2017年10月21日に開催された 第10回 #日曜数学会 で発表した資料です． 「非正則素数チェッカー」はこちらで遊べます！ http://tsujimotter.info/irregulars/ tsujimotter のノートブック http://tsujimotter.hatenablog.com

1. ⾮正則素数チェッカー
⽇曜数学者 辻順平@tsujimotter
第10回 ⽇曜数学会 2017年10⽉21⽇

2. 素数は２通りに分類できる
正則素数 ⾮正則素数
2

3. 𝑝 は⾮正則素数
⟺ 𝑝 次円分体のイデアル類群 𝐶𝑙(ℚ(𝜁()) の
位数を 𝒑 が割り切る
def
フェルマーの最終定理
𝑥( + 𝑦( = 𝑧( に関連
3

4. 103 以下の正則素数／⾮正則素数
正則素数：
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, …
⾮正則素数：
37, 59, 67, 101, 103, …
※ 2 はどちらにも属さない
4

5. •イデアル類群ってよくわからん
•⾮正則素数のリストなんて⾒つからないよ
5

6. ⾮正則素数と親しみたい！
遊びたい！
6

7. ⾮正則素数チェッカー
以下のURLで遊べるよ！
http://tsujimotter.info/irregulars/
7

8. http://tsujimotter.info/irregulars/
8

9. どうやって計算するか？
イデアル類群の計算ムズイ・・・
9

10. ⾮正則素数の⾯⽩さ
実は「ベルヌーイ数」と関係がある！
＜呼んだ？
10

11. ベルヌーイ数の起源
1 + 2 + 3 + ⋯ 𝑛 =
𝑛 𝑛 + 1
2
=
𝟏
𝟐
𝑛 +
1
2
𝑛8
18
+ 28
+ 38
+ ⋯ 𝑛8
=
𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1
6
=
𝟏
𝟔
𝑛 +
1
2
𝑛8
+
1
3
𝑛;
1;
+ 2;
+ 3;
+ ⋯ 𝑛;
=
𝑛 𝑛 + 1
2
8
= 𝟎𝑛 +
1
4
𝑛8
+
1
2
𝑛;
+
1
4
𝑛>
11

12. ベルヌーイ数の起源
1 + 2 + 3 + ⋯ 𝑛 =
𝑛 𝑛 + 1
2
=
𝟏
𝟐
𝑛 +
1
2
𝑛8
18
+ 28
+ 38
+ ⋯ 𝑛8
=
𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1
6
=
𝟏
𝟔
𝑛 +
1
2
𝑛8
+
1
3
𝑛;
1;
+ 2;
+ 3;
+ ⋯ 𝑛;
=
𝑛 𝑛 + 1
2
8
= 𝟎𝑛 +
1
4
𝑛8
+
1
2
𝑛;
+
1
4
𝑛>
12

13. ベルヌーイ数
1 + 2 + 3 + ⋯ 𝑛 =
𝑛 𝑛 + 1
2
=
𝟏
𝟐
𝑛 +
1
2
𝑛8
18
+ 28
+ 38
+ ⋯ 𝑛8
=
𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1
6
=
𝟏
𝟔
𝑛 +
1
2
𝑛8
+
1
3
𝑛;
1;
+ 2;
+ 3;
+ ⋯ 𝑛;
=
𝑛 𝑛 + 1
2
8
= 𝟎𝑛 +
1
4
𝑛8
+
1
2
𝑛;
+
1
4
𝑛>
𝐵@
𝐵8
𝐵;
𝐵A = 1
13

14. 𝐵> の計算
CC A 𝐵A + CC @ 𝐵@ + CC 8 𝐵8 + CC ; 𝐵; + CC > 𝐵> = 5
∴ 1 + 5 ⋅
1
2
+ 10 ⋅
1
6
+ 10 ⋅ 0 + 5𝐵> = 5
∴ 𝐵> = −
1
30
14

15. ベルヌーイ数の例
𝐵A = 1, 𝐵8 =
1
6
, 𝐵> = −
1
30
, 𝐵J =
1
42
, 𝐵K = −
1
30
,
𝐵@A =
5
66
, 𝐵@8 = −
𝟔𝟗𝟏
2730
, 𝐵@> =
7
6
, 𝐵@J = −
𝟑𝟔𝟏𝟕
510
,
𝐵@K =
𝟒𝟑𝟖𝟔𝟕
798
, 𝐵8A = −
𝟐𝟖𝟑 ⋅ 𝟔𝟏𝟕
330
, 𝐵88 = −
𝟏𝟎𝟑 ⋅ 𝟐𝟐𝟗𝟒𝟕𝟗𝟕
30
15

16. クンマーの判定法
素数 𝑝 が
TU
V
の分⼦を割り切る
⟺ 𝑝 は⾮正則素数
𝑝 = 691 は
TWX
@8
= −
𝟔𝟗𝟏
;8YJA
の分⼦を割り切る ⟺ 𝑝 = 691 は⾮正則素数
例：
16

17. 691 が割り切るベルヌーイ数
17

18. クリック
ベルヌーイ数の値がわかる！
18

19. 要するに
• ベルヌーイ数の分⼦を割る素数が⾮正則素数
• ベルヌーイ数の分⼦が知りたい！
19

20. ⾮正則素数チェッカーを⽀える技術
• Bernmm 1.1
(http://web.maths.unsw.edu.au/~davidharvey/code/bernmm/)
• ベルヌーイ数を（たぶん）世界⼀⾼速で計算するライブラリ
20

21. David Harvey,
"A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers,"
arXiv:0807.1347 (2008).
複数の modulo で計算した結果を⽤いることで
ベルヌーイ数を⾼速に計算できる
100,000,000 番⽬のベルヌーイ数 𝐵@AAAAAAAA も約５⽇で計算できる
21

22. Multimodular algorithm
𝐵V mod 𝑝 の値を計算する（⾼速に計算できる！）
mod 2, 3, 5, 7, ⋯ , 𝑝] の値から中国剰余定理により
𝐵V mod 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑝] を復元する
|𝐵V| のオーダをゼータ関数を使って⾒積る
2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑝] が |𝐵V| を超えたら 𝐵V そのものが得られる
Step 1:
Step 2:
Step 3:
22

23. Multimodular algorithm
𝐵V mod 𝑝 の値を計算する（⾼速に計算できる！）
mod 5, 7, 11,13, ⋯ , 𝑝] の値から中国剰余定理により
𝐵V mod 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑝] を復元する
|𝐵V| のオーダをゼータ関数を使って⾒積る
2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑝] が |𝐵V| を超えたら 𝐵V そのものが得られる
Step 1:
Step 2:
Step 3:
23

24. Multimodular algorithm
𝐵V mod 𝑝 の値を計算する（⾼速に計算できる！）
mod 5, 7, 11,13, ⋯ , 𝑝] の値から中国剰余定理により
𝐵V mod 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑝] を復元する
|𝐵V| の⼤きさをゼータ関数を使って⾒積る
|𝐵V| < 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑝] であれば， 𝐵V そのものが得られる
Step 1:
Step 2:
Step 3:
24

25. 25

26. 覚えておきたい⾮正則素数
http://tsujimotter.info/irregulars/
26

27. 最⼩の⾮正則素数
http://tsujimotter.info/irregulars/
27

28. みんな⼤好き
http://tsujimotter.info/irregulars/
28

29. 37 と 691 を並べると・・・
http://tsujimotter.info/irregulars/
29

30. 最初の双⼦⾮正則素数
http://tsujimotter.info/irregulars/
30

31. Wolstenholme prime
𝐵(`; を割り切る素数 𝑝
16843 と 2124679 しか
⾒つかっていない
31

32. Wolstenholme prime
もうひとつの
32

33. ５個のベルヌーイ数を割り切る ６個のベルヌーイ数を割り切る33

34. 参考（Step 1）
mod 𝑝 におけるベルヌーイ数の合同式を使う [Lang, 90] ：
𝑐b ≢ 1 mod 𝑝 かつ 0 < 𝑐 < 𝑝 を満たす 𝑐 を⽤いて以下が成り⽴つ．
𝐵b ≡
𝑘
1 − 𝑐b
f 𝑥b`@ℎh 𝑥
(`@
]i@
mod 𝑝
ℎh 𝑥 =
𝑥 mod 𝑝 − 𝑐 𝑥/𝑐 mod 𝑝
𝑝
+
𝑐 − 1
2
この式に 𝑐 = 𝑔（ ℤ/𝑝ℤ × の原始根）を代⼊．
34