
—

— —
—

HRY
—
—
—

—
—
—
—

—
—
—
—


実験 5 の解釈
解釈
重要な指標発表前後に強い Lead-Lag 関係がある。
定性的考察 (Ito-Sakemoto 2020)
指標発表前にはトレーダーは在庫調整を行い、指標発表通貨ポジシ
ョンのリスクを減らす。
指標発表前にポジションを構築するのはリスクがある。したがって
そのリスクについてのプレミアムが存在し、プレミアムを取りにい
くトレーダーがいる。
指標発表通貨に対して private information を持つトレーダーが先行
して売買を行っている。
提案手法が最も明確に Lead-Lag 関係を捉えられている
提案手法が時変的な Lead-Lag 関係にも対応している。

実験 5(発見された Lead-lag に基づくトレード)
実際に 8 通貨ペアの中で最も遅れている物を最も進んでいるものを見
ながらトレードするときの累積リターン（ただしこれはインサンプル）

5JNFNJO

-PHDVNVMBUJWFSFUVSOT
$VNVMBUJWFSFUVSOTPGUSBEJOHTUSBUFHJFT
HFOFSBUFECZUIFEFUFDUFEMFBEMBHT
)3:
%#
0VST

まとめ
本研究の貢献
Lead-Lag 関係の高速かつ正確な推定手法を提案した
その理論的性質と理論的考察を行った
シミュレーションデータ及び実データにおいてその有効性を示し、
また実データにおいて定性的研究と一致する結果を示した。

Appendix: 主定理の一般化 (指数 R(t) の性質)
Theorem
X, s, Y, t, b を今までで定めたとおりとし、ti := min{tj | si ≤ tj},
ti := max{tj | si tj}, sj := min{si | tj ≤ si}, sj := max{si | si tj} とす
る。このとき si, tj について以下が成り立つと仮定する
任意の i について si tj si+1 を満たすような tj は 1 個以下。
任意の j について tj si tj+1 を満たすような si は 1 個以下。
このとき、R(T) の期待値は次のスライドのようになる。

Appendix: 主定理 (指数 R(t) の性質)(continued)
E[R(T)] =
1
π
n−1
∑
i=1
1si−1ti+θsi
arcsin(
ρ(si − ti − θ)
√
(ti+1 − ti)(si − si−1)
)
+
1
π
m−1
∑
j=1
1sjtj+θsj+1
arcsin(
ρ(tj + θ − sj)
√
(sj+1 − sj)(tj − tj−1)
)
−
1
π
n−1
∑
i=1
1si−1ti+1+θsi
arcsin(
ρ(ti+1 + θ − si−1)
√
(ti+1 − ti)(si − si−1)
)
+
1
π
m−1
∑
j=1
1sjtj−1+θsj+1
arcsin(
ρ(sj+1 − tj−1 − θ)
√
(sj+1 − sj)(tj − tj−1)
).

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