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五次方程式は解けない - 第12回 #日曜数学会

「一般に x^5 - x + a = 0 の形をした五次方程式が代数的には解けないこと」の一風変わった証明(の概略)を紹介します。

発表者:tsujimotter
http://tsujimotter.info

発表中のデモンストレーションは、以下のページで体験できます:
http://tsujimotter.info/works/quintic/

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五次方程式は解けない - 第12回 #日曜数学会

  1. 1. tsujimotter 12 # 2018/06/16 x5 x + a = 0
  2. 2. x5 x + a = 0
  3. 3. x2 + ax + b = 0 x = a ± p a2 4b 2
  4. 4. x = a ± p a2 4b 2 x2 1 = a2 4b x2 = a 2 + x1 2
  5. 5. xk2 2 = f2(a, x1) xk1 1 = f1(a) xkN N = fN (a, x1, . . . , xN 1) ... x5 N xN + a = 0 x5 x + a = 0
  6. 6. a = 0 x5 x = (x 1)(x + 1)x(x i)(x + i) = 0 i i 1 10 x5 x + a = 0
  7. 7. x5 x + a = 0a
  8. 8. x5 x + a = 0a
  9. 9. x5 x + a = 0a
  10. 10. x5 x + a = 0a
  11. 11. x5 x + a = 0a
  12. 12. 1 (i) 1 2 2
  13. 13. 2 3 1 (ii) 1, 2, 3
  14. 14. http://tsujimotter.info/works/quintic/
  15. 15. •  n 5 •  N •  N xN •  xN • 
  16. 16. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 (2 3 1 4 5)
  17. 17. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 = (2 3 1 4 5) = (1 4 3 2 5) = (4 3 1 2 5)
  18. 18. [↵, ] := ↵ ↵ 1 1
  19. 19. n 5 ↵0 = [↵1, ↵2][↵3, ↵4] · · · [↵2s 1, ↵2s]
  20. 20. ↵0 = [↵1, ↵2][↵3, ↵4] · · · [↵2s 1, ↵2s]
  21. 21. ↵0 = [↵1, ↵2][↵3, ↵4] · · · [↵2s 1, ↵2s] ↵1 = [↵1,1, ↵1,2][↵1,3, ↵1,4] · · · [↵1,2t 1, ↵1,2t]
  22. 22. ↵0 = [↵1, ↵2][↵3, ↵4] · · · [↵2s 1, ↵2s] ↵1 = [↵1,1, ↵1,2][↵1,3, ↵1,4] · · · [↵1,2t 1, ↵1,2t] ↵1,1 = [↵1,1,1, ↵1,1,2] · · · [↵1,1,2r 1, ↵1,1,2r]
  23. 23. ↵0 = [↵1, ↵2][↵3, ↵4] · · · [↵2s 1, ↵2s] ↵1 = [↵1,1, ↵1,2][↵1,3, ↵1,4] · · · [↵1,2t 1, ↵1,2t] ... ↵1,...,1 = [↵1,1,...,1, ↵1,1,...,2] · · · [↵1,1,...,2z 1, ↵1,1,...,2z] ↵1,1 = [↵1,1,1, ↵1,1,2] · · · [↵1,1,2r 1, ↵1,1,2r]
  24. 24. ↵0 = [↵1, ↵2][↵3, ↵4] · · · [↵2s 1, ↵2s] ↵1 = [↵1,1, ↵1,2][↵1,3, ↵1,4] · · · [↵1,2t 1, ↵1,2t] ... ↵1,...,1 = [↵1,1,...,1, ↵1,1,...,2] · · · [↵1,1,...,2z 1, ↵1,1,...,2z] ↵1,1 = [↵1,1,1, ↵1,1,2] · · · [↵1,1,2r 1, ↵1,1,2r]
  25. 25. 0 `0 = [`1, `2][`3, `4] · · · [`2s 1, `2s] `1 = [`1,1, `1,2][`1,3, `1,4] · · · [`1,2t 1, `1,2t] `1,1 = [`1,1,1, `1,1,2] · · · [`1,1,2r 1, `1,1,2r] `1,...,1 = [`1,1,...,1, `1,1,...,2] · · · [`1,1,...,2z 1, `1,1,...,2z] ...
  26. 26. xk2 2 = f2(a, x1) xk1 1 = f1(a) xkN N = fN (a, x1, . . . , xN 1) ... x5 N xN + a = 0
  27. 27. xk2 2 = f2(a, x1) xk1 1 = f1(a) xkN N = fN (a, x1, . . . , xN 1) ... x5 N xN + a = 0 a
  28. 28. xk1 1 = f1(a) x1, x1⇣, x1⇣2 , · · · , x1⇣k1 1
  29. 29. xk1 1 = f1(a) x1, x1⇣, x1⇣2 , · · · , x1⇣k1 1 `1 x1 7! x1⇣m1 x1 7! x1⇣m2 `2 [`1, `2] = `1`2` 1 1 ` 1 2
  30. 30. xk1 1 = f1(a) x1, x1⇣, x1⇣2 , · · · , x1⇣k1 1 x1 `1 x1 7! x1⇣m1 x1 7! x1⇣m2 `2 [`1, `2] = `1`2` 1 1 ` 1 2 x1 `1 7 ! x1⇣m1 `2 7 ! x1⇣m1+m2 ` 1 1 7 ! x1⇣m2 ` 1 2 7 ! x1
  31. 31. x1
  32. 32. x1 x2
  33. 33. x1 N-1 xN-1 N xN
  34. 34. N xN xN
  35. 35. N xN xN
  36. 36. •  n 5 •  N •  N xN •  xN • 
  37. 37. D. S. (2012)

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